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第三节由导数公式积分得:分部积分公式或1)v容易求得;容易计算.机动目录上页下页返回结束分部积分法第四章分部积分法常见类型:(1)指数函数或三角函数与多项式的乘积.机动目录上页下页返回结束例如,(2)对数函数或反三角函数与多项式的乘积.例如,(3)指数函数与三角函数的乘积.例如,解题技巧:按“反对幂指三”的顺序,前者为后者为反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数例1.

求解:

令则∴原式思考:

如何求提示:

令则原式机动目录上页下页返回结束例2.

求解:

令则原式=机动目录上页下页返回结束例3.

求解:

令则∴原式机动目录上页下页返回结束例4.

求解:

令,则原式=机动目录上页下页返回结束例5.

求解:

令,则原式=机动目录上页下页返回结束例6.

求解:

令,则∴原式再令,则故原式=说明:

也可设为三角函数,但两次所设类型必须一致.机动目录上页下页返回结束例7.

求解:

令则∴原式=机动目录上页下页返回结束例8.

求解:

令则∴原式=机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束

总结机动目录上页下页返回结束

有了以上的六个基本积分公式,我们就可以计算以下的

两类不定积分:

方法:

配元,化为标准型,然后根据上述公式即可得.例9.

求解:

令则得递推公式机动目录上页下页返回结束说明:递推公式已知利用递推公式可求得例如,机动目录上页下页返回结束例10.

证明递推公式证:注:或机动目录上页下页返回结束说明:分部积分题目的类型:1)直接分部化简积分;2)分部产生循环式,由此解出积分式;(注意:两次分部选择的u,v函数类型不变,

解出积分后加

C)例43)对含自然数n

的积分,通过分部积分建立递推公式.例4目录上页下页返回结束例11.

求解:

令则原式机动目录上页下页返回结束令例12.

求解法1

先换元后分部令即则故机动目录上页下页返回结束解法2

用分部积分法机动目录上页下页返回结束例13.

已知的一个原函数是求说明:

此题若先求出再求积分反而复杂.机动目录上页下页返回结束解:内容小结分部积分公式1.使用原则:易求出,易积分2.使用经验:“反对幂指三”,前u

后3.题目类型:分部化简;循环解出;递推公式4.计算格式:机动目录上页下页返回结束练习.

求解:令则可用表格法求多次分部积分机动目录上页下页返回结束练习.

求解:

令则原式原式

=机动目录上页下页返回结束思考与练习1.下述运算错在哪里?应如何改正?得

0=1答:

不定积分是原函数族,相减不应为0.求此积分的正确作法是用换元法.机动目录上页下页返回结束2.

求提示:机动目录上页下页返回结束作业

P2031(4),(5),(6),(7),(8),(11),(14),(16),(21),(22);

4第四节目录上页下页返回结束备用题.1.求不定积分解：方法1(先分部,再换元)令则机动目录上页下页返回结束方法2(先换元,再分部)令则故机动目录上页

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