2024-2025学年广东省深圳市南山第二外国语九年级中考一模数学试题及答案

试题PAGE1试题南山区第二外国语学校（集团）2024-2025学年度九年级一模数学学科试卷说明：1．全卷共6页．2．考试时间为90分钟，满分100分．3．答题时，考生务必将姓名、班级、考号、考试科目、试卷类型用2B铅笔填涂在答题卡上，并用黑色签字笔填写相应信息．请考生按要求在答题卷规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．第Ⅰ卷（选择题共24分）一、选择题（8小题，每小题3分，共24分）1.我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形是（）A. B. C. D.2.下列四个数：，，，中，无理数的个数是（）A. B. C. D.3.下列计算正确的是（）A. B.C D.4.如图，直线，点、在上，点在上，连接、，，若，则的度数为（）A. B. C. D.5.图1是某市一地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2所示，它是一个轴对称图形，，，则双翼边缘端点与之间的距离为（）A. B.C. D.6.文化情境·数学文化《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（）A. B.C. D.7.下列命题中，真命题有（）个①两个含角的等腰三角形必相似；②已知线段，点是黄金分割点，则；③顺次连接一个四边形各边中点得到一个矩形，则这个四边形的对角线一定垂直；④平分弦的直径垂直于弦．A.4个 B.3个 C.2个 D.1个8.如图，在等腰中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，的最小值是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共76分）二、填空题（5小题，共15分）9.2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为___________．10.一元二次方程配方为，则k的值是______．11.如图，点是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过斜边的中点，则______．12.在平行四边形中，以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交边，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧交于点P；作射线交边于点E，若，则________．13.如图，在中，，为的中点，，交于，为上一点，且．有下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的结论为_____________．三、解答题（7小题，共61分）14.计算：；15.先化简，再求值：，并从，，，这四个数中取一个合适的数作为的值代入求值．16.有4张分别印有电影哪吒2主要人物图案的卡片，A哪吒、B敖丙、C申公豹、D太乙真人，现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，求下列事件发生的概率；（1）第一次抽取卡片上人物图案是申公豹的概率为______；（2）求抽取的两次结果为哪吒和申公豹的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由）17.综合与实践．如何分配工作，使公司支付的总工资最少素材1壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成．甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天．素材2经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天．素材3由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半．问题解决任务1确定工作效率求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包；任务2拟订设计方案①若设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包______个，乙部门工作时间可表示为______天；②如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？18.如图，是的直径，点、在上，，点在线段的延长线上，且．（1）求证：与相切；（2）若，，求的长．19.某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口位于桌面左上方，桌面的长为，过点作，垂足为，，以点为原点，以直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分，设乒乓球与出球口的水平距离为，到桌面的高度为，在桌面上的落点为，经测试，抛物线的解析式为，且当时，．

（1）求出与之间的函数关系式；（2）桌面正中间位置安装的球网的高度为，问乒乓球位于球网正上方时，乒乓球到球网顶端H的距离约为多少？（3）乒乓球落在点后随即弹起，沿抛物线的路线运动，小明拿球拍与桌面夹角为接球，球拍击球面的中心线长为，下沿在轴上，假设拋物线，与在同一平面内，且乒乓球落在上（含端点，点E在点C右侧），直接写出：①点为的坐标为__________；②球拍到桌边的距离的最大值是__________，的最小值是__________．20.已知菱形中，点E是对角线上一点，点F是边上一点，连接、、，特例探究】（1）如图1，若且，线段、满足的数量关系是________；（2）如图2，若且，判定线段、满足的数量关系，并说明理由；（3）【一般探究】如图3，根据特例的探究，若，，请求出的值（用含的式子表示）；（4）【发现应用】如图3，根据“一般探究”中的条件，若菱形边长为1，，点F在直线上运动，则面积的最大值为________，

南山区第二外国语学校（集团）2024-2025学年度九年级一模数学学科试卷说明：1．全卷共6页．2．考试时间为90分钟，满分100分．3．答题时，考生务必将姓名、班级、考号、考试科目、试卷类型用2B铅笔填涂在答题卡上，并用黑色签字笔填写相应信息．请考生按要求在答题卷规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．第Ⅰ卷（选择题共24分）一、选择题（8小题，每小题3分，共24分）1.我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．根据中心对称与轴对称的定义进行判断即可．【详解】解：A中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；B中图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；C中图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；D中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：B．2.下列四个数：，，，中，无理数的个数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了无理数，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．根据无理数的定义：无限不循环小数判断即可．【详解】解：，是有理数，，是无理数．故选：B．3.下列计算正确的是（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了乘法公式，同底数幂的乘法，合并同类项，掌握完全平方公式、平方差公式和同底数幂的乘法公式以及合并同类项法则是解题的关键．分别按照完全平方公式、平方差公式和同底数幂的乘法公式以及合并同类项法则进行判断即可．【详解】解：A、，原说法错误，故不符合题意；B、，原说法正确，故符合题意；C、，原说法错误，故不符合题意；D、与不是同类项，不能合并，原说法错误，故不符合题意，故选：B．4.如图，直线，点、在上，点在上，连接、，，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等得到，根据角的和差计算得到，，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，，∴，解得，，∴，∵，∴，∴，∴，故选：C

．5.图1是某市一地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2所示，它是一个轴对称图形，，，则双翼边缘端点与之间的距离为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，如图，作直线，交双翼闸机于点、，由轴对称图形的性质得，，解得出，根据，即可求解．【详解】解：如图，作直线，交双翼闸机于点、，由轴对称图形的性质得，，由题意可得，，在中，∵，∴，∴．故选：D．6.文化情境·数学文化《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】此题考查了二元一次方程组的应用．设雀每只x两，燕每只y两，五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．据此列方程组即可．【详解】解：设雀每只x两，燕每只y两，由题意可得，，故选：B7.下列命题中，真命题有（）个①两个含角的等腰三角形必相似；②已知线段，点是的黄金分割点，则；③顺次连接一个四边形各边中点得到一个矩形，则这个四边形的对角线一定垂直；④平分弦的直径垂直于弦．A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】D【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，黄金分割，菱形的性质，角可以是等腰三角形的顶角或底角，可判断①是假命题；由黄金分割相关概念可判断②是真命题；根据三角形中位线定理及矩形性质可判断③是假命题；根据直径平分弦可判断④是假命题【详解】解：∵角可以是等腰三角形的顶角或底角，∴两个含角的等腰三角形不一定相似，故①是假命题；∵线段，点C是的黄金分割点，∴，故②是真命题；顺次连接一个四边形各边中点得到一个菱形，则这个四边形的对角线一定相等；故③是假命题；平分弦的直径不一定垂直于这条弦，故④是假命题；故选：D．8.如图，在等腰中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了点的轨迹与等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理．取的中点，取的中点，连接，，，则，故的轨迹为以为圆心，为半径的半圆弧，据此求解即可．【详解】解：如图，取的中点，连接，取的中点，连接，，∴为的中位线，∵在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上，∴，∴，∵为的中位线，∴，∵，∴当点在同一直线上时，有最小值，的最小值是，∵在等腰中，，点斜边的中点，∴，∴，∴的最小值是，故选：A．第Ⅱ卷（非选择题共76分）二、填空题（5小题，共15分）9.2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为___________．【答案】【解析】【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可．【详解】解：；故答案为：．10.一元二次方程配方为，则k的值是______．【答案】１【解析】【分析】将原方程变形成与相同的形式，即可求解．【详解】解：∴故答案为：1．【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键．11.如图，点是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过斜边的中点，则______．【答案】【解析】【分析】本题考查了求反比例函数解析式，中点坐标公式，勾股定理等知识．由勾股定理求出，得出，进而求出，然后可求k的值．【详解】解：∵中，，，∴，∴，∴，∵反比例函数的图象经过斜边的中点，∴，∴．故答案为：．12.在平行四边形中，以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交边，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧交于点P；作射线交边于点E，若，则________．【答案】##145度【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的尺规作图，熟练掌握平行四边形的性质及角平分线的尺规作图是解题的关键．角平分线的尺规作图可得，根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质，即可求得答案．【详解】解：由作图可知，平分，，四边形是平行四边形，，，．故答案为：．13.如图，在中，，为的中点，，交于，为上一点，且．有下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的结论为_____________．【答案】①②③④【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质等知识点，正确添加辅助线是本题的关键．连接，根据等腰三角形的性质得到，，根据线段垂直平分线的性质得到，且，求得，得到，于是得到，故①正确；根据等腰三角形的性质得到，求得，推出是等边三角形，故②正确；如图，作点F关于的对称点，连接，得到，，根据等边三角形的性质得到，求得，推出，得到，根据全等三角形的性质得到，推出E、F、D、共线，于是得到故③正确；过点A作，在上截取，根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到故④正确．【详解】解：如图，连接，∵，点D是的中点，∴，∴是的中垂线，∴，且，∴，∴，∴，∴，故①正确；∵，∴，∵，∴，∴是等边三角形，故②正确；如图，作点F关于的对称点，连接，∴，，∵是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵点F、关于对称，即，且，∵，∴E、F、D、共线，∴，∴故③正确；如图：过点A作，在上截取，∵，∴是等边三角形，∴，∴，且，∴，∴，∴即，∵，∴，∴∵，∴．故④正确．所以其中正确的结论是①②③④．故答案为：①②③④．三、解答题（7小题，共61分）14.计算：；【答案】6【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，先运算零指数次幂、负整数指数次幂、绝对值和二次根式的化简以及特殊角的三角函数值，然后进行合并即可．【详解】解：原式．15.先化简，再求值：，并从，，，这四个数中取一个合适的数作为的值代入求值．【答案】；当时，值为．【解析】【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用分式有意义的条件得出符合分式的x的值，代入计算可得．【详解】解：原式为使分式有意义，则有，，，，，，此时，取当时，原式【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及因式分解的应用，注意取合适的值时，要使分式有意义．16.有4张分别印有电影哪吒2主要人物图案的卡片，A哪吒、B敖丙、C申公豹、D太乙真人，现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，求下列事件发生的概率；（1）第一次抽取的卡片上人物图案是申公豹的概率为______；（2）求抽取的两次结果为哪吒和申公豹的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，根据概率公式求解概率，熟练掌握概率公式为解题关键．（1）直接根据概率公式计算；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果数为2，然后根据概率公式求解．【小问1详解】解：第一次取出的卡片图案为申公豹的的概率为，故答案为：；【小问2详解】画树状图为：共有12种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果数为2，所以抽取的两次结果为哪吒和申公豹的的概率为．17.综合与实践．如何分配工作，使公司支付的总工资最少素材1壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成．甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天．素材2经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天．素材3由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半．问题解决任务1确定工作效率求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包；任务2拟订设计方案①若设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包______个，乙部门工作时间可表示为______天；②如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？【答案】任务1：甲部门原来每天生产120个壮锦手提包，乙部门原来每天生产60个壮锦手提包；任务2：①，；②甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需要97200元．【解析】【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，一次函数的最大利润问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）设乙部门每天能生成个壮锦手提包，依题意，列式得，注意经检验是方程的解，即可作答．（2）设甲部门工作天，则乙部门的工作时间为（天）．再依题意，得出，解出，根据利润公式得出，运用一次函数的性质，进行分析作答即可．【详解】解：任务1：设乙部门原来每天生产x个壮锦手提包，则甲部门原来每天生产2x个壮锦手提包，由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，，答：甲部门原来每天生产120个壮锦手提包，乙部门原来每天生产60个壮锦手提包；任务2：①设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包个，乙部门工作时间可表示为天，故答案为：，；②由题意得：，解得：，设该公司支付的总工资为y元，由题意得：，，随m的增大而减小，当时，y有最小值，此时，，答：甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需要97200元．18.如图，是的直径，点、在上，，点在线段的延长线上，且．（1）求证：与相切；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得到，再证明，得到，即可证明；（2）设半径为，则，在中，，则，即，解得，而半径为，则，在中，解直角三角形即可求解．【小问1详解】证明：连接，，，，，是的直径，，，，，为半径，与相切；【小问2详解】解：设半径为，则，，，，在中，，，，即，解得，经检验，是所列方程的解，半径为，则，在中，，，，．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识、相似三角形的判定和性质是解题的关键．19.某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口位于桌面左上方，桌面的长为，过点作，垂足为，，以点为原点，以直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分，设乒乓球与出球口的水平距离为，到桌面的高度为，在桌面上的落点为，经测试，抛物线的解析式为，且当时，．

（1）求出与之间的函数关系式；（2）桌面正中间位置安装的球网的高度为，问乒乓球位于球网正上方时，乒乓球到球网顶端H的距离约为多少？（3）乒乓球落在点后随即弹起，沿抛物线的路线运动，小明拿球拍与桌面夹角为接球，球拍击球面的中心线长为，下沿在轴上，假设拋物线，与在同一平面内，且乒乓球落在上（含端点，点E在点C右侧），直接写出：①点为的坐标为__________；②球拍到桌边的距离的最大值是__________，的最小值是__________．【答案】（1）；（2）乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端的距离为；（3）①，②，．【解析】【分析】本题主要考查二次函数的图象上点的坐标特征，求二次函数关系式，掌握二次函数的图象上点的坐标特征以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．（1）把，代入，然后即可求解与之间函数关系式；（2）先求得，然后当时，，然后即可求解；（3）①根据与的函数关系式可求出点的坐标；②根据乒乓球反弹后抛物线的关系式以及解直角三角形可求出的最大值和最小值即可．【小问1详解】解：把，代入，解得：；∴；【小问2详解】解：由题意得，，∴，当时，．∴乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端的距离约为．答：乒乓球位于球网正上方