2024-2025学年人教版八年级数学下册 第十七章 勾股定理 全章题型总结【4个知识点14个题型】解析版

第十七章勾股定理全章题型总结［4个知识点14个题型】

【人教版】

【题型1勾股定理解三角形】

【题型2勾股定理的验证】

【题型3判断一个三角形是直角三角形的条件】

【题型4勾股定理的逆定理的应用】

【题型5勾股数】

勾

【知识点1勾股定理】

股【即型6勾股定理与方程思想】

【知识点2勾股定理的验证】

【题型勾股定理与分类讨论思想】

定7

【知识点3勾股定理的逆定理】

【题型8勾股定理与全等】

理

【知识点4勾股数】

【题型9勾股树衍生图与规律问题】

培优题型【朝型10勾股树衍生图与面积问题】

【题型11勾股定理与新定义三角形】

【题型12勾股定理与立体图形最短路径问题】

【题型13勾股定理与几何最值问题】

【题型14勾股定理的实际应用】

【知识点1勾股定理】

1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.对任意的直角三角形,如果它的两条直角边长

分别为。，b,斜边长为C,那么一定有立心，这种关系我们称为勾股定理.

2.数学语言：如右图所示，。是直角三角形，其中较短的直角边。叫作勾，较长的直角边b叫做股，斜

边c叫做弦.

【题型1勾股定理解三角形】

【例1】如图，在Rt^4BC中，ZACB=9Q°,NC=8,BC=6,CD为N5边上的高，则CD的长为（）

B

----------------，C

1224

A.2B.5C.—D.—

【分析】根据勾股定理求出AB的长，再根据等面积法求出CD的长即可.

【解答】解：在中，NACB=90°,ZC=8,BC=6,

•'•AB=JAC2+BC2=7s2+62=10,

又CD为AB边上的IWJ，

11

:&ABC=2AB.CD=却演,

AC-BC6x824

•.Q=1'=玉"千

故选：D.

【变式1】如图，在△48C中、AB=7cm,BC=5cm,AC=4V2cm,则△NBC的面积为（）

A.28cm2B.14cm2C.lOV^cm2D.14V2cm2

【分析】过点C作CCa/2于点。，根据。。2=/02-/£）2=802-2。2得出/。=4,进而求得c。，最

后根据三角形的面积公式，即可求解.

【解答】解：如图所示，过点C作CDL/8于点。，

"：CD2=AC2-AD2=BC2-BD2,

2

222

/.(4V2)-AD=5-(<7-AD),

解得：4D=4,

CD=y]AC2-AD2=J(4V2)2-42=4,

11

AABC的面积为万48xCD=5x7义4=14.

故选：B.

【变式2】如图，在RtZ\/03和RtZXC。。中，AB=CD=25,08=7,4c=4.

(1)求。C的长；

(2)求AD的长.

【分析】（1）在Rt^ZOB中，利用勾股定理求出04-=24,可得答案；

（2）在Rtz^COD中，利用勾股定理求出00=15,可得答案.

【解答】解：（1）在RtZ\/03中，

由勾股定理得，OA=>IAB2-OB2=1252-72=24,

：/C=4.

：.OC=OA-AC=24-4=20；

（2）在RtZxCO。中，

由勾股定理得，OD=VCZ）2-OC2=V252-202=15,

：.BD=OD-05=15-7=8.

【变式3】如图，Rt4/BC中，ZC=90°,/C=VIU+VLBC=反一五,求:

（1）RtZ\4BC的面积；

（2）斜边48的长；

【分析】（1）根据三角形大面积公式即可得到结论;

(2)根据勾股定理即可得到结论；

(3)根据三角形的面积公式即可得到结论.

【解答】解：,•,ZC=90°,AC=屈+即SC=V10-V2.

11_,_

...RtZ\/8C的面积(V10+V2)(V10-V2)=4；

(2)VZC=90°,^C=V10+V2.5C=V10-V2>

'-AB=AC2+BC2=J(V10+V2)2+(V10-V2)2=2V6;

11

(3)•:S“BC=万心BC=]AB・CD,

AC-BC(VT0+V2)(V10-V2)2V6

•.Q=^-=寿=亏’

故N8边上的高CD的长为手.

【知识点2勾股定理的验证】

勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想、图形拼补为手段，各部分面积

之间的关系为依据来实现的.利用面积相等证明勾股定理是最常见的一种方法，常见的几种证明方法如下

(1)弦图证明

外弦图

S正方般ZBC0=(。一%)=c2+4x-abS正为矽EFGH=C2=(q-b)2+4x—ab

2

•••a2+b2=c2a2+b2=c2

(2)

如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：S9BCD=(a+bXa~b)=2x^b+-c2

Aa・•・a2+b2=c2

【题型2勾股定理的验证】

【例1】勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中能证

明勾股定理的是()

①②③④

A.②③B.①②③C.①②③④D.②③④

【分析】分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式,再整理即可判断.

【解答】解：在①选项中，大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和,

(〃+b)2=a2+2ab+b2,

以上公式为完全平方公式，故①不能说明勾股定理；

在②选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，

1111

/--ab+-ab+5c=—(a+b)(a+b),

整理可得02+y=c2,故②可以证明勾股定理；

在③选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，

1,

.".4x—ab4-c2=(a+Z?)29,

整理得M+62=C2,故③可以证明勾股定理；

在④选项中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加

上两个直角三角形的面积，

11

/.c2+2x-ab=a2+b2+2x.~ab,

整理得02+62=°2,故④可以证明勾股定理.

...能证明勾股定理的是②③④.

故选：D.

［例2］如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案.已知大正方形面积为49,

小正方形面积为4,若用x,y表示直角三角形的两直角边G>y),下列四个说法：①x2+y』49；②x

-y—2；③x+y=9；④刈+4=49；其中说法正确的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【分析】根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答.

【解答】解：①为直角三角形，

.•.根据勾股定理：x2+y2=AB2=49,

故本选项正确；

②由图可知，x-y—CE=V4=2,

故本选项正确；

③由2孙+4=49可得2孙=45①，

又+廿=49②，

.•.①+②得，/+2孙t/=49+45,

整理得，（x+y）2=94,

x+y—V94丰9,

故本选项错误；

④由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，

1

列出等式为4x-Xxy+4=49,

即2孙+4=49；

故本选项错误.

正确结论有①②.

【变式2】我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明.如图，从图1变换到图2,

可以用下列式子来表示的是()

B.4x—ab+(匕_。)2=c2

111

C.+bf=2x-ab+-c2

111

D.-(a+b)2=2x(-a6+-c2)

【分析】分别根据图1、图2求出几何图形的面积，即可求解.

1

【解答】解：根据图1可得该几何图形的面积为：4x-ab+(h-a)2,

根据图2可得该几何图形的面积为：射，

1

?27

:.4x—ab+(b—a)2=c,

故选：B.

【变式2】下面图形中可以用来验证勾股定理的有()

【分析】用两种不同的方法表示出梯形的面积，可以判断图1可以验证勾股定理；根据图形的总面积等

于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的

面积，然后整理可以判断2可以验证勾股定理.

111

【解答】解：图1:S梯形=5(a+b)(a+b),S梯形=亍班+亍班+d,

1111

.".-(a+b)(a+b)=~ah+5ab+-c,

a2+1ab+b2=ab+ab+c2,

：.a2+b2=c2,故图1可以验证勾股定理；

图2：图形的总面积可以表示为：c2+2x—c2+ab,

1

也可以表示为：+庐+2+/+ab,

/.c2+ab—a2+b2+ab,

：,a2+b2=c2,故图2可以验证勾股定理；

图3的条件不充足，不可以验证勾股定理，

综上，图1、图2可以验证勾股定理，共2个，

故选：C.

【变式3】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽

弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a,

较短直角边长为6,若（a+6）2=22,大正方形的面积为17,则小正方形的边长为（）

【分析】根据大正方形的面积和勾股定理推出*+62=13,然后结合完全平方公式的变形得出（a-b）2=

5,最后由小正方形的面积为石尸=（a-b）2,即可得出结论.

【解答】解：如图所示，由题意，ED=a,AE=b,

：.AD2=11,

'.'AD2=AE2+ED2=a2+b2,

：.a2+b2=17,

,/(a+6)2=22,

，(a-6)2=2(。2+方2),(。+&)2=2*17-22=12,

,:EF=ED-EF=a-b,

小正方形的边长为防=2百(负值舍去)，

故选：D.

【知识点3勾股定理的逆定理】

1.勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长°、b、C满足/+/=。2,那么这个三角形是直角三角形，且边长C所对的角为直角.

2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形

(1)先比较三角形三边长的大小，找到最长边：

(2)计算两条较短边的平方和与最长边的平方；

(3)比较二者是否相等；

(4)若相等，则这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角；若不相等，则这个三角形不是直角

三角形.

【题型3判断一个三角形是直角三角形的条件】

【例1】在下列条件：①//+/8=NC；@ZA-Z5=90°；@AB：AC：BC=1：3：V10;④

(AC+BC)(AC-BC)=/炉中，能确定是直角三角形的条件有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答.

【解答】解：ZA+ZB^ZC,NZ+/2+NC=180°,

.•.2ZC=180°,

AZC=90°,

:.AABC是直角三角形；

(2)'：ZA-Z5=90°,

AZA=90°+ZB,

...△4BC不是直角三角形；

③AC：BC=1：3：V10-

：.^AB=a,则NC=3a,BC^VlQa,

'：AB2+AC2=a2+(3a)2=10a2,BC2=(V10a)2=10a2,

:.AB2+AC2^BC2,

...△48C是直角三角形；

④：C4C+3C)UC-SC)=AB2,

：.AC2-BC2=AB2,

:.AC2=AB2+BC2,

...△ABC是直角三角形；

所以，上列条件，能确定5c是直角三角形的条件有3个，

故选：C.

【例2】在如图所示的网格纸中，有/、3两个格点，试取格点C,使得△/BC是直角三角形，则这样的格

点C的个数是()

A.4B.6C.8D.10

【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可.

【解答】解：如图所示:

CC

格点C的个数是8,

故选：C.

【变式1】若a,b,c为△48C的三边，下列条件中：①②*=(6+c)(6-c)；③

//：/B：NC=3：4：5；④a：b：c=l：粒百，则能判定△/8C是直角三角形的个数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答.

【解答】解：®-：ZB=ZA-ZC,

：.ZB+ZC=ZA,

VZB+ZC+ZA=}?,0o,

・・・2N4=180°,

AZA=90°,

・•・能判定△ZBC是直角三角形；

②・・・〃2=(b+c)(b-c),

:•层=P-。2,

:.a2+c2=b2,

・•・能判定△ZBC是直角三角形；

③•・•//：ZB：ZC=3：4：5,N8+NC+NZ=180°,

5

AZC=180°x———=75°，

3十4+b

...不能判定△A8C是直角三角形；

•a：bzc=l：V^：Vs-»

.,.设。=左，b—yfikic-y/^k,

Va2+b2—k2+(V2^)2=3左2,(2--(百左)2=3左2,

a2+b2=c2,

能判定△48C是直角三角形；

所以，能判定△/BC是直角三角形的个数有3个，

故选：C.

【变式2】下列由三条线段a、b、c构成的三角形：①a=2mn,b=m2-n2,C=m2+n2(m>«>0),②a

=2/7+1,b=2n2+2n+],c=2n-+2n(ZJ>0),③a=3左，b=4k,c=5k(.k>0),(4)Va：VK：Vc=1：

V3：2,其中能构成直角三角形的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】判断一组数能否成为直角三角形的三边，就是看是否满足两较小边的平方和等于最大边的平方,

将题目中的各题一一做出判断即可.

24422224412222

【解答】解：①2)2+(2m〃)=m+n-2mn+4mn—m+n+2mn—(m+n),

能成为直角三角形的三边长；

②：(2M)2+⑵2+2”)2=(2层+2/1)2,

能成为直角三角形的三边长；

③(3()2+(4左)2=(5左)2,

•••能成为直角三角形的三边长;

@v(Va)2+(VK)2—(Vc)2>

，而VK，加能成为直角三角形的三边长，

但a,6,c不成直角三角形的

中能构成直角三角形的有3组，

故选：C.

【变式3】如图，在5X5的正方形网格中，已知线段a,6和点尸，且线段的端点和点尸都在格点上，在网

格中找一格点0，使线段a，b,尸。恰好能构成直角三角形，则满足条件的格点。有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】根据题意画出符合条件的图形即可求解.

【解答】解：如图所示:

则满足条件的格点。有4个.

故选：C.

【题型4勾股定理的逆定理的应用】

【例1】如图，N4DC=90°,4D=4m,CD=3m,48=13m，BC=12m.

(1)试判断以点HB,C为顶点的三角形的形状，并说明理由;

(2)求该图的面积.

【分析】(I)根据勾股定理求出/C长，再根据勾股定理的逆定理判断即可;

(2)分别求出和△/DC的面积，再相减即可.

【解答】解：(1)以点/,B,C为顶点的三角形的形状是直角三角形，

；/4DC=90°,AD=4m,CD=3m,

...由勾股定理得：AC=y/AD2+CD2-5m,

；4B=13m,BC=12m,

：.AC2+BC2^AB2,

：.ZACB=90a,

即以点aB,c为顶点的三角形的形状是直角三角形；

1111c

12

(2)图形的面积S=5AzicB-Szu℃=5xacx8。-5义4。xCD=5义5x12-万义4x3=24(机)

【变式1】如图，在四边形/8C。中，ZA=60°,AB=AD=2,BC=2近,CD=4.求NADC的度数.

【分析】连接3。，根据等边三角形的性质求出3。，根据勾股定理的逆定理判断/。。8=90°,计算即

可.

【解答】解：连接8。，

'：ZA=60°,4B=AD=2,

：.ZADB^60°,BD=2,

：.BD2=4,

在△CD8中，BC2-CD2=(2A/5)2-42=4,

：.BC2-CD1=BD1,即BC1=BD1+Cb2,

：.ZCDB=90°,

ZADC=ZADB+ZCDB=150°.

【变式2】如图，在△48C中，。是2c的中点，DELBC交AB于点E,5.BE2-AE2^AC2.

(1)求证：//=90°；

(2)若4c=3,80=2.5,求/£的长.

【分析】(1)连接CE,由线段垂直平分线的性质可求得3E=CE,再结合3£2-£/2=/C2可求得E02

=EA2+AC2,可证得结论；

(2)设EB=EC=x,则/E=4-x,根据勾股定理列出方程解答即可.

【解答】(1)证明：连接CE,

是3c的中点，DELBC,

：.EB=EC,

'CBE1-EA2=AC2,

：.EC2-EA2=AC2,

：.EC2=EA2+AC2,

：.ZA=9Q°.

(2)解：•.•。是BC的中点，BD=2.5,

：.BC=2BD=5,

VZA=90°,AC=3,

•MB=JBC2-AC2=V52-32=4,

■:EB=EC,

:,没EB=EC=x,贝l」4£=4-x,

在RtAE^C中

/.32+(4-x)2=x2,

,25

解得：x=—

7

・ME-

【变式3】如图，在△NBC中，AD,/E分别是高和角平分线.

(1)若/历1C=86°,ZC=32°,求ND4E的度数；

(2)若4B=15,AC=20,AD=12,求证：/5/C是直角.

【分析】(1)求出/D/C,ZEAC,可得结论；

(2)利用勾股定理的逆定理证明即可.

【解答】(1)解：:/E平分N/8C,

1

AZEAC^~ZBAC=43°,

'：ADLBC,

：.ZDAC=90°-ZC=58°,

AZDAE=ZDAC-ZEAC=58°-43°=15°.

(2)证明：-：ADLBC,

：.ZADB=ZADC=90°,

:.BD=y/AB2-AD2=V152-122=9,CD=AC2-AD2=V202-122=16,

：.BC=BD+DC=9+16=25,

•：AB2+AC2^152+202=625,SC2=625,

：.AB2+AC2=BC2,

AZBAC=90°.

【知识点4勾股数】

L定义：像15,8,17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.

2.满足条件：①三个数都是正整数;②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方.

3.勾股数的整数倍仍为勾股数，如3,4,5的2倍6,8,10仍为勾股数.

4.常见形式：①/_1,2%"2+1（〃为大于1的整数）；②4〃，4序一1,4/+1形为正整数）等.

【题型5勾股数】

【例1】下列各组数据是勾股数的有（）

①5,12,13；

②0.3,0.4,0.5；

③4,7,5；

④1,2,V3.

A.1组B.2组C.3组D.4组

【分析】利用勾股定理的逆定理及勾股数的定义逐一判断即可求解.

【解答】解：®V52+122=169=132,

；.5、12、13是勾股数；

②因为勾股数是正整数，因此0.3,0.4,0.5不是勾股数；

@V42+52=41^72=49,

.,-4,7,5不是勾股数；

④因为勾股数是正整数，因此1,2,百不是勾股数，

是勾股数的有1组，

故选：A.

【例2】在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如表格中.则当。

=24时，b+c的值为（)

a68101214.・・

b815243548.・•

c1017263750.・•

A.162B.200C.242D.288

【分析】根据表格中数据确定。、6、c的关系，然后再代入。=24求出6、c的值，进而可得答案.

【解答】解：根据表格中数据可得：aW=c2,并且c=6+2,

则a2+b2=(6+2)2,

当a=24时，242+b2=(6+2)2,

解得：6=143,

则c=143+2=145,

；.6+c=143+145=288,

故选：D.

【变式1】有下列说法：

①：060.8,1不是勾股数，；.三边长分别为060.8,1的三角形不是直角三角形；

②..•三边长分别为1,2,近的三角形是直角三角形，...I,2,返是勾股数；

③若整数。，整数6,整数c分别是直角三角形的三边长，则0」。，(Mb,0.1c必定不是勾股数.

其中错误的有()

A.3个B.2个C.1个D.0个

【分析】根据勾股数的定义及勾股定理的知识分别判断后即可确定正确的选项.

【解答】解：①虽然0.6,0.8,1不是勾股数，但是0.62+0.82=12,所以以0.6,0.8,1为边的三角形是

直角三角形，故①说法错误；

②因勾股数必须都是整数，故②说法错误；

③若整数。，整数6,整数c分别是直角三角形的三边长，则0.1a,0.16,0.1c有可能是勾股数，故③

说法错误.

故选：A.

【变式2】当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个正整数为勾股数.

(1)若a,6为一个直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，a,b,c为勾股数，且°="+7,c=〃+8,

"为正整数，求6的值(用含〃的式子表示)，并直接写出符合题意的最小的6值.

(2)当〃是大于1的整数时，判断2小»2-1,"2+1是否是勾股数，并说明理由.

【分析】(1)根据勾股数的定义得到(”+7)2+房=(〃+8)2,结合〃，6都为正整数，求出最小6值即

可；

(2)分别表示出2","2-1,«2+1的平方，得到(2«)2+("2-1)2=(层+1)2即可做出判断.

【解答】解：(1)。，6,c为勾股数，c为斜边长，

/.a2+b2=c2,

".'a—n+1,c—n+8,

：.(n+7)2+b2=(n+8)2,

.'.b2^2n+15,b=72rl+15,

Vn,6都为正整数，

.,.当〃=5时，b—V2x5+15—5,

，最小的6值为5；

(2)(2")2=4"2,(H2-1)2="4-2"2+],(n2+l)2="4+2〃2+],

⑵)2+(«2-1)2=(«2+1)2,

...2",n2-i,/+1是勾股数.

【变式3】以3,4,5为边长的三角形是直角三角形，称3,4,5为勾股数组，记为(3,4,5),类似地，

还可得到下列勾股数组：(8,6,10),(15,8,17),(24,10,26)等.

(1)根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数；

(2)用含〃(“22且"为整数)的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明.

【分析】(1)根据给出的四组数以及勾股数的定义即可得出答案；

(2)根据给出的四组数以及勾股数的定义即可得出答案.

【解答】解：⑴上述四组勾股数组的规律是：32+42=52,62+82=102,82+152=172,102+242=262,

即("2-1)2+(2«)2=(n2+l)2,

所以第六组勾股数为14,48,50.

(2)勾股数为“2-1,in,小+1,证明如下：

(“2-1)2+(2")2=/+2”2+]=(〃2+])2.

【题型6勾股定理与方程思想】

【例1】如图，在RtZUBC中，ZC=90°.在边8c上有一点P,连接/P,且若/C=2,CB=

5,求尸区的长.

c

p

【分析】设P/=X=P8,则CP=5-X,在Rt^NPC中，利用勾股定理列式计算即可求解.

【解答】解：设PA=x=PB,可得：CP=5-x,

:根据勾股定理可得：AC2+CP2=PA2,

22+(5-x)2=x2,

29

X=10)

29

:.PA的长为云.

【变式1】如图，等腰三角形48c中/8=/C,CDLAB,且CD=4"z,BD=3cm.

(1)求的长；

(2)求△/8C的面积.

【分析】(1)^AD=xcm,AB=AC=(x+3)cm,在RtZUDC中，由勾股定理列出方程，解方程即可;

(2)根据三角形的面积公式列式计算即可.

【解答】解：(1)^AD=xcm,则A8=/C=(x+3)cm,

"JCDLAB,

：.ZCDA^90°,

在RtZUCD中，根据题意得：X2+42=(X+3)2,

7

解得：x=>

o

7

答：AD的长为n冽；

o

725

(2)由(1)可知，AB—AC=7+3=­(cm)，

66

U：CDLAB,

112525

•'•S^ABC=^AB'CD-2X~X4=~，

25c

答：△48C的面积为*yc%2.

【变式2】如图，在Rta/BC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,。为NC上一点，若2。是N4BC的角平

分线，求线段的长.

【分析】过点D作DELAB于点E,易得AB=Vxt2+BC2=10,根据角平分线的性质得出CD=DE,

通过证明RtZ\3C7)gRtzX8ED(〃L),得出8c=2£=6,贝U-8E=4,设ND=x,则。。=。£=

8-x,在RtZ\4DE中，DE2+AE2=AD2,据此列出方程求解即可.

【解答】解：过点D作DELAB于点E,

VZC=90°,/C=8,BC=6,

.'.AB=JAC2+BC2=10,

。是N4BC的角平分线，DELAB,ZC=90

：.CD=DE,

在RtA5C£>和RSED中，

(CD=DE

\BD=BD,

:.RtABCD咨RtABED(HL),

:.BC=BE=6,

：.AE=AB-BE=10-6=4,

设AD=x,则CD=DE=8-x,

在RtZ\4D£•中，DE2+AE2=AD2,

即(8-x)2+42=X2,

解得：尤=5,

：.AD=5.

【变式3】如图，在等腰△/2C中，AB^AC^IO,3c=12,4D为△/2C的中线，EE垂直平分NC交

于点G,则AG=.

【分析】如图，连接CG.利用勾股定理求出4D,再证明/G=GC,设/G=GC=x,利用勾股定理构

建方程求解.

【解答】解：如图，连接CG.

'：AB=AC=10,/£)是中线，

：.AD±BC,BD=CD=6,

.".AD=yjAB2-BD2=V102-62=8,

:仍垂直平分线段NC,

；./G=GC,

设NG=GC=x,则有x2=(8-x)2+62,

25

4

25

：.AG=—,

4

_,25

故答案为：—.

q

【题型7勾股定理与分类讨论思想】

【例1】已知△/8C中，乙4=45°,AB=4五,BC=5,则NC=.

【分析】过点3作8。L/C,分高线在三角形的内部和外部两种情况，讨论求解即可.

【解答】解：过点8作3。L/C,

①当2D在三角形内部时:

:.AADB为等腰直角三角形，

.'.AB=五AD=五BD=4vL

:.AD=BD=4,

.*•CD=JBC2-BD2=3,

：.AC=AD+CD=1；

②当BD在三角形外部时:

同法可得：AC=AD-CZ)=1；

故答案为：1或7.

【变式1】在Rt448C中，NACB=9Q°,NC=8,3c=6,点。为射线3c上一点，当△/AD是以AD为

腰的等腰三角形时，CD的长为.

【分析】先由勾股定理求出48=10,当4B=2D=10时，可直接计算出CD的长；当40=8。时，设

AD=BD=x,则CD=x-6,由勾股定理求出x,即可得出答案.

【解答】解：在中，由勾股定理得：AB=+BC2=6+62=10,

如图1,当/8=8。=10时，

图1

则CD=BD-BC=IQ-6=4；

如图2,当时，

图2

设4D=8D=x,则CD=x-6,

在RtAACD中，AD2^CD2+AC2,

即/=(%-6)2+82,

,25

解得：x=~,

257

CD=—-6=~；

7

综上所述，。的长为4或

7

故答案为：4或

【变式2】在△48C中，4B=15,NC=13,2C上的高40长为12,则△/2C的面积为.

【分析】根据题意，分类讨论，第一种情况，锐角三角形，则边3c上的高在三角形内部；第二种

情况，钝角三角形，则边8c上的高在三角形外部；图形结合分析，即可求解.

【解答】解：①如图所示，4B=15,ZC=13,AD±BC,40=12,

在Rt/\ABD中，BD=AB2-AD2=V152-122=9,

在RtZXZC。中，CD=y/AC2-AD2=V132-122=5,

・•・BC=BD+CD=9+5=14,

11

•^SAABC=~BC-?1D=-x14x12=84；

②如图所示,

在RtAABD中，BD=-y/AB2-AD2=V152-122=9,

在RtA^C£»中，CD=SIAC2-AD2=V132-122=5,

：.BC=BD-CD=9-5=4,

11

-'•SAABC=~BC-71Z)=—x4X12=24；

综上所述，△NBC的面积为84或24,

故答案为：84或24.

【变式3】在等边△NBC中，点。在3c的延长线上，BC=6,CD=2,点£在直线4C上，连接

BE.当时，/£的长为.

【分析】分别过点48作“尸，2C,BGLAC,垂足分别为凡G,根据等边三角形的性质和勾股定理

求出8E,分两种情况画图解答即可.

【解答】解：在等边△4BC中，AC=BC=6,

分别过点4,2作//，2C,BGLAC,垂足分别为尸，G,

:.BF=CF=AG=CG=3,

：.AF=BG=百CG=3瓜

\"CD=2,

：.FD=CF+CD=5,

:.BE=AD=^AF2+FD2=.27+25=V52.

因为点E在直线/C上，分两种情况画图:

如图1,当点E在NC延长线上时，

在Rt^BGE中，根据勾股定理得：GE=>/BE2-BG2=V52-27=V25=5,

AE=AG+GE^3+5=8；

综上所述：4E的长为8或2.

故答案为：8或2.

【题型8勾股定理与全等】

【例1】如图，在△N2C中，ZABC=90°,N/=30°,CD平分N4CB,BELCD交4c于点E,若BE=

3,则CD的长为（）

B

D,

AEC

A.V3B.3C.2V3D.3V3

【分析】根据三角形内角和求出//C8的度数，根据CD平分N4CB,可以得到N8CD和NEC。的度数,

再根据直角三角形的性质和全等三角形的判定以及性质，得到2C的长，最后根据勾股定理即可得到CD

的长.

【解答】解：•.•NN8C=90°,//=30°,

ZACB=60°,

平分N/C8,

:.NACD=/BCD=30°,

"JBELCD,CD平分N4CB,

：.ZCOB=ZCOE=90°,/BCO=NECO=30°,

在△CB。和△CE。中，

(Z-BCO=乙ECO

\C0=CO,

、BOC=ZEOC

：.ACBO^/\CEO(ASA),

:.BO=CO,

■:BE=3,

・・・3O=CO=1.5,

•：NBCO=30°,ZCOB=90°,

:.BC=2OB=3,

*：ACBD=9Q°,NDCB=30°,

：.CD=2BD,

设则CD=2x,

由勾股定理得：BD1+BC1=CD1,

X2+32=(2X)2,

解得了二内或%二一打(不合题意，舍去)，

**•2x=2V3^，

即CD的长为2百,

故选：C.

【例2】在Rt448C中，N/=90°,N/2C的角平分线交/C于点E,点。为2C中点，连接DE,/BED

=45°,DE=2近,则/£=.

【分析】先导角证得CD=CE,再根据。是5c中点构造倍长中线全等，延长到点凡使DF=DE=

2VL易证尸（MS）,再利用等腰+45°构造等腰直角三角形，过8作下于点G,

求出BE和BD,进而得到CB和CE,最后利用勾股定理在Rt"BE中和RtZX/BC中分别表示出AB,

建立方程求解即可.

【解答】解：设/ABE=a,则NC2E=a,

VZBAC=90°,

AZACB^90°-2a,

VZBED=45°,

：.ZCDE=ZCBE+ZBED=45°+a,

在△CDE中，NDEC=180°-ZCDE-ZACB^45°+a,

：.CD=CE,

延长即到点R使DF=DE=2五,

•。为2C中点，

：.BD=CD,

在LCDE和△AD尸中，

CD=BD

Z.CDE=乙BDF,

DE=DF

:ACDE咨/\BDF(&4S)，

：.BF=CE=CD=BD,

1厂

过2作下于点G,则DG=FG=5DP=&,

：.EG=DE+DG=3^2>

VZBDE=45°,

.•.△8GE为等腰直角三角形，

:.BE=V2GE=6,

在Rt/XBGD中，BD=J*+DG2=2心

：.CB=2BD=4V5>CE=BD=2限

设/E=无，则NC=2而+x,

在RtLABE中，AB2=BE2-/炉=36-/,

在RtZX/BC中，/炉=2。2-/。2=80-(2V5+x)2

.\36-X2=80-(2V5+x)2

解得x=管,

即/£=等,

点E是对角线NC上一点，连接。£、BE,若NBAD=/CED=60°，

AB=BD,DE：EC=2：3,NC=6