2025年高考数学复习难题速递之空间向量基本定理及坐标表示（2025年4月）

第38页（共38页）2025年高考数学复习难题速递之空间向量基本定理及坐标表示（2025年4月）一．选择题（共8小题）1．（2024春•凉州区校级期中）已知向量{a→，b→，c→}是空间的一个基底，向量{a→+b→，a→A．(12，32C．(3，-12，2．（2024秋•吉林期中）若{a→，b→，cA．a→-c→，a→-b→，b→C．b→+a→，b→-a→+c3．（2024秋•恩施州期中）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为DB上靠近点D的三等分点，N为CC1的中点．设A1B1A．23a→+1C．23a→+4．（2024秋•福清市期中）在四面体OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→A．a→-14b→-14c→ 5．（2024秋•北仑区期中）设{a→，b→，c→}为空间的一个基底，若向量p→=xa→+yb→+zc→，则向量p→在基底{a→，b→，A．（2，﹣3，﹣1） B．（3，﹣1，2） C．（1，2，3） D．（1，2，1）6．（2024秋•丰台区校级月考）在以下4个命题中，不正确的命题的个数为（）①若a→⋅b②若三个向量a→，b③若{a→，④|(aA．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（2024秋•福州期中）已知向量{a→，b→，c→}是空间的一个基底，向量{a→-b→，A．（1，3，﹣1） B．（3，1，﹣1） C．（1，3，1） D．（﹣1，﹣3，﹣1）8．（2024秋•海淀区校级期中）若AB→=(-1，2，A．2 B．5 C．5 D．2二．多选题（共4小题）（多选）9．（2024秋•四川校级期中）给出下列命题，其中正确的是（）A．若{a→，bB．在空间直角坐标系中，点P（﹣1，4，3）关于坐标平面yOz的对称点是（﹣1，﹣4，﹣3） C．点P为平面ABC上一点，且OP→=7D．非零向量a→，b→，若a→（多选）10．（2024秋•潮阳区校级期中）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，∠BAD=π3，M为A1C1与B1D1的交点．若AB→=aA．BM→B．ACC．设BN→=14BD．以D为球心，7为半径的球与四边形BCC1B1的交线长为2（多选）11．（2024秋•市北区校级月考）已知向量a→=(1，-1A．|a→-b→C．(a→+4b（多选）12．（2024秋•思明区校级月考）下列关于空间向量的命题中，正确的有（）A．若两个不同平面α，β的法向量分别是μ→，v→，且μ→=(1，2，B．若a→⋅b→＜C．若对空间中任意一点O，有OP→=14OA→+14OBD．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线三．填空题（共4小题）13．（2024秋•海淀区校级期中）已知A（0，2，3），B（1，4，6），C（2，2，5），D（0，m，n），AB→∥CD→，则m+n＝14．（2024秋•松江区校级月考）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为2，Pi（i＝1，2，⋯，12）分别为各棱的中点，则AC→⋅APi→(i15．（2024秋•沙坪坝区校级月考）已知{a→，b→，c→}是空间的一个单位正交基底，向量p→=a16．（2024秋•晋江市校级月考）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：i→，j→，k→分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴、y轴、z轴）正方向的单位向量，若向量n→=xi→+yj→+zk→，则n→与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量n→的斜60°坐标为[x，y，z]，记作n→=[x，y，z]．若a→=[1，2，3]，b→=[﹣1，1，2]，则a→+b→的斜60°坐标为．在平行六面体ABCD﹣ABC1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，N为线段D1C1四．解答题（共4小题）17．（2024秋•诸暨市期中）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，M是B1C1的中点，N是DD1的中点，设AB→=a→，（1）用a→，b→，（2）求AM→18．（2024秋•福州期中）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2，设AB（1）试用a→，b→，c→表示向量AC（2）若∠A1AD＝∠A1AB＝120°，求向量AC→与B19．（2024春•靖远县校级月考）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1→=a→，AB→=b→，AD→=c→（1）试用a→，b→，c→（2）求证：MN∥平面ABB1A1．20．（2024秋•松江区校级月考）已知空间三点A（﹣1，1，2），B（﹣3，0，5），C（0，﹣2，4）．（1）求△ABC的面积；（2）若向量CD→∥AB→，且|CD

2025年高考数学复习难题速递之空间向量基本定理及坐标表示（2025年4月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BDCBCDAA二．多选题（共4小题）题号9101112答案ACACDBDCD一．选择题（共8小题）1．（2024春•凉州区校级期中）已知向量{a→，b→，c→}是空间的一个基底，向量{a→+b→，a→A．(12，32C．(3，-12，【考点】空间向量基底表示空间向量．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】B【分析】直接利用基底的定义求出结果．【解答】解：由于向量p→在基底{a→，b→，c→向量p→在基底{a→+b→，a→-b→，c→}下的坐标为（x，y，z），故x+y=1故选：B．【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．2．（2024秋•吉林期中）若{a→，b→，cA．a→-c→，a→-b→，b→C．b→+a→，b→-a→+c【考点】空间向量基底表示空间向量．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】D【分析】直接利用向量基底的定义和共面向量基本定理的应用求出结果．【解答】解：对于A：由于{a→，b→，c故a→-c→=(a→-b对于B：由于a→+c→=对于C：由于b→+a→=(对于D：由于不存在x和y，使得a→+b→=x故选：D．【点评】本题考查的知识点：向量的基底，共面向量基本定理，主要考查学生的运算能力，属于中档题．3．（2024秋•恩施州期中）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为DB上靠近点D的三等分点，N为CC1的中点．设A1B1A．23a→+1C．23a→+【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】C【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．【解答】解：根据向量的线性运算：MN→故选：C．【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．4．（2024秋•福清市期中）在四面体OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→A．a→-14b→-14c→ 【考点】空间向量基底表示空间向量．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】B【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．【解答】解：在四面体OABC中，如图所示：OA→=a→，OB→=b→，所以OP→故AP→故选：B．【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．5．（2024秋•北仑区期中）设{a→，b→，c→}为空间的一个基底，若向量p→=xa→+yb→+zc→，则向量p→在基底{a→，b→，A．（2，﹣3，﹣1） B．（3，﹣1，2） C．（1，2，3） D．（1，2，1）【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】C【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．【解答】解：向量q→以{a→+b→，b→-c故q→以{a→，b→，c→故选：C．【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．6．（2024秋•丰台区校级月考）在以下4个命题中，不正确的命题的个数为（）①若a→⋅b②若三个向量a→，b③若{a→，④|(aA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】D【分析】直接利用向量的线性运算，向量的数量积运算以及向量的基底的定义判断①②③④的结论．【解答】解：①若a→⋅b→=b→⋅②若三个向量a→，b→，c→两两共面，假设这三个向量分别是空间直角坐标系x轴，y轴和z③若{a→，b→，c④设a→=(x1，所以|(a→⋅故④错误．故选：D．【点评】本题考查的知识点：向量的数量积运算，向量的基底，向量的模，主要考查学生的运算能力，属于中档题．7．（2024秋•福州期中）已知向量{a→，b→，c→}是空间的一个基底，向量{a→-b→，A．（1，3，﹣1） B．（3，1，﹣1） C．（1，3，1） D．（﹣1，﹣3，﹣1）【考点】空间向量基底表示空间向量．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】A【分析】直接利用向量的坐标运算求出结果．【解答】解：向量p→在基底{a→，b→，c向量p→在基底{a→-b→，所以p→故x+y=4故向量p→在基底{a→-b→，故选：A．【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．8．（2024秋•海淀区校级期中）若AB→=(-1，2，A．2 B．5 C．5 D．2【考点】空间向量线性运算的坐标表示．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】A【分析】直接利用向量的线性运算求出向量的模．【解答】解：若AB→=(-1，2，故|AC故选：A．【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的模，主要考查学生的运算能力，属于中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2024秋•四川校级期中）给出下列命题，其中正确的是（）A．若{a→，bB．在空间直角坐标系中，点P（﹣1，4，3）关于坐标平面yOz的对称点是（﹣1，﹣4，﹣3） C．点P为平面ABC上一点，且OP→=7D．非零向量a→，b→，若a→【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底；平面向量的线性运算；数量积表示两个平面向量的夹角；关于空间直角坐标系原点坐标轴坐标平面对称点的坐标．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】AC【分析】利用空间向量的基本性质即可判断选项AC，选项B利用空间坐标系的点对称做出判断，选项D利用向量的数量积做出判断即可．【解答】解：对于选项A，由题意知，则a→，b→，c→不则存在实数λ，μ，使a→∴a→∵a→，b→，c→不共面，∴λ=μ=1λ+∴{a→+对于选项B：点P（﹣1，4，3）关于坐标平面yOz的对称点是（1，4，3），选项B错误．对于选项C：点P为平面ABC上一点，且OP→=76OA→+对于选项D：a→⋅b∴〈a→，故选：AC．【点评】本题考查的知识点：向量的运算，向量的坐标运算，向量的夹角运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．（多选）10．（2024秋•潮阳区校级期中）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，∠BAD=π3，M为A1C1与B1D1的交点．若AB→=aA．BM→B．ACC．设BN→=14BD．以D为球心，7为半径的球与四边形BCC1B1的交线长为2【考点】空间向量基底表示空间向量；平面的交线及其性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】ACD【分析】选项A：利用空间向量的加法和减法求解即可，选项B：利用向量的模求解线段的长度即可，选项C：利用向量的数量积求解向量垂直即可，选项D：分析可以知道球面与平面BCC1B1的交线是以H为圆心，7-【解答】解：由题得，BM=AA1因为ACa→⋅b所以|A所以|AC1因为AN→所以AN=-所以AN→⊥BM→，以AN⊥取BC的中点为H，连接DH，易知DH⊥平面BCC1B1，且DH=由球的半径为7，知球面与平面BCC1B1的交线是以H为圆心，7-如图，在正方形BCC1B1内，以H为圆心，2为半径作圆，所得的圆弧PQ即为所求交线．由题意可知∠PHQ=π3，所以弧PQ的长为故选：ACD．【点评】本题考查的知识点：空间直角坐标系，向量的数量积运算，向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．（多选）11．（2024秋•市北区校级月考）已知向量a→=(1，-1A．|a→-b→C．(a→+4b【考点】空间向量数量积的坐标表示．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】BD【分析】利用空间向量的运算公式逐项判断即可．【解答】解：已知向量a→=(1，-1对于A，a→-b→=(2对于B，a→∴(a→+3对于C，a→+4b→=(-3对于D，b→-c→=(-3故选：BD．【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．（多选）12．（2024秋•思明区校级月考）下列关于空间向量的命题中，正确的有（）A．若两个不同平面α，β的法向量分别是μ→，v→，且μ→=(1，2，B．若a→⋅b→＜C．若对空间中任意一点O，有OP→=14OA→+14OBD．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底；平面的法向量；空间向量的共线与共面．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】CD【分析】由μ→⋅v→=0可知α⊥β，由a→⋅b→【解答】解：对于A，μ→⋅v→=2+2+(-2)×2=0，所以μ→⊥对于B，若a→⋅b→＜0，则cos＜a对于C，对空间中任意一点O，有OP→=14OA→+14OB→+1对于D，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，D正确．故选：CD．【点评】本题考查的知识点：向量垂直的充要条件，向量的夹角运算，共面向量基本定理，主要考查学生的运算能力，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．（2024秋•海淀区校级期中）已知A（0，2，3），B（1，4，6），C（2，2，5），D（0，m，n），AB→∥CD→，则m+n＝﹣【考点】空间向量线性运算的坐标表示．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】﹣3．【分析】直接利用向量共线的充要条件求出结果．【解答】解：由于A（0，2，3），B（1，4，6），C（2，2，5），D（0，m，n），所以：AB→=(1由于：AB→∥CD→，则1-2=2m故：m+n＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量共线的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于中档题．14．（2024秋•松江区校级月考）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为2，Pi（i＝1，2，⋯，12）分别为各棱的中点，则AC→⋅APi→(i【考点】空间向量运算的坐标表示．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】5．【分析】建立空间直角坐标系，然后得到各点坐标，算出AC→和APi【解答】解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为2，Pi（i＝1，2，⋯，12）分别为各棱的中点，∴A（2，0，0），C（0，2，0），P1（1，0，0），P2（2，1，0），P3（1，2，0），P4（0，1，0），P5（2，0，1）P6（2，2，1），P7（0，2，1），P8（0，0，1），P9（1，0，2），P10（2，1，2），P11（1，2，2），P12（0，1，2）；则AC→=(-2，2，0)，AP1→=(-1，0，AP→8=(-2，0，1)，A故AC→⋅AP1→=2；AC→⋅AP2→=2；故AC→⋅APi→(i=1，2，⋯故答案为：5．【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．15．（2024秋•沙坪坝区校级月考）已知{a→，b→，c→}是空间的一个单位正交基底，向量p→=a【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】-1【分析】根据空间向量基底的意义表示向量p→【解答】解：已知{a→，b→设p→依题意，p→=(x则x+y=1所以p→故答案为：-1【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．16．（2024秋•晋江市校级月考）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：i→，j→，k→分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴、y轴、z轴）正方向的单位向量，若向量n→=xi→+yj→+zk→，则n→与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量n→的斜60°坐标为[x，y，z]，记作n→=[x，y，z]．若a→=[1，2，3]，b→=[﹣1，1，2]，则a→+b→的斜60°坐标为BN→=[-1，2，3]．在平行六面体ABCD﹣ABC1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，N【考点】空间向量单位正交基底及其表示空间向量．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）BN→=[-1，2，【分析】直接由空间向量基本定理和空间向量的线性运算计算即可；再由空间向量的数量积与夹角公式计算即可．【解答】（1）解：由a→=[1，2，3]，所以a→+b（2）解：设i→，j→，k→分别为与AB→，则AB→=2i→，①BN→所以BN→②因为AM→=[2，则|AM→因为|BN所以BN→所以cos＜所以AM→与BN→的夹角的余弦值为故答案为：（1）BN→=[-1，2，【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的数量积运算，向量的夹角运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．四．解答题（共4小题）17．（2024秋•诸暨市期中）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，M是B1C1的中点，N是DD1的中点，设AB→=a→，（1）用a→，b→，（2）求AM→【考点】空间向量基底表示空间向量；空间向量的数量积运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）AM→=a→+c→【分析】（1）直接利用向量的线性运算求出结果；（2）直接利用向量的线性运算和数量积运算求出结果．【解答】解：（1）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，M是B1C1的中点，N是DD1的中点，设AB→=a→，所以AM→BN→（2）由（1）得：AM→【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．18．（2024秋•福州期中）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2，设AB（1）试用a→，b→，c→表示向量AC（2）若∠A1AD＝∠A1AB＝120°，求向量AC→与B【考点】空间向量基底表示空间向量；空间向量的夹角与距离求解公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）AC→=a→+b→【分析】（1）由空间向量的加法、减法运算即可求解；（2）由（1），结合向量的夹角公式与数量积的运算律即可求解．【解答】解：（1）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2，设AC→BD（2）因为∠A1AD＝∠A1AB＝120°，AAa所以|ACBDAC→所以cosAC即向量AC→与BD1【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的模，向量的数量积运算，向量的夹角运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．19．（2024春•靖远县校级月考）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1→=a→，AB→=b→，AD→=c→（1）试用a→，b→，c→（2）求证：MN∥平面ABB1A1．【考点】空间向量基底表示空间向量；直线与平面平行．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离；逻辑思维．【答案】（1）MN→（2）见证明过程．【分析】（1）由题意利用空间向量的运算即可求解；（2）由题意可得AB1→=AA1→+AB→=a→+【解答】解：（1）因为在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1→=a→，AB→=b→，AD→=c→所以A1所以A1同理，A1所以MN→（2）证明：因为AB所以MN→=12AB因为AB1⊂平面ABB1A1，MN⊄平面ABB1A1，所以MN∥平面ABB1A1．【点评】本题考查了空间向量的运算，线面平行的判定，考查了数形结合思想，属于中档题．20．（2024秋•松江区校级月考）已知空间三点A（﹣1，1，2），B（﹣3，0，5），C（0，﹣2，4）．（1）求△ABC的面积；（2）若向量CD→∥AB→，且|CD【考点】空间向量数量积的坐标表示．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）723；（2）（﹣4，﹣4，10）或（4，0，﹣【分析】（1）求出AB→，AC（2）根据平行关系和模长得到CD→=±2AB→，于是CD→=(-4，-2【解答】解：（1）设向量AB→，AC→的夹角为θ，由空间三点A（﹣1，1，2），B（﹣3，0，5），C（0，﹣可得AB→|AC可得cosθ=因为0≤θ≤π，所以θ=所以三角形的面积为S△（2）因为CD→∥AB→，所以CD→=因为AB→=(-2，-1，3)所以CD→于是CD→=(-4，-2，6)即点D的坐标为（﹣4，﹣4，10）或（4，0，﹣2）．【点评】本题考查的知识点：向量的数量积运算，向量的模，共线向量的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于中档题．

考点卡片1．平面向量的线性运算平面向量的线性运算2．数量积表示两个平面向量的夹角【知识点的认识】我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量a→与b→不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cosθ【解题方法点拨】例：复数z=3+i与它的共轭复数z对应的两个向量的夹角为60°解：zz=3+i3∴复数z=3+i与它的共轭复数z对应的两个向量的夹角为故答案为：60°．点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（3，1）与向量（3，﹣1）的夹角．【命题方向】这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方说复数、三角函数等，希望大家认真掌握．3．平面的交线及其性质【知识点的认识】两个平面在空间中交于一条直线，称为交线．交线的性质涉及交点、方向等特征．【解题方法点拨】﹣交线计算：确定两个平面交线的方程或位置．﹣性质分析：分析交线的方向和性质，如何利用交线解题．【命题方向】﹣交线性质：考查如何计算和分析两个平面的交线．﹣实际应用：如何在实际问题中应用交线性质进行计算．4．直线与平面平行【知识点的认识】1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．1、直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．2、直线和平面平行的性质定理的实质是：已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．5．关于空间直角坐标系原点坐标轴坐标平面对称点的坐标【知识点的认识】﹣关于原点对称：点P（x，y，z）关于原点对称的点为P'（﹣x，﹣y，﹣z）．﹣关于坐标轴对称：点P（x，y，z）关于x轴对称的点为P（x，﹣y，﹣z），关于y轴对称的点为P（﹣x，y，﹣z），关于z轴对称的点为P（﹣x，﹣y，z）．﹣关于坐标平面对称：关于x﹣O﹣y平面对称的点为P（x，y，﹣z），关于x﹣O﹣z平面对称的点为P（x，﹣y，z），关于y﹣O﹣z平面对称的点为P（﹣x，y，z）．【解题方法点拨】﹣坐标变换：代入坐标值，应用对称变换规则计算对称点坐标．【命题方向】﹣对称点计算：考查如何根据空间坐标系计算关于原点、坐标轴和坐标平面的对称点坐标．6．空间向量的共线与共面【知识点的认识】1．定义（1）共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a→∥b（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共线向量定理对于空间任意两个向量a→、b→（b→≠0），a→（2）共面向量定理如果两个向量a→、b→不共线，则向量p→与向量a→、b→共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x【解题方法点拨】空间向量共线问题：（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a→=λb→（2）a→∥b→表示空间向量共面问题：（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．（2）空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使MP→=xMA→+yMB→证明三个向量共面的常用方法：（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；（2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．【命题方向】1，考查空间向量共线问题例：若a→=（2x，1，3），b→=（1，﹣2y，9），如果A．x＝1，y＝1B．x=12，y=-12C．x=16，y=-分析：利用共线向量的条件b→=λa→解答：∵a→=（2x，1，3）与b→=（1，﹣2故有2x∴x=16，y故选C．点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．2．考查空间向量共面问题例：已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（）A．OM→=OA→+OB→+OC→B分析：根据共面向量定理OM→=m⋅OA→+n⋅解答：由共面向量定理OM→说明M、A、B、C共面，可以判断A、B、C都是错误的，则D正确．故选D．点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力．是基础题．7．空间向量的数量积运算【知识点的认识】1．空间向量的夹角已知两个非零向量a→、b→，在空间中任取一点O，作OA→=a→，OB→=b→，则∠2．空间向量的数量积（1）定义：已知两个非零向量a→、b→，则|a→||b→|cos＜a→，b→＞叫做向量a→与b→的数量积，记作a→•b→（2）几何意义：a→与b→的数量积等于a→的长度|a→|与b→在a→的方向上的投影|b→|cosθ的乘积，或b→的长度|b→|与3．空间向量的数量积运算律空间向量的数量积满足交换律和分配律．（1）交换律：(λa→)⋅b→=λa（2）分配律：a→4．数量积的理解（1）书写向量的数量积时，只能用符号a→⋅b→（2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）当a→≠0→时，由a→⋅b→=0不能推出【解题方法点拨】利用数量积求直线夹角或余弦值的方法：利用数量积求两点间的距离：利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a→|=利用数量积证明垂直关系：（1）向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断a→⊥b→时，须指明（2）证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量a→，b→，c→【命题方向】求直线夹角或余弦值、两点间的距离、证明垂直关系等问题最基本的是掌握数量积运算法则的应用，任何有关数量积计算问题都离不开运算律的运用．例：已知2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=（0，2，﹣1），则分析：通过2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=（0解答：∵2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=∴a→=（1，﹣3，∴a→•b→=1×0+2×（﹣3）+1×（﹣1故答案为：﹣7．点评：本题考查了空间向量的数量积的坐标运算，属于基础题．8．空间向量的夹角与距离求解公式【知识点的认识】1．空间向量的夹角公式设空间向量a→=（a1，a2，a3），b→=（b1，b2cos＜注意：（1）当cos＜a→，b→＞（2）当cos＜a→，b→＞（3）当cos＜a→，b→＞2．空间两点的距离公式设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则AB→dA，B＝|AB→|=【解题思路点拨】1．求空间两条直线的夹角建系→写出向量坐标→利用公式求夹角2．求空间两点的距离建系→写出点的坐标→利用公式求距离．【命题方向】（1）利用公式求空间向量的夹角例：已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量AB→与ACA.30°B.45°C.60°D.90°分析：由题意可得：AB→=(0，3，3)，AC→=(-1，1，0)，进而得到AB解答：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），所以AB→所以AB→⋅AC→═0×（﹣1）+3×1+3×0＝3，并且|AB→|＝32，所以cos＜AB→，∴AB→与AC故选C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题．（2）利用公式求空间两点的距离例：已知空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），则A，B两点间的距离是（）A.3B.29C.25D分析：求出AB对应的向量，然后求出AB的距离即可．解答：因为空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），所以AB→=（﹣3，0，﹣4），所以|故选D．点评：本题考查空间两点的距离求法，考查计算能力．9．空间向量基本定理及空间向量的基底【知识点的认识】空间向量基本定理如果三个向量a→，b→，c→不共面，那么对空间任一向量p→，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p→=x任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，a→，b→，【解题方法点拨】基底的判断判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得a→【命题方向】﹣向量定理和基底：考查如何应用向量的基本定理以及如何选择和使用空间的基底．10．空间向量基底表示空间向量【知识点的认识】1．空间向量基本定理如果三个向量a→，b→，c→不共面，那么对空间任一向量p→，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p→=x任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，a→，b→，2．单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{e1→，e2→【解题方法点拨】基底的判断判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得a→﹣基底表示：任何空间向量v→都可以表示为基底向量的线性组合：v→=c1b→1+c2b﹣线性组合：通过解线性方程组找到系数c1，c2，c3．【命题方向】﹣基底表示：考查如何利用基底向量表示空间中的任意向量．11．空间向量单位正交基底及其表示空间向量【知识点的认识】1．单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{e1→，e2→2．空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p→，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP→=p→，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p→=xe1→+ye2→+ze3→．把x【解题方法点拨】1．空间向量的坐标表示用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为：（1）观察图形：充分观察图形特征；（2）建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系；（3）进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算；（4）确定结果：将所求向量用已知的基向量表示出来．2．用基底表示向量用基底表示向量时，（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．（2）若没给定基底时，首先选择基底．选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．【命题方向】﹣单位正交基底表示：考查如何使用单位正交基底表示空间中的向量．12．空间向量运算的坐标表示【知识点的认识】1．空间向量的坐标运算规律：设空间向量a→=(x（1）a（2）a（3）λ（4）a→2．空间向量的坐标表示：设空间两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则AB→=OB→-OA→=（x2，y2，z2）﹣（x1，y1，z1）＝（x2﹣x1，y2﹣y3．空间向量平行的条件：（1）a→∥b→(（2）若x2y2z2≠0，则a→∥4．空间向量垂直的条件：a→⊥b→⇔x1x2+y1y2+z1【解题方法点拨】空间向量的坐标运算：空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、纵坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算；空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．坐标运算解决向量的平行与垂直问题：用坐标运算解决向量平行、垂直有关问题，要注意以下两个等价关系的应用：（1）若a→=（x1，y1，z1），b→=（x2，y2