2025届上海市宝山区九年级数学一模试卷与答案

第一学期期末考试九年级数学试卷

考生注意：

1.本试卷共25题.

2.试卷满分150分.考试时间100分钟.

3.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一

律无效.

4.除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或

计算的主要步骤.

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）

【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题

纸的相应位置上】

1.在比例尺为1：500的图纸上，量得一座塔的高是2.2厘米，那么它实际的高度是（▲）

(A)11米；(B)110米；(C)22米；(D)220米

ZC=90°,如果sinA=1,那么cosB的值是（▲）

2.在RtAABC中，

2

(A)叵:

(B)(C)—；(D)省.

223

3.下列图形，相似的一组是（▲）

（A）两个直角三角形；（B）两个等腰三角形；

（C）有一个内角为80°的两个菱形；（D）边长分别是2厘米和3厘米的两个菱形.

4.在平面直角坐标系xOy中，如果点（L山、6）、（2,c）都在抛物线y=上，

323

那么(▲)

(A)a<b<c\(B)c<a<b\(C)b<c<a；(D)b<a<c.

5.如图1,在梯形A3CQ中，AD//BC,AB=CD=ADfZB=60•°，设AB=a,AD=b,

1_________________D

用向量3、石的线性组合表示向量皮，结果正确的是(▲.

(A)DC=ci—b；(B)DC=ci+b；

BC

DC—ci-\—h

22

<41s

6.如图2,己知△ABC,ZACB=90°,BC=2AC,延长AC至点r>,

、BE,BD交f彳B

使AD=AB,以CD为边作正方形CDEF,联结BD

EF于点G.某同学得到以下两个结论：LX/

D

图2

①G是线段EF的黄金分割点；②相些=隆医.

SMDESADEG

关于结论①和②，下列说法氐邮的是（▲）

（A）①正确②错误；（B）①错误②正确；（C）①和②都错误；（D）①和②都正确.

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】

7.已知g=2=£,那么生土2的值是▲.

345c

一1一-

8.计算：a+-（b-d）=A

"行•2…2sin60°.cc。▲

9o.计臬sin"45°----------卜sin30°=▲.

cot30°

10.如果二次函数y=+〃?的图像开口向下，那么烧的取值范围是▲.

11.如图3,。是四边形ABCD内一点，点F、G、H分别在线段A。、BO、CO、DOh,

如果E尸〃4B,FG//BC,GH//CD,S.EF=2,AB=5,AD=6,那么EH的长是▲.

12.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x-1尸+2关于y轴对称的抛物线的表达式为

13.在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=a（x-m）2+左先向左平移3个单位，再向上平

移4个单位，所得到的新抛物线的对称轴方程是x=7,那么原抛物线的顶点的横坐标

是▲.

14.如图4,在RtZkABC中，ZACB=90°,。、E分别是边AB、AC的中点，如果8C=4,

△AD£的面积是5,那么ZACD的正切值是▲.

15.如图5,在RtZkABC中，ZACB=90°,AC=6,tan3=—,。是斜边A5上任意一点，

4

联结CD,点从厂分别是△AC。，ABCD的重心，那么四边形CEDF的面积是▲,

16.在数学活动课上，需要用三角形纸片裁剪出一张正方形纸片.如图6,现有三角形纸片

(△ABC),已知/ACB=90°,AC=40cm,BC=30cm.裁剪出的正方形的

一个顶点是直角顶点C,其余三个顶点。、E、尸分别在边AC、AB,BC上,那么正方

形的边长是▲cm.

17.一个二次函数的图像经过点G,0),则称f的值是这个函数的“零点”.例如：二次

函数y=a(x-3)(x+2)(a/0),无论a取何值，这个函数的图像总经过点(3,0)和

点(-2,0),所以3和-2是这个函数的“零点”.如果一个二次函数有且只有一个“零

点”7,那么这个二次函数的解析式可以是▲.(写出一个符合要求的函数解析

式即可)

18.如图7,已知△A8C,AB=AC=4,ZB=30°,。是边8c的中点，线段绕点。顺

时针旋转得到对应线段上山，线段夕与边AC、BC分别交于点£F.如果

是直角三角形，那么AE的长是▲.

三、解答题(本大题共7题，满分78分)

19.(本题满分10分，第⑴小题满分3分，第⑵小题满分7分)

一副三角尺由两块直角三角尺组成，其中一块是含30。角的直角三角形，另一块是含

45°角的直角三角形.用这两块三角尺可以拼成一个四边形ABC。(如图8),设=

(1)用含a的代数式直接表示：AD=▲；

(2)求的正切值.

D

图8

20.（本题满分10分，第⑴小题满分7分，第⑵小题满分3分）

为了方便居民出入小区，小区业委会决定对大门口的一段斜坡进行改造.原坡面是矩形

ABCD（如图9）,AB=4米，4。=2米，斜坡A3的坡角为30°.计划将斜坡A3改造成

坡比为1：2.5的斜坡AE（如图10所示），坡面的宽度不变.

（1）求改造后斜面底部延伸出来的部分（BE）的长度;

（2）改建这条斜坡需要多少立方米的混凝土材料?

21.（本题满分10分，第⑴小题满分2分，第⑵小题满分8分）

在平面直角坐标系无0y中，已知A（-l,ri）,8（5,“）是抛物线y=a（x-附？+左（。＞0）

上的两点.

（1）m-▲；

（2）如果该抛物线与x轴交于点C、D（点C在点。的右侧），且CQ=4,四边形A8CQ

的面积是25,求这个抛物线的表达式.

22.（本题满分10分，第⑴小题满分4分，第⑵小题满分6分）

如图11,正方形ABC。的边长是3,点分别在边A。、C£＞上，ZEBF=45°,BE、

8尸分别与对角线AC交于点G、H.

（1）当NABE=▲°时，AG=CH,先补全条件，再说明理由；

（2）如果8=也，求BG的长.

23.（本题满分12分，每小题满分各6分）

学完“相似三角形”之后，小明和同学尝试探索相似四边形的判定与性质，以下是他们

的思考，请你和他们一起完成探究过程.

【定义】如果两个四边形的四个角对应相等，四条边对应成比例，那么这两个四边形相似.

两个相似四边形的对应边的比，叫做这两个四边形的相似比.

【思考】类比相似三角形，对相似四边形的判定与性质提出了许多猜测，如：

①四条边对应成比例，且有一组角对应相等的两个四边形相似；

②四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似；

③相似四边形的面积的比等于相似比的平方.

【探究】请完成上述猜测中第③个结论的证明.

【运用】同学们通过讨论，证明了上述猜测都是正确的.试运用这些结论，解决问题:

如图12,已知矩形ABC。，尸分别是边A。、AB上的点，AE=-AB>

2

AF=-AD^联结3£、。尸交于点G,试求四边形人前产的值.

2S四边形865

B

图12

24.(本题满分12分，第⑴小题满分4分，第⑵①小题满分4分，第⑵②小题满分4分)

如图13,在平面直角坐标系xOy中，己知抛物线y=a/+4的顶点为。，点A、B在

抛物线上，且都在y轴右侧，横坐标分别是根、〃?+1.

(1)联结A。、BD,求cot/ODA-cot/ODB的值(结果用含a的代数式表示)；

(2)如果y轴上存在点C,使得ACL8C,且AC=BC,

①求抛物线的表达式；

②若43=而■，点E在y轴上，且△AOE与△A8C相似，求点E的坐标.

图13备用图

25.(本题满分14分，第⑴小题满分4分，第⑵小题满分4分，第⑶小题满分6分)

如图14,己知△ABC中，ZACB=90°,BC=2,AC=3,点、E、尸分别在边AC、AB

上(不与端点重合)，BELCF,垂足为点D.

(1)当CE=1时，求4尸的长；

(2)当BE=C尸时，求tan/CBE值；

(3)联结ER如果是直角三角形，求这时四边形的面积.

参考答案

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1.A；2.B；3.C；4.A；5.B；6.D.

二、填空题：（本大题共12题,每题4分,满分48分）

2-1一

7.2；8.-6Z+-&；9.0；10.m<1U12.y=(%+1)+2；

33f

2

13.2；14.15.8；16y=(x+l)2等;18.6+1或2.

5-v

三、解答题:（本大题共7题，满分78分）

19.解:

3分

（2）延长。C,过点B作BE上DC,垂足为点E.1分

VZACZ)=90°,ZACB=45°,

・•・ZBCE=45°,1分

9：BELDC,BC=a,

:.BE=BC•sin/BCE=旦展

1分

2

V2

EC=BC•cosZBCE=----a•1分

2

VZACD=90°,ZDAC=30°,AD=^_a>

3

：.8=凡,1分

3

在RtABED中，tanZBDC=股1分

DE

V2

—a

tanZBDC=2=273-3-1分

23

20.解：（1）延长EB,过点A作AFLEB,垂足为点F.1分

在RtABED中,ZABF=30。，AB=2,

2~~F一51

BF=AB-cos30°=2百，.......................................2分

:在放△AEF中，4f=J_,

EF2.5

：.EF=2.5AF=5,.............................................2分

BE=EF-BF=5-2瓜.....................................1分

答：改造后斜面底部延伸出来的部分(BE)的长度(5-2杼米.……1分

(2)7昆7疑土材料：g§E.A尸.AO=gx(5_2V5)x2x2=]0_4后•..........2分

答：改建这条斜坡需要(10-4g)立方米的混凝土材料...........1分

21.解：(1)m=2；...........................2分

(2)由m=2,可知抛物线的对称轴是直线x=2,

而抛物线与x轴交于点C、D,

可得C(4,0),D(0,0),CD=4,..........1分

由A(-l,"),B(5,n),可知四边形ABC。是梯形，

AB=6,.....................................1分

于是枭BCL"(A8+8)=25,即巡上9=25,..........................I分

角毕得〃=5,............................................................1分

将。(0,0),B(5,5),分别代入y=a(x—2)2+3得4i+左=0,1分

9〃+左=5,

a=lj

解得2分

k=-4,

所以，抛物线的表达式是y=(尤-2)2-4.1分

22.(1)当NA8E=22.5°时，AG=CH；......................................................................1分

证明：：在正方形ABC。中，

：.AB=BC,ZBAD=ZBCD=90°,ZBAG=ZEAG=-ABAD,NBCH’NBCD,

22

：.ZBAG=ZBCH=45°,...................................................................................1分

VZABC=90°,ZEBF=45°,/ABE=22.5°,：.ZCBH=22.5°,

VZABG=22.5°,AZABG=ZCBH,..............................................................1分

:.MABG冬MBH,..................................................................................1分

：.AG=CH.

(2)解：过点〃作垂足为点M.

在RtZXffiWC中，sinNBCH=^~，cosZBCH=—

CHCH

•；NBCH=45°,CH=42,

：.HM^CHsm45°=1,CM=C〃-cos45°=1,...............1分

：.BM=BC-CM=3~]=2,sinzHBM=-=-^........................1分

BM2

*/SRt/\BCFsinZ.FBC=—=-，•*-CF=->..........................................1分

BC22

,/ZBCH=ZEBF=45°,ZAGE=ZBGH,；.△8GHs△CFH,.............................1分

•BGBH.BG75

,,=,,•=1分

CFCH

2

“一3M

D\J-1分

4

23.(1)证明：连接B'D'...............................................................................................1分

四边形ABCD与四边形A"，CD'相似，

AZA=ZA',幽=AP_=k，......................................................................................1分

A®

•^AABD_心2

••——IX

SAA'B'D，

同理SkBCD二女2

^AB'C'D"

M心，

S"BP+SCD=1分

SAA®OTS"'CD'

S四边形A5CD_J^2

分

q一—1

u四边形ABC'。

(2)解：・・,在正方形A5C。中,

AZA=ZC=90°,AD//BC,AB//CDfAD=BC,AB=CD,

：・NAEG=/CBG,ZAFG=ZCDG,.....................................1分

,•*AE=-AB^AF=-AD^

22

.••丝="=l，即空="，VZA=ZA,

ABAD2AFAD

：.AABE^AADF.：.ZAEG=NAFG,.................................1分

:・/AEG=/CDG,ZAFG=ZCBG,

••­=A-E----AF，

ABAD

・・・丝=竺，...................................1分

CDBC

•：/EGF=/DGB,

・•・四边形AEG尸s四边形CDGB,...........................................................................1分

1分

24.解：（1）过点A作轴，垂足为点G.

根据题意可得D(0,4),A(相，W+4)，G(0,cw?+4)1分

/.AG=m,DG=—am2,

在此△AG。中，cotNOZM=型，

AG

cotNODA=-am,....................1分

同理cotNODB=-〃(m+1),......1分

/.cotZODA-cotZODB=a,…1分

（2）①过点A作轴，垂足为点”，过点B作3NJ_y轴，垂足为点N.

AZAMC=ZBNC=90°,AZACM+ZCAM=90°

VACXBC,AZACM+ZBCN=90°,

：.ZCAM=ZBCN,

'：AC=BC,:,△AMCQXBNC,........................1分

:・AM=CN=m,CM=BN=m+1,*.MN=2m+l,

由A(m,am2+4),B(m+La(jn+1)2+4),

MN=am2+4—a(m+1)2—4=—2am—a——a(2m+1),

••-a(2m+1)=2m+L...............................................................................1分

'•a--L............................................................................................1分

所以，抛物线的表达式是y=r2+4.........................1分y

22

②由A(m,-m+4),B(m+1,-(m+1)+4)?EI-i

•*-AB=712+(2m+l)2»E'/\

*/AB=V10,AI2+(2/71+1)2=10,_

T、3

解得根=1(负值不合题意舍去)，............1分

/.A(1,3),8(2,0),C(1,0),cotZODA=i,.................................1分

AT)=V2,AC=45,ZODA=45°,

由△AOE与△ABC相似,

当/AEZ)=90°时，匹="，DE41,DE=1,£(o,3)；........1分

ACAB75TH)

当/ZME=90°时，匹=四，些=显，DE=2,E(0,2)；........1分

ABAC710V5

所以，点E的坐标是(0,3)或(0,2).

25.(1)解：过点尸作EGLAC轴，垂足为点G.

/.Z1+Z3=90°,同理Nl+/2=90°,AZI=Z3,

:FGLAC,ZACB=90°,：.ZFGC=ZECB,

：.^FGC^/\ECB,：.FG_CE、

GCBC

,?CE=1,BC=2,=L

GC2

分

设尸G=尤，则GC=2x,AG=3-2r,1

在MZkABC中，BC=2,AC=3,AB=』展S=而，

VZA=ZA,ZAGF=ZACB=90°,

：./\AFG^/\ACB,.,.空=丝=竺，............................1分

BCACAB

/1x=3-2x=AF；解得彳=9,.................................1分

23vB'7

AAF=^-....................................................................1分

7

解：(2)