2024-2025学年苏科版数学八年级下册期中提升练：正方形

2024-2025学年苏科版数学八年级下册期中提升练4

（正方形专练）

【典型例题】

【例11正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）

A.对角线互相垂直B.对角线互相平分

C.对角线相等D.四个角都是直角

【例2】如图，在正方形A2CD中，。是8。的中点，过点。作OELCD于点E,则的度

【例3】如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在AD,AB上，满足=连接CE,DF,

点尸，Q分别是DF,CE的中点，连接PQ.若ZADb=（z.则NPQE可以用a表示为（）

【例4】如图，在正方形ABCD中，对角线AC,5。相交于点。，则图中的等腰直角三角形

有个.

［例5］如图，某小区规划在正方形ABCD场地中建一条矩形甬道EFGH及一条平行四边形甬

道MNQP,其余部分为草坪，若4?=。，EF=MN=b,则甬道所占的面积为

【例6】如图所示，在AA5C中，在ZAC8=90。，CD平分/ACS,DEJ.AC于E,DF±BC

于R求证：四边形CEE不是正方形.

【举一反三】

【变式11顺次连接一个菱形的各边中点所得四边形的形状是（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

【变式2】学习了四边形之后，小颖同学用如下图所示的方式表示了四边形与特殊四边形的关

系，则图中的“M”和“N”分别表示（）

A.平行四边形，正方形B.正方形，菱形

C.正方形，矩形D.矩形，菱形

【变式3】如图，在正方形ABCD中，点F为边CD上一点，BF与AC交于点E.若NCBF=25°,

则NAED的大小为度.

【变式4】如图，以的斜边为一边，在的右侧作正方形ABCD,正方形的对

角线交于点0,连接MO,如果AM=4,OM=回,那么

【变式5】小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所

示的菱形，并测得/B=60。，对角线AC=8cm,接着活动学具成为图2所示的正方形，则图2中

正方形对角线AC的长为cm.

【变式6】如图，正方形ABCD是绿地公园的一块空地，其边长为60m.公园设计部门为了给

儿童提供更舒适更安全的活动场地，准备将空地中的四边形DEBF（E在上，F在8c上）部

分作为儿童活动区，并用围栏围挡起来，只留三个出入口，即点D,E,F,而且根据实际需要，

要使得ZEDF=45。，并将儿童活动区（即四边形DEBb）划分为和△麻尸两种不同的游戏

场地，儿童活动区之外的部分种植花草.

⑴证明：AE+CF=EF；

⑵若钻=20m,请计算儿童活动区的面积.

【巩固练习】

1.四条边都相等，且对角线也相等的四边形是（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

2.如图，边长为3的正方形03CD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是（）

A.(3,-3)B.(-3,3)C.(3,3)D.(-3,-3)

3.下列判断正确的有（）个.

（1）一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形

（2）对角线相等的四边形是矩形

（3）一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形

（4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.将一张正方形纸片A5co如图所示的方式折叠，他，AF为折痕，点RD折叠后的对应点分别

为夕、D',若ZB'AD'=10。，则NE4F的度数为（）

A.50°B.40°C.45°D.60°

5.已知正方形ABCD,以CD为边作等边ACDE,则NAED的度数是

6.如图，正方形A2CD内有一等边ACDE,则ZADE的度数是.

7.如图，正方形ABCO的边长为1,CO、A0分别在x轴、y轴上,将正方形ABCO绕点0逆时

针旋转45°,旋转后点B对应的点的坐标为

8.如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1,点口、G分别在边BCCD上，P为

AE的中点，连接PG,则PG的长为

9.如图，在正方形ABCO中，E为上任意一点，EAC于尸,EGLBD于G,试说明:

EF+EG=OB.

10.已知；正方形ABCD的边长是4,F是DC边的中点，E是BC上的点，且CE=^BC,如图，求

4

证：ZAFE=90°.

11.如图，在正方形ABC。中，点E为边24延长上一点，点F在A5边上，且AE=5尸，过点

F作FGLAC,垂足为G,连接。G、EG.

(1)求证：EG=DG.

(2)试猜想：b与EG之间具有怎样的数量关系？并证明你的结论.

12.如图1,四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在线段CD上运动，连接AE,将线段AE

绕点A顺时针旋转45。得到AF.

【探索发现】

(1)爱思考的小鹿发现：过点F作FHLAC时，AH一定等于AD,小鹿发现的结论正确吗?

如果正确请帮小鹿完成证明过程，如不正确请说明理由;

【结论运用】

(2)当点F落在上时，此时OE的长为

【深入理解】

(3)若点G在直线上运动，当以点C、H、G、F为顶点的四边形是平行四边形时，求OE的

长;

【拓展延伸】

(4)如图2.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,2),点B是x轴正半轴上的一点,

将线段绕点A按逆时针方向旋转45。得到线段AC.若点C的坐标为(%3),则m的值为

答案解析

【典型例题】

［例1］正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）

B.对角线互相垂直B.对角线互相平分

C.对角线相等D.四个角都是直角

【答案】A

【例2】如图，在正方形AB。中，。是3。的中点，过点。作OEJ_CD于点E,则NBOE的度

【答案】B

【例3】如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在AD,AB上，满足DE=AF,连接CE,DF,

点尸，Q分别是DF,CE的中点，连接PQ.若Z/3=c.则NPQE可以用o表示为（）

【答案】B

【例4】如图，在正方形ABCD中，对角线AC,3。相交于点。，则图中的等腰直角三角形

有个.

BC

【答案】8

【例5】如图，某小区规划在正方形ABCD场地中建一条矩形甬道EFGH及一条平行四边形甬

道MNQP,其余部分为草坪，若=EF=MN=b,则甬道所占的面积为.

【答案】2ab—b2

【例6】如图所示，在AABC中，在ZACB=90。，CD平分/ACS,DESAC于E,DF±BC

于R求证：四边形CEDF是正方形.

【答案】：CD平分NAC5,DE±AC,DF±BC,

DE=DF,ZDFC=ZDEC=90°,

又•:ZACB=90。，

・•.四边形CEZm是矩形，

'：DE=DF,

矩形CEZ卯是正方形.

【举一反三】

【变式11顺次连接一个菱形的各边中点所得四边形的形状是（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

【答案】D

【变式2】学习了四边形之后，小颖同学用如下图所示的方式表示了四边形与特殊四边形的关

系，则图中的“M”和“N”分别表示（）

B.平行四边形，正方形B.正方形，菱形

C.正方形，矩形D.矩形，菱形

【答案】B

【变式3】如图，在正方形ABCD中，点F为边CD上一点，BF与AC交于点E.若NCBF=25°,

则NAED的大小为度.

【答案】70

【变式4】如图，以RSABM的斜边为一边，在的右侧作正方形正方形的对

角线交于点0,连接MO,如果4W=4,OM=回,那么

【答案】10

【变式5】小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所

示的菱形，并测得48=60。，对角线AC=8cm,接着活动学具成为图2所示的正方形，则图2中

正方形对角线AC的长为

cm

【答案】8应

【变式6】如图，正方形ABC。是绿地公园的一块空地，其边长为60m.公园设计部门为了给

儿童提供更舒适更安全的活动场地，准备将空地中的四边形DEZ*（E在AB上，F在上）部

分作为儿童活动区，并用围栏围挡起来，只留三个出入口，即点D,E,F,而且根据实际需要，

要使得ZEDF=45。，并将儿童活动区（即四边形DEBb）划分为ADEF和△3EF两种不同的游戏

场地，儿童活动区之外的部分种植花草.

(1)证明：AE+CF=EF-

⑵若AE=20m,请计算儿童活动区的面积.

【答案】（1）证明：如图，将VADE绕点D逆时针旋转90。得到△CD9.

:.AE=CH,DE=DH,ZADC=ZEDH=90°.

NE。尸=45。，

:.ZHDF=45°.

即NEDF=NHDF.

在AEDF和AHOF中,

DE=DH

<ZEDF=ZHDF,

DF=DF,

.,,^EDF=^HDF,

:.EF=HF,

:.EF=FC+CH=FC+AE.

（2）解：•四边形ABC。是正方形，.

AB=BC=AD=60m.

AE=20m,

BE=40m.

由（1）可知，EF=AE+CF,设C「=xm,则族=（60—x）m,EF=（20+x）m.

在RtAB£F中，BE2+BF2=EF2,

.■.1600+（60-X）2=（20+X）2

.-.x=30,即C尸=30m,3尸=30m,

2

•••S四边形DEBF=W™-5flA£=+AD）AB-^ADAE=2700-600=2100（m）.

故儿童活动区的面积为2100mz.

【巩固练习】

1.四条边都相等，且对角线也相等的四边形是（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

【答案】D

2.如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是（）

A.(3,-3)B.(-3,3)C.(3,3)D.(-3,-3)

【答案】C

3.下列判断正确的有（）个.

（1）一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形

（2）对角线相等的四边形是矩形

（3）一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形

（4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

4.将一张正方形纸片ABC。如图所示的方式折叠,AE,AF为折痕，点昆。折叠后的对应点分别

为反D',若/BAD'=10。，则的度数为（)

A.50°B.40°C.45°D.60°

【答案】B

5.已知正方形ABCD,以CD为边作等边ACDE,则NAED的度数是

【答案】15°或75°

6.如图，正方形ABCD内有一等边ACDE,则ZADE的度数是.

【答案】30度

7.如图，正方形ABC0的边长为1,CO,A0分别在x轴、y轴上，将正方形ABCO绕点0逆时

针旋转45°,旋转后点B对应的点的坐标为

8.如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1,点口、G分别在边5。,。上，P为

则PG的长为

【答案】75

9.如图，在正方形中，E为8C上任意一点，跖_14。于尸，EGLBD于G,试说明:

EF+EG^OB.

【答案】•••四边形是正方形,

.\AC±BD9ZCBO=45°,

•：EF【AC,GE±BD9

.\ZOGE=ZOFE=9Q°,

.・・ZBEG=90°-45°=45°,

^­.­AC.LBD,

二.四边形OG跖是矩形；

.\EF=OG9

又・./EBG=/BEG=45。,

:.EG=BG,

:.EF+EG=OB

10.已知；正方形ABCD的边长是4,F是DC边的中点，E是BC上的点，且CE=%C,如图，求

4

证：ZAFE=90°.

【答案】连接AE,延长EF交AD延长线于点G,如图:

•.,正方形ABCD,

AB=BC=CD=DA,

ZB=ZC=ZADC=90°,

•••CE=%C,

4

.,.设AB=BC=4a,贝1JCE=a,BE=3a,

在Rt△ABE中，AE=VAB2+BE2=5a,

•.•点F是CD中点,

ACF=DF,

(zC=zADC

VCF=DF

LDFG=ZCFE

CEFSADGF(ASA),

・•.EF=FG,CE=DG=a,,

:.AG=AD+DG=5a,

，AE=AG,

又,.・EF=FG,

・•・AF1EF,

・•・ZAFE=90°.

11.如图，在正方形ABC。中，点E为边54延长上一点，点F在A5边上，且AE=5尸，过点

F作FGLAC,垂足为G,连接。G、EG.

（2）试猜想：b与EG之间具有怎样的数量关系？并证明你的结论.

【答案】（1）连接GB,如图所示，

•.•四边形ABC。是正方形,

ZC4B=45°,

VFGAAC,垂足为G,

/.ZAFG^ZCAB=45°,

：.AG^GF,ZEAG=ZBFG=135°,

'：AE=BF,

：.AEAG^ABFG(SAS),

：.GB=GE,

'：AD=AB,ZDAC^ZBAC=45°,AG=AG,

/.An4G^ABAG（SAS）,

：.GB=DG,

：.EG=DG.

（2）证明：CF=4^EG.

连接OE,如图所示，

由（1）得AE4G2一FGeAS）,

ZGEA=ZGBA,

•：^DAG^ABAG（SAS）,

：.ZGDA^ZGBA,

：.ZGEA=ZGDA,

ZGEA+ZGEEh-ZADE=90°,

：.Z.GED+ZADE+Z.GDA=90°

/.ZDGE=ZDAE^90°,

由⑴得EG=DG,

ADGE是等腰直角三角形，且。石=^DG^+EG2=拒EG，

AE=BF,

AAB