2025年高考数学一轮复习考点培优训练及答案14

提能训练练案［14］

*A组基础巩固9

一、单选题

1.如图所示的是一份统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的有()

(1)这几年人民生活水平逐年得到提高；

(2)人民生活费收入增长最快的一年是2019年；

(3)生活费价格指数上涨速度最快的一年是2020年；

(4)虽然2021年生活费收入增长是缓慢的，但由于生活费价格指数也略有降低，因而人民

生活有较大的改善.

A.1项B.2项

C.3项D.4项

［答案］C

2.(2025・武汉模拟)在用计算机处理灰度图象(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为256个等

级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至

255之间对应的数表示，这样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”.在处理有些较黑的

图象时，为了增强较黑部分的对比度，可对图象上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级,

压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：

则下列可以实现该功能的一种函数图象是()

［答案］A

［解析］根据图片处理过程中图象上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰

度值，处理后的图象上每个像素的灰度值增加，所以图象在y=x上方，结合选项只有A选项

能够较好的达到目的.

3.“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污.

某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米，每天的进出水量为k立方米.已知污染源以每天r

个单位污染河水，某一时段/（单位：天）的河水污染质量指数巩力（每立方米河水所含的污染物）

满足加"）=什］侬一软；（加为初始河水污染质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量

的80倍.若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%,需要的时间大

约是（参考数据：lnl0Q2.30）（）

A.1个月B.3个月

C.半年D.1年

［答案］C

±±］

［解析］由题可知，m（r）=moe-8°r=O.lmo,e-80z=0.1,0.1^—2.30,

oU

H84（天）,

•.•要使河水的污染水平下降到初始时的10%,需要的时间大约是半年，故选C.

4.（2023•西安市关山中学高三阶段练习）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶

的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是

A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

［答案］D

［解析］对于A,由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L,

，当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km,故A错误；

对于B,由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽

油，甲车的行驶路程最远，

以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；

对于C,由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L,即甲车行驶10km

时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km,燃油为8升，故C错误；

对于D,由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，

用丙车比用乙车更省油，故D正确.故选D.

5.（2024.湖南长沙三模）地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早

是由查尔斯・里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为M=lgA—lgAo,其中M

表示某地地震的里氏震级，A表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅，A）表示这次地

震中的标准地震振幅.假设在一次地震中，某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为5

000,且这次地震的标准地震振幅为0.002,则该地这次地震的里氏震级约为（参考数据：1g

2q0.3）（）

A.6.3级B.6.4级

C.7.4级D.7.6级

［答案］B

［解析］由题意，某地地震波的最大振幅为5000,且这次地震的标准地震振幅为0.002,

可得M=lg5000-1g0.002=lg^^-lgf^5=4—lg2-(lg2—3)=7—21g2心6.4.故选B.

6.(2022.北京卷)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界

直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T

和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是()

200250300350400T

A.当T=220,P=1026时，二氧化碳处于液态

B.当T=270,P=128时，二氧化碳处于气态

C.当T=300,P=9987时，二氧化碳处于超临界状态

D.当T=360,P=729时，二氧化碳处于超临界状态

［答案］D

［解析］对于A选项，当T=220,P=1026,即lgP=lg1026>lg1。3=3时,根据图象可

知，二氧化碳处于固态;对于B选项,当T=270,尸=128,即lgP=lg128©(lgIO2,lg103),

即lgP©(2,3)时，根据图象可知，二氧化碳处于液态；对于C选项，当T=300,P=9987,

即lgP=lg9987<lg1。4=4时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于D选项，当T=360,

尸=729,即lgP=lg729©(lgIO?,1g1。3),即1g尸=1g729©(2,3)时，根据图象可知,二氧化

碳处于超临界状态.故选D.

7.(2024.宁夏吴忠模拟预测)从甲地到乙地的距离约为240km,经多次实验得到一辆汽车每

小时耗油量。(单位：L)与速度v(单位：km/h)(0WvW120)的下列数据：

V0406080120

Q0.0006.6678.12510.00020.000

为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数

模型是()

A，2=0.5v+tzB.Q=av+b

1

C.Q=av'+bv+cvD.Q=ldogav-\-b

［答案］C

［解析］作出散点图，由图可知函数模型满足：第一，定义域为。120］；第二，在定义域

单调递增且单位增长率变快；第三，函数图象过原点.函数。=03+。在定义域内单调递减，

故A错误；函数。=的+~的单位增长率恒定不变，故B错误；。=〃/+加满足上述三

点，故C正确；函数。=0ogav+b在v=0处无意义，D错误.故选C.

24

20

16

12

8

4

O20406080100120140160x

8.成昆线复线是国家西部大开发重点工程建设项目，是“一带一路”建设中连接南亚、东

南亚国际贸易口岸的重要通道.线路并行于既有成昆铁路，全长约860公里，设计时速160公

里，预计于2022年12月试运行.西昌到成都的列车运行时不仅速度比以前列车快而且噪声更

小.我们用声强/（单位：W/n?）表示声音在传播途径中每1平方米面积上声能流密度，声强级

L（单位：dB）与声强/的函数关系式为：£=103［5船）.若提速前列车的声强级是100dB,提速

后列车的声强级是50dB,则普通列车的声强是高速列车声强的（）

A.106倍B.105倍

CIO4倍D.103倍

［答案］B

［解析］根据函数模型，列出关系式，进而结合对数与指数的互化运算即可求解.

不妨设普通列车的声强是九，高速列车声强是12,

即也|^%）=10，lg|j^j=5,

则炮〔图一炮〔舟=5,

即喊=5,

解得£=1。5.故选B.

二、多选题

9.某公司经营四种产业，为应对市场变化，在三年前进行产业结构调整，优化后的产业结

构使公司总利润不断增长，今年总利润比三年前增加一倍.调整前后的各产业利润与总利润的

占比如图所示：

医疗器械

调整前调整后

则下列结论中正确的有（）

A.调整后房地产业的利润有所下降

B.调整后医疗器械的利润增长量最大

C.调整后生物制药的利润增长率最高

D.调整后金融产业的利润占比最低

［答案］BCD

［解析］利用题中扇形图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可.假设

调整前总利润为100,那么调整后总利润为200,对于A,调整前房地产业利润占45%,利润

为45,调整后利润占比25%,利润为50,应该是有所上升的，故选项A错误；对于B,调整

前医疗器械利润为20,调整后利润为80,房地产业调整前利润为45,调整后利润为50,金融

调整前利润为25,调整后利润为20,生物制药调整前利润为10,调整后利润为50,故选项B

正确；对于C,医疗器械利润增长率为300%,生物制药利润增长率为400%,故选项C正确；

对于D,由扇形图可知，金融产业利润占比为10%,所以调整后金融产业的利润占比最低，故

选项D正确.故选BCD.

10.某“跑团”为了解团队每月跑步的平均里程，收集并整理了2022年1月至2022年11

月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：千米）的数据.绘制了下面的折线图.

根据折线图，下列结论正确的是（）

A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的平均里程数

B.月跑步平均里程逐月增加

C.月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月

D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳

［答案］CD

［解析］由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的平均里程数，A错误；月

跑步平均里程不是逐月增加的，B错误；月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月，C正确；

1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至H月，波动性更小，变化比较平稳，D正确.

11.(2023・济南质检)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的

路程力(x)(，=l,2,3,4)关于时间x(x20)的函数关系式分别为力(%)=2工-1,fi(x)=x2,fi(x)=x,fa(x)

=log2(x+l),则下列结论正确的是()

A.当x>l时，甲走在最前面

B.当x>l时，乙走在最前面

C.当0<%<1时，丁走在最前面，当x>l时，丁走在最后面

D.如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲

［答案］CD

［解析］甲、乙、丙、丁的路程力(x)(i=l,2,3,4)关于时间x(x>0)的函数关系式分别为力(x)

=2X—1,及(x)=f,fi,(x)=x,力(x)=log2(x+l),它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、

二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型.

当x=2时，力(2)=3,力(2)=4,所以A不正确；

当x=5时,力(5)=31,力(5)=25,所以B不正确;

根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x=l时，甲、乙、

丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x<l时，丁走在最前面，当x>l时，丁走在

最后面，所以C正确；

指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指

数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确.

三、填空题

12.调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/kg的经济效益.为激励居民垃圾分类，某

市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放1kg积1分，若一个家庭一个月内垃圾分类

投放总量不低于100kg,则额外奖励x分(x为正整数).月底积分会按照0.1元/分进行自动兑换.

(1)当x=10时，若某家庭某月产生120kg生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换

元；

⑵为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的

40%,则x的最大值为.

［答案］⑴13⑵36

［解析］(1)若某家庭某月产生120kg生活垃圾，则该家庭月底的积分为120+10=

130(分)，

故该家庭该月积分卡能兑换130X0.1=13(%).

(2)设每个家庭每月产生的垃圾为/kg,每个家庭月底积分卡能兑换的金额为1/)元.

当0W/<100时，五。=0.1/<0.34").4=0.136/恒成立；

当r^lOO时，^)=0.k+0.1x<0.34r-0.4,

可得xW(0.36f)min=36.

故X的最大值为36.

13.(2024.广东梅州模拟预测)某科创公司新开发了一种溶液产品，但这种产品含有2%的杂

质，按市场要求杂质含量不得超过0.1%,现要进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少3，要

使产品达到市场要求，对该溶液过滤的最少次数为.(参考数据：1g2心0.301,1g

3=0.477)

［答案］8

［解析］设至少需要过滤n次，可得0.02X停>W0.001,即停｝或击，两边取对数，可得

所以心”

1+坨2。

〃lggWlg而,7.4,又因为〃©N*,所以九三8,所以使产品达到市

1g3-1g2^

场要求的过滤次数最少为8次.

14.(2025•山东荷泽期中)某公司新开发生产一种产品可获得的利润y(单位：万元)与投入使

用时间x(单位：年)满足y=—f+16x—9(x©N*,xW15),当投入使用年时，此产品

的年平均利润最大.

［答案］3

［解析］当x©N*,xW15时，年平均利润1=16—(x+|)wi6—2\^|=10,当且仅当%

=3时取等号，所以当投入使用3年时，此产品的年平均利润取最大值10万元.

四、解答题

15.兴泉铁路起于江西，途经三明，最后抵达泉州(途经站点如图所示).这条“客货共用”

铁路是开发沿线资源、服务革命老区的重要铁路干线，是打通泉州港通往内陆铁路货运的重要

方式，将进一步促进山海协作，同时也将结束多个山区县不通客货铁路的历史.目前，江西兴

国至清流段已于2021年9月底开通运营，清流至泉州段也具备了开通运营条件，即将全线通

车.预期该路线通车后，列车的发车时间间隔*单位：分钟)满足2WW20.经市场调研测算，列

车载客量与发车时间间隔/相关,当10W/W20时列车为满载状态，载客量为720人；当2W/<10

时，载客量会减少，减少的人数与(12一/)的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时的载客量

为396人.记列车载客量为p⑺.

兴泉铁路线路图:

宁都县福建

“、石城七虫M溪县三明市

兴泉铁路

(1)求p。)的表达式；

(2)若该线路每分钟的净收益为。⑺=型午如一60(元)，问当发车时间间隔为多少时,

该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.

［解析］(1)由题知，当10W<20时，p⑺=720,

当20<10时,可设p(/)=720一网12—。2,

又发车时间间隔为3分钟时的载客量为396人，

，p(3)=720—412—3)2=396,解得左=4.

此时尸⑺=720—4X(12—/)2=—4户+96/+144,2W/<10,

4-+96/+144,2W/<10,

”［720,10W/W20.

132—81—7,2W/<10,

⑵由⑴知：Q«)=q

•.,2W/<10时，。⑺W132—28r~=84,当且仅当。=3等号成立,

.••2W/<10时，Q«)max=Q(3)=84,

当10WW20上,Q⑺单调递减，则。⑺max=Q(10)=48,

综上，时间间隔为3分钟时，每分钟的净收益最大为84元.

B组能力提升

1.（2023•上海浦东新区期中）国际上通常用恩格尔系数衡量一个国家和人民生活水平的状

况，它的计算公式为“="（》代表人均食品支出总额，y代表人均个人消费支出总额），且y=2x

+475,各种类型的家庭标准如表：

家庭类型贫困温饱小康富裕

n〃三59%50%W“<59%40%W〃<50%30%W〃<40%

张先生居住区2019年比2018年食品支出下降7.5%,张先生家在2019年购买食品和2018

年完全相同的状况下，人均个人消费少支出75元，则张先生家2019年属于（）

A.贫困B.温饱

C.小康D.富裕

［答案］D

［解析］设2018年人均食品支出x元，则2019年人均食品支出x（l—7.5%）=92.5%x,2019

年人均消费支出2X92.5%X+475,由题意，有2X92.5%x+475+75=2x+475,，x=500.此

时，〃=<0/乂4=33.04%,由表知属曷俗.

ZAVZ.D/0zxDUU-1-4/3

2.（2024.浙江杭州二模）某外来入侵植物生长迅速，繁殖能力强，大量繁殖会排挤本地植物，

容易形成单一优势种群，导致原有植物种群的衰退甚至消失，使当地生态系统的物种多样性下

降，从而破坏生态平衡.假如不加控制，它的总数量每经过一年就增长一倍.则该外来入侵植物

由入侵的1株变成100万株大约需要（参考数据：1g2-0301）（）

A.40年B.30年

C.20年D.10年

［答案］C

［解析］设该外来入侵植物由入侵的1株变成100万株大约需要X年，由题意知，1X2X

=1000000,即不=106,所以尤=iog2106=61og210=3誓心焉开心20,即由入侵的1株变成

100万株大约需要20年.故选C.

3.（多选题）（2024.厦门模拟）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规

定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间/（小时）之间的关系近似满

足如图所示的曲线.据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效,

则（）

A.Q=3

B.注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时

C.注射该药物:小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克

31

D.注射一次治疗该病的有效时间长度为5岩小时

［答案］AD

'47,OW<1,

［解析］由函数图象可知尸产_卜（>］

当t=l时，y=4,

即（1）17=4,解得。=3,

•,产即,即故A正确;

药物刚好起效的时间，当4/=0.125,即/==，

药物刚好失效的时间厂3=0.125,

解得t=6,

131

故药物有效时长为6—交=5克（小时），

注射一次治疗该病的有效时间长度不到6个小时，

故B错误，D正确；

注射该药物:小时后每毫升血液含药量为4x［=0.5（微克），故C错误.

OO

4.（2024.安徽淮南一模）我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于

2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和.为了响应党和国家的号召，某企业在国家

科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技

术处理总成本M单位：万元)与处理量武单位：吨)(x©[120,500])之间的函数关系可近似表示为

ri

F，—80f+5040x,%e[120,144),

y=<当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本

宗―200x+80000,x£[144,500],

最少()

A.120B.200

C.240D.400

[答案]D

[解析]由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为

80x+5040,%e[120,144),

S=0

180000

,x£[144,500],

2X-2004x

当[120,144)时，

S=|x2-80x+5040=|(X-120)2+240,

当尤=120时，S取得最小值240,

当xG[144,500]时,

01,80000,180000……

S=]x+^——200N2/一-—-200=200,

当且仅当跄"，即龙=400时取等号，此时S取得最小值200,综上，当每月处理量

为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元，故选D.

5.方同学积极响应国家“全面实施乡村振兴战略”的号召，大学毕业后回到家乡，利用所

学专业进行自主创业，自主研发生产A产品.经过市场调研，生产A产品需投入固定成本1万

元，每生产x(单位：万件)，需再投入流动成本C(x)(单位：万元)，当年产量小于9万件时，

4e，

C(x)=~+6x—8,当年产量不小于9万件时，C(x)=5x+lnx+——12.已知每件A产品的售价为

5元，若方同学生产的A产品当年全部售完.

(1)写出年利润P(x)(单位：万元)关于年产量x的函数解析式；(注：年利润=年销售收入一

固定成本一流动成本)

(2)当年产量约为多少万件时，方同学的A产品所获年利润最大？最大年利润是多少？(注:

取e3^20)

［解析］(1)因为产品售价为5元，则x万件