2025年九年级数学中考二轮复习：二次函数中的角度问题（含答案）

2025年九年级数学中考二轮专题复习二次函数中的角度问题

919

1.如图，抛物线y=一苦生+2与x轴交于A,8两点(点A在点B的左侧)，与y轴

交于点C.

(1)求A,B两点的坐标及直线BC的函数表达式.

(2)M为直线BC下方抛物线上一点，其横坐标为小过点M作MDLBC于点。，当

线段最长时，求点M的坐标.

(3)在(2)的条件下，连接在y轴上是否存在一点P,使NPBA=2NMBA?若

存在，请直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

2.已知点B(5,0),点C(4,3)都在抛物线y=-j^+bx+c上，其中点A是抛物线与x

轴的交点，点。是抛物线的顶点，连接A。，CD.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求NACD的度数；

(3)点尸是抛物线在无轴上方的一个动点，当时，求尸点坐标.

3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线、二一？/"1——厂，+z(m>0)与尤轴交于A(-

1,0),BGn,0)两点，与y轴父于点C,并且。。=2。4,连接BC.

(1)求抛物线对应的函数表达式；

(2)点尸是直线BC上方的抛物线上一动点，是否存在点P,使得△POC的面积等于△

面积的二？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)过点C作〃尤轴交抛物线于点。，在y轴上是否存在点P,使得/必B=2/DAB?

若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

图1图2

4.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x2+bx+c与无轴交于A,B(4,0)两点，

与y轴交于点C,点。(3,4)在抛物线上，点尸是抛物线上一动点.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)连接BC,若BC上方抛物线上有一点P,且P到直线BC的距离为2&,求点尸的

坐标；

(3)如图，连接AC,BC,抛物线上是否存在点P,使NCBP+NACO=45°?若存在,

请直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

4

-

5.如图1,直线y=3+4分别与y轴，x轴交于A,B两点，与二次函数y=o?+6x+18

在第二象限交于点C.已知A为BC中点，抛物线对称轴为直线尤=1,点。为点A关于

x轴的对称点，连接BD

(1)求抛物线的解析式：

(2)如图2,点P是抛物线上的一动点且位于第一象限，连接AP和BP,E为y轴上的

一个动点，连接CE和PE,当SMBP=时，求点P的坐标及IPE-CE|的最大值;

(3)如图3,点N直线AB上一动点，连接。N,若2/4\。+乙42。=90°,请直接写

出所有符合条件的N点坐标.

~o~O

DD

6.如图，抛物线y=-/+6x+4交无轴于A(-1,0),8两点，与y轴交于点C,P为抛物

线上的一个动点，且点P的横坐标为爪-£

(1)直接写出抛物线的解析式及顶点。的坐标；

(2)若相＞3,当抛物线在点尸和点A之间的部分(包括尸、A两点)的最高点与最低

点的纵坐标之差为7"+1时，求相的值；

(3)在第一象限的抛物线上是否存在点P,使NPBC+NACO=45°,若存在，请求出

点尸的坐标；若不存在，说明理由.

7.如图，已知二次函数y=ad+2x+c的图象与x轴交于A,B两点，

A点坐标为(-1,0),与y轴交于点C(0,3).

(1)求二次函数的表达式；

(2)在直线BC上方的抛物线上存在点。使得NQCB=2NABC,求点。的坐标.

8.如图1,抛物线y=/+6x-3经过A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C,P

为第四象限内抛物线上一点，过点尸作9，彳轴于点连接AC,AP,AP与y轴交于

点D.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)设△CPB的面积为S,求S的最大值；

(3)当NME4=2NB4c时，求直线A尸的函数表达式及点尸的坐标.

图1图2

9.如图1,抛物线ynaf+fec+dQW0)与x轴，y轴分别交于A(-1,0),B(4,0),C

三点.

(1)试求抛物线的解析式；

(2)若P点在第一象限的抛物线上，连接PC、PB,当△PCB的面积最大时，求点P的

坐标.

(3)点、D(3,m)在第一象限的抛物线上，连接BC,BD试问，在对称轴左侧的抛物

线上是否存在一点P,满足/PBC=NDBC?如果存在，请求出点P的坐标；如果不存

在，请说明理由.

图1备用图

10.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=o?+fcc+3与x轴交于A(-1,0),B(3,0)

两点，y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,点尸是直线3c上方抛物线上的一动点，过点尸作y轴的平行线PE交直

线8C于点E,过点尸作无轴的平行线尸尸交直线BC于点R求△2所面积的最大值及

此时点P的坐标；

(3)如图2,连接AC,BC,抛物线上是否存在点Q,使NCBQ+NACO=45°?若存在，

请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

11.如图，已知抛物线y=-/+如+m-2的顶点为A,且通过点8(3,-3).

(1)求顶点A的坐标；

(2)点C为直线上方抛物线上一动点，求△ABC面积的最大值；

(3)在抛物线上存在一点P,使得/B4B=45°,求点尸坐标.

12.如图，抛物线y=a/+6x-3经过A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C,P为

第四象限内抛物线上一个动点，过点尸作无轴于点连接AC,AP,AP与y轴交

于点D.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)求四边形。M2尸面积的最大值；

(3)当4c时，求直线AP的函数表达式及点尸的坐标.

13.如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=-/-2x+c与x轴交于A(-3,0)和

B两点,与y轴交于点C.

(1)求C点的坐标；

(2)连接BC,。为抛物线上一点，当时，求点。的坐标；

(3)如图2所示，点3为第二象限内一动点，经过H的两条直线Z1与/2分别与

抛物线y=-*/均有唯一的公共点石和尸(点E在点尸的左侧)，直线所与y轴交于

点G,M为线段EF的中点，连接HG、HM,当/MHG=30°时，求〃的值.

14.如图，已知抛物线y卷x2+bx+c经过点A(-6,0),B(2,0),与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P为该抛物线上一动点.

①当点尸在直线AC下方时，过点尸作PE〃尤轴，交直线AC于点E,作P尸〃y轴.交

直线AC于点E求跖的最大值；

②若/PCB=3/OCB,求点P的横坐标.

15.如图，已知抛物线＞=0?+如-3经过点A(-3,0)、B(1,0),与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P为该抛物线上一点，且点尸的横坐标为近

①当点P在直线AC下方时，过点P作PE〃尤轴，交直线AC于点E,作PP〃y轴.交

直线AC于点R求PE+PF的最大值；

②若NPCB=3NOCB,求相的值.

参考答案

212

1.【解答】解：(1)当y=0时，-%2x+2=0,

解得Xl=l,X2=5.

・・•点A在点3的左侧，

・・・A,5两点的坐标分别为A(1,0),B(5,0).

当x=0时，y=2,

・••点C的坐标为(0,2).

设直线BC的函数表达式为

y

c

oA、

M

把8(5,0),C(0,2)代入y=fcc+6,得｛£匕1匕=°，

解得k=一|,

5=2

，直线BC的函数表达式为y=—+2.

(2)如图，过点M作轴交8C于点E,

:点B的坐标为(5,0),点C的坐标为(0,2),

，OB=5,0c=2.

在RtZ\OBC中，根据勾股定理可得BC=回.

为直线8C下方抛物线上一点，其横坐标为mMELx轴交BC于点E,

91?9

・••点M的坐标为(ZH,耳血2一_g_7n+2),点E的坐标为(771,一百根+2),

22122y4

/.ME=—+2—(^m2——g-m+2)=-^m2+2m.0、

〈ME〃》轴，\\、/

：.ZDEM=ZBCO,N'、、/

・•BO_5/^\a/、/

・•sinZ_5CO一sinNDEM=石BC方=_o2n9.°\KNVf^-J____»"

在Rt△。匹M中，/MDE=90°,sin乙DEM=瑞色,M\

•A4rl.5129/22।n\2/29,5、2.25^^29

..DM=ME,sin乙DEM=(~Em2+2m)=^Q—(m—^)2HFQ—，

L9tQJ。乙7乙DO

・,•当?n=?时，线段M£)最长，

qQ

...点M的坐标为G,-2)

(3)存在，点尸的坐标为(0,令或(0,-令.

如图，作M2的垂直平分线交无轴于点R连接则加尸=2/，过点M作尤轴

于点N,

•：MF=BF,

：.ZBMF=ZMBF,

'：/MFA=NBMF+NMBF,

：.ZMFA=2ZMBA,

设3尸=〃，

•・,点加的坐标为G，-｝，A,5两点的坐标分别为(1,0),(5,0),

：.0N=BN=W，MN=

:.NF=冗一n,MF=BF=n,

'：NF1+MN1=MF1,

即—n)2+(|)2=n2,

解得n=前,

17_4

NF=7T—n=To=5?

15

..tan/-NFM8

,PO15

・,・当一=一时t，ZPBA=ZMFA=2ZMBA.

OB8

.15x575

..P°=p=京,

；・点尸的坐标为(0,言)或(0，—笄J

—25+5b+c=0

2.【解答】解：(1)依题意得:

—16+4b+c=3

=6

=一5'

抛物线的解析式为y=-/+6x-5；

(2)延长。C交x轴于点E,过C作CP,无轴于尸

则。b=3,XF=XC=4,

•.,y=-X2+6X-5=-(x-3)2+4,

：.D(3,4),

Vy=-X2+6X-5=-(x-5)(x-1),

.\A(1,0),B(5,0),

设直线DC为y=k(x-3)+4,

则上(4-3)+4=3,得％=-1,

・•・直线8为》=-x+7,

：.E(7,0),

：.AF=CF=EF=3,

：.ZCAE=ZAEC=45°,

AZACD=ZCAE+ZAEC=9Q°；

(3)设P(/,-P+6L5),贝(J1W5且样4,连接PC,与AD交于点N,

设直线AD的解析式为y=kx+b,

有解得｛矍.

代入A(1,0),D(3,4)CUJZ

直线AD的解析式为y=2x-2；

设直线PC的解析式为>=皿+加，代入P。，-?+6/-5)(1<?<5),C(4,3),

+仇=-t2+61一5

+瓦=3

k]=2-t

解得

瓦=4"5'

直线PC的解析式为y=(27)x+4r-5；

,/点N是直线AD与直线PC的交点，

(y=2x—2

=(2-t)x+4t-5,

fx=4——3$

解得("即N(4—6—9，

又：NPCA=/CA。，

:.NA=NC,

-l)2+(6-f)2=J(4-1-4)2+(6-1-3)2,

解得t=I，

一产+6t—5=4，

，点尸的坐标为pg,1).

3.【解答】解：⑴VA(-1,0),0c=2。4,点C位于y轴的正半轴，

：.C(0,2),

m

将点C(0,2)代入得：5=2,

解得“2=4,

则抛物线对应的函数表达式为y=-1x2+|x+2.

(2)由(1)可知，B(4,0),

VA(-1,0),C(0,2),

：.AB=5,OC=2,

设点尸的坐标为P(a,-^a2+^Gt+2)(0<a<4),

1135151

/\PAB的面积为一X5(——/+-a+2)=——a2+—a+5,△POC的面积为一X

2122442

2CL=CL,

2

・・・APOC的面积等于面积的；，

15

・_2z52」_15」_匚、

・・a=(-彳a/+a+5),

解得〃=1或4=-4V0(不符合题意，舍去)，

・・-2a2+—ci+2=-]X1+]X14~2=3,

2一

所以存在点尸，使得△尸。。的面积等于面积的不，此时点尸的坐标为(1,3)；

15

(3)①如图，在y轴上方作ZDAE=NDAB,交直线CD于点E,.

交y轴于点P,则NPA3=2NQA8,T

・・・CD〃x轴，ZT

CK七______XD

・・・ZADE=ZDAB,/IZ^

ZADE=NDAE,

：.AE=DE,

1Q

当y=2时，一I%2+]%+2=2,

解得了=0或x=3,

：.D(3,2),

设点E的坐标为E(A2),

/.V(-l-&)2+(0-2)2=J(3-I'+(2-2)2,

解得b=I，

1

・•・%,2),

设直线AE的解析式为y=kx+c,

11-k+c=0

将点A(-l,0),E©,2)代入得：1,

乙I7T/C~rC一乙

4

f-

c-3

得

解-4

c-

3

则直线AE的解析式为y=gX+

...点Pl的坐标为(0,多；

②如图，在y轴下方作交y轴于点P2,

：.ZP1AB=ZP2AB,

又：AB_LPIP2,

ZAPIP2=ZAP2PI,

...△AP1P2是等腰三角形，

•，.点P2与点P1关于X轴对称，

...点尸2的坐标为(0,-勺，

综上，存在点P,使得此时点尸的坐标为(0,勺或(0,-多.

4.【解答】解：(1)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-/+6x+c与x轴交于8(4,

0)点，与y轴交于。(3,4),将点2,点。的坐标代入得：

C-16+4b+c=0

t-9+3b+c=4'

解得：［b=l,

・•・抛物线的解析式为y=-W+3x+4；

(2)已知抛物线y=-?+3x+4与y轴交于点C,

令x=0,得：y=4,

：.C(0,4),

・•・OC=4,

VOB=4,

：・OB=OC,

XVZBOC=90°,

：.ZOBC=ZOCB=45°,

设直线5C的解析式为y=fcv+如将点'点。的坐标代入得:

C4fc+m=0

Im=4

解得:k=-1

TH=4'

直线BC的解析式为y=-x+4；

作「HLBC交3c于点反，PM,无轴交无轴于点M,交BC于点、N,如图1,

轴，

：.PM//y^,

：.ZPNH=ZOCB=45°,

'：PHLBC,

:.NPHN=90°,

:./HPN=90°-NPNH=45°,

:.NHPN=NPNH=A5°,

/XPHN是等腰直角三角形，

：.PN=⑰PH,

由题意得：PH=2V2,

：.PN=V2x2A/2=4,

设点尸的坐标为(717,-m2+3%+4),则点N的坐标为Cm,-〃计4),

:.PN=-«?+3,"+4-(-m+4)=-扇+4优=4,

解得：m=2,

：.-岛3m+4=-22+3X2+4=6,

点尸的坐标为(2,6)；

(3)抛物线上存在点P,使NCBP+/ACO=45°；理由如下：

令y=0,贝!I0=-/+3x+4,

解得：XI=-1,X2=4,

.,.A(-1,0),

如图2,将△AOC绕点。顺时针方向旋转90°至△?!'OB,则A'O=AO=1,NA'BO

=ZACO,

：.A'(0,1),

由(2)中的结论得，ZOBC=45°,

VZCBP+ZACO=45°,

.•.ZCBP=45°-ZACO^ZOBC-ZA1BO=ZCBA',

直线BA'上存在符合题意的点P,

设直线BA'的解析式为>=比+小将点3,点A'的坐标代入得:

C4t+n=0

1荏=1

解得：卜二一4，

VTl=1

・,・直线3A'的解析式为y=-"％+1,

图2

y=—x2+3x+4

联立1,，

仅=_/+1

解得:

V-16

擞

如图，连接C。、BD,过点B作交于点E,

VC(0,4),D(3,4),

...CD〃x轴，

\'BE±CD,B(4,0),

，NE=90°,£)E=4-3=LBE=4,

：.CE=CD+DE=3+1=4,

:.CE=BE=4,

...△C8E是等腰直角三角形，

AZCBE=45",

:AO=1,0c=4,

C.DE^AO,BE=OC,

又•.•/E=NAOC=90°,

姑△BOE■和△CAO中，

DE=AO

/.AOC=NE=90°,

BE=CO

；.ABDEmACAO(SAS),

；./DBE=/ACO,

VZCBP+ZACO=45°,

ZCBP=45°-/ACO=ZCBE-/DBE=ZCBD,

直线BD上也存在符合题意的点P,

又：点。(3,4)在抛物线上，

.,.点尸与点。重合，即P(3,4)；

综上所述，抛物线上存在点尸，使NC8P+NACO=45°；点尸的坐标为(―称，II)或

(3,4).

4

-

5•【解答】解：(1)直线y=3+4分别与y轴，尤轴父于A,B两点,

令尤=0,得：y—4；

4

-

令y=0,得:3

解得：尤=3,

.\A(0,4),B(3,0),

已知A为BC中点，点。为点A关于无轴的对称点，

.,.点C的坐标为(-3,8),点。的坐标为(0,-4),

•.•二次函数＞=苏+6尤+18在第二象限交于点C,抛物线对称轴为直线x=L代入得:

A

-=1

2ba+

a8

128

/-r31

1a--

1二3

解

得

、

24

2

-X+-X+18

・・・抛物线的解析式为y=33

(2)VA(0,4),B(3,0),D(0,-4),

：.AD=8,05=3,

:,S〉ABD=xOB='X8x3=12,

..3

***S/\ABP=4s△ABD,

3

S^ABP=彳X12=9,

过点尸作P。，无轴于点。，如图2.1,

24

2

-X+-X+1

设点P的坐标为（无,338)

••S/xABP=S梯形PQQ4-S^AOB-SAPQB,

1241124

22

--X+---3X-X+-%+

2(-3322(-3318)=9,

整理得：厂-4x-12=0,

解得xi=-2（舍去），尤2=6,

.,.点P的坐标为（6,2）,

如图2.2,作点C关于y轴的对称点R连接ERPF,

则点尸的坐标为（3,8）,且CE=EF,

,：\PE-CE\^\PE-EF]^PF,即当尸、E、尸三点共线时取等号,

最大值为J（6-3尸+（2-8下=3V5,

，|PE-CE|的最大值为3近；

（3）当点N在点A左侧时，如图3,

,：ZOBA+ZOAB=90°,2NDNA+NOBA=90°,

：.ZOAB=2ZDNA,

：.NADN=/AND,图2.2

：.AN^AD=S,

4

设点N的坐标为（ri,一gn+4）,

4

222y

n--8

3

解得：（不合题意，舍去）或-学

.♦.点N的坐标为（一曾，爵

当N在A的右侧时，如图4,

作。M=A£）=MN,DELBN于点,E,

图3

由题意得：ZOAB=ZDMA=2ZDNA,

：.ZMDN=/MND,

：.AD=DM=MN=S,

V0A=4,05=3,

：.AB=5,

・・・"AcOBDE3DE

-smZBAD=AB=AD'即nn1T

解得：DE=^,

：.AE=NAD?—DE2=手

64

：.AM^2AE=寺，

64104

・・・AN=.+8=詈，

:・AN=Jn2+（（九］=

解得：〃二尝或一尝（不合题意，舍去），

・••点N的坐标为（V，一

综上，点N的坐标为（-当，学）或

6.【解答】⑴y=-W+3x+4,顶点。坐标为您茅；理由如下：

抛物线y=-~+灰+4交x轴于A(-1,0),8两点，将点A的坐标代入得:

0=-1-/?+4,

解得：6=3,

.•.抛物线解析式为产-X2+3X+4=-(%-1)2+竽,

；*顶点。坐标为(|,金；

(2);抛物线y=-/+fcv+4交x轴于A(-1,0),8两点,

令-W+3x+4=0,

解得％1=-Li2=4,

：.B(4,0),

VP的横坐标为租—,且m>3,

••Tfl—5〉5，

「・将％=m—垓代入得：y=-/+3%+4=—（m—|）2+3（m—|）+4=—m2+6m—小

・•・点尸一定在对称轴右侧，且尸的坐标为(血―-m2+6m-^)；

①如图1,当点尸在无轴上方时，

33

则一<^一一<4,即3Vm<5.5,

22

25

此时：m+l=yD-yA=-^,

解得：爪=今符合题意；

②如图2,当点P在无轴下方时，

则租一2>4,即加>5.5,

止匕时：m+1=yD-yp=彳25(-序+6m--1彳1)，

解得：机1=在/，侬=上/<5,5(舍去);

③当点尸在无轴上时，

则租一9=4,即m=5.5,

此时：m+l=yD-yA(或yp)=彳，

71

解得：7H=彳。5.5(舍去)，

综上所述，m=空或7+^^；

(3)在第一象限的抛物线上存在点尸，使NP5C+NACO=45°；理由如下：

如图3,在x轴的正半轴上取点E(l,0),连接CE,过点3作3尸〃CE交抛物线于点尸,

VA(-1,0),E(1,0),

・•・ZACO=ZECO,

9：BP//CE,

:.NPBC=NECB,

：.NPBC+NACO=ZECB+ZECO=ZBCO,

,.,O3=OC=4,ZBOC=90°,

：.ZBCO=45°,

：.ZPBC+ZACO=45°,

设直线CE的解析式为y=px+q,过C(0,4),E(1,0),

・••直线CE的解析式为y=-4x+4,

9：BP//CE,

・••设直线尸5的解析式为y=-4%+〃，将5(4,0)代入得：

0=-16+H,

解得：几=16,

・•・直线尸3的解析式为y=-4x+16,

由-X2+3X+4=-4x+16,

解得：xi=3,X2=4(舍去)，

：.P(3,4).

7.【解答】解：(1)将A(-1,0),C(0,3)代入y=a/+2x+c,得:

(ci-2+c=0,

lc=3，

a=-1

解得

C=3，

・•・二次函数的表达式为y=-7+2%+3；

(2)对于y=-f+2%+3,令y=0,-x2+2x+3=0,

解得％1=-LX2=3,

：.B(3,0),

：・OB=OC=3,

・・・AOBC是等腰直角三角形，

ZABC=45°,

'：ZQCB=2ZABCf

：.ZQCB=90°,

如图，过点。作CQL5C交抛物线于点。，过点。作QGLy轴于点G,

：.ZGCQ=90°-ZOCB=45°,

・・・AGC2是等腰直角三角形，

:.CG=QG,

设Q(q，-/+2夕+3),则G(0,-/+2q+3),

CG=-/+2夕，GQ=q,

・.-q+2qq,

解得9=0(舍去)或9=1,

.,*-/+2夕+3=4,

：.Q(1,4).

8.【解答】解：(1)抛物线3经过A(-1,0),B(3,0)两点，把点A,

点B坐标代入y=aj?+bx-3得：

.(CL—b-3=0

3b-3=0'

解得：K=1y

lb=-2

...抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3；

(2)抛物线y=/-2x-3与y轴交于点C,

令x—0,则y=-3,

；.OC=3；

:点B的坐标为(3,0),

；.OB=OC=3；

如图1,连接8C,设点尸的坐标为G,P-2L3),

:点尸在第四象限，

：.PM=-(r-2f-3),OM=t,BM=OB-OM=3-t,

:.S=S梯形OMPC+SzxMBP-SAOCB

111

-][—(/—2t—3)+3]t+2[—(I?—2t—3)](3—t)—]X3x3

图1

/+

_3327

__2("引2+于

3

:一尸，

.，.s存在最大值,

当t=2时，S有最大值二；

28

(3)解：如图2,作AP关于直线AC的对称线段AH,连接尸〃，设尸”中点为G,

由对称的性质可知，ZB4H=2ZB4C,AP=AH,

VZMB4=2ZB4C,

:・/PAH=ZMPA,

：.AH//PM,

・.・PM_Lx轴，

・・・AH_Lx轴；

设点尸的坐标为(/,P-2L3),点H的坐标为(-1,h),

2

则点G的坐标为(号，h+t

•・・0。=3,图2

・••点。的坐标为(0,-3),

设直线AC的解析式为>=丘+加，其中左W0,把点A(-l,0)、C(0,-3)代入得:

(—k+m=0

Si=—3

解得：［k=-3

ITH=—3'

直线AC的解析式为y=-3x-3；

"十七2—2七一3t—1

把点G的坐标代入直线AC解析式中，得=—3x........-3,

22

'.h=-F-t,

：.AH2=(产+力'AG+1)2,

"：AP-=AM2+PM2=(Z+1)2+(P-2L3)2=(f+1)2[1+(L3)2],

'：AH^AP,

:G+l)2=(r+1)2[1+(/-3)2],

解得：t=|或r=-l(舍去)，

则12-2t-3=一等,

即点尸的坐标为G，

设直线AP的函数表达式为y=px+n,pWO,

把A、尸坐标分别代入得：

—p+n=0

5,32,

的+――百

4

--

-3

得

解4

-

--3

44

-X--

即直线AP的函数表达式为y=-33

9.【解答】解：(1)把A(-1,0),B(4,0)代入>=以2+/+4(。/0)得:

(a—5+4=0

116a+4b+4=O'

解得：t，

ID=3

•'•y=-/+3x+4；

(2)V-X2+3X+4,当x=0时，y=4,

：.C(0,4),

设直线的解析式为：>=履+4,把B(4,0)代入得：

k=-1,

•'•y=-x+4,

过点尸作轴，交于点设尸(M，-m2+3m+4),则E(机，-m+4),如图1,

PE=-m2+3m+4-(-m+4)=-m2+4m,

:•SAPBC=E,OB=2x4(—7n2+4TH)=-2(rn.-2/+8,

・•・当m=2时，SMBC有最大值，此时尸(2,6)；

(3)在对称轴左侧的抛物线上存在一点P,满足NP5C=NDBC；理由如下:

•.・>=-/+3x+4,

，抛物线的对称轴为直线％=-W=掾，当x=3时，y=-9+9+4=4,

：.D(3,4),

'：C(0,4),

：.CD//x^,CD=3,

,:B(4,0),

.•.0C=0B=4,

.•.NOBC=NOCB=45°,

：CD〃x轴，

：.ZBCD^ZOBC^45°,

：./BCD=/OCB,

设直线BP与y轴交于点G,如图2,

■:/PBC=NCBD,BC=BC,/BCD=N0CB,

:.△BCDgXBCG(ASA),

：.CG=CD=3,

：.G(0,1),

同(2)可得，直线8G的解析式为：y=-1x+1,

1

联立y=—&比+i,

y=—x2+3%+4

图2

(YA,X=~-T

解得：｛y=°或，19,

擞

10.【解答】解:(1)把A(-1,0),B(3,0)代入yno?+bx+B得:

(CL-5+3=0

(9a+3b+3=0'

解得仁丁,

...抛物线的解析式为了=-?+2x+3；

(2)设P(m,-z?72+2m+3),

在y=-f+2x+3中，令x=0得y=3,

：.C(0,3),

：.0B=0C=3,

•••ABOC是等腰直角三角形，

：.ZBCO^ZCBO^45°,

'JPE//OC,尸产〃无轴，

:.NPEF=/BCO=45°,NPFE=/CBO=45°,

AP£F是等腰直角三角形,

2

：.SAPEF=帝PE・PF=1PE,

当PE最大时，S"EF最大，

由C(0,3),B(3,0)可得直线BC解析式为>=-X+3,

:・E(m,-m+3).

39

\2

2-7+-

PE=-m+2m+3-(-m+3)24

V-l<0,

Q9

当m=5时，PE最大为一，

z4

,3151981

此ir时P(一，一)，S^PEF=5X(-)2=方；

24Z45乙

81315

.,.△PEF面积的最大值为丁，此时点尸的坐标为(二，一)；

3224

(3)抛物线上存在点。，使NC3Q+NACO=45°,理由如下：

作A(-1,0)关于y轴的对称点K(1,0),当。在5C上方时，连接CK,过3作CK

的平行线CT交抛物线于Q,如图：

・•・ZACO=ZKCO,

由(2)知，ZBCK+ZKCO=45°,

・・・N3CK+NACO=45°,

'：BT//CK,

：.ZCBQ=ZBCK,

：.ZCBQ+ZACO=45°,

由C(0,3),K(1,0)可得直线CK解析式为＞=-3x+3,

设直线BT解析式为y=-3x+t,把B(3,0)代入得：0=-9+3

解得f=9,

直线BT解析式为＞=-3x+9,

联叱二:"

解需驾或忧;，

：.Q(2,3)；

当。在5C下方时，设时咬CK于W,

同理可知，ZCBW=ZBCWf

：.CW=BW,

设W(九，-3九+3),

VC(0,3),B(3,0),

(-3〃+3-3)2=-3)2+(-3〃+3)

解得n=

331

由W(74)JB(3，0)得直线解析式为产一宗+1，

联立卜=一9+1,

y=—x2+2%+3

解得扃或、,

v~~9

综上所述，Q的坐标为(2,3)或(-可，—

11.【解答】解：(1)已知抛物线y=--+如+徵-2的顶点为A,且通过点8(3,-3),

将B点坐标代入得：

/--3=-32+3m+m-2,

解得：m=2,

工抛物线为：y=-X2+2X=-(x-1)2+1,

工顶点A(1,1)；

(2)由(1)可知A(1,1),

设直线AB的解析式为：y=kx-^-b(左W0),把A,3点的坐标代入得：

(1=k+b

t-3=3k+b'

解得:苗=；2,

3=3

・,・直线AB的解析式为：y=-2x+3,

当直线A3向上平移，与抛物线仅一个公共点时，△ABC面积有最大值，且平移的解析

式为y=-2x+d,

-2x+d=-/+2x,

整理得：x2,-4x+d=0,

A=0=16-4d=0,

解得：d=4,东

・•・平移直线的解析式为：y=-2x+4,\J

2

-2x+4=-x+2xf\

解得：X1=X2=2,\A

・,•点C(2,0),.

设直线AB与x轴的交点为点。，如图1,)

・一3/%

・・・。点的坐标为。6,0),/\

：.CD=^,图1

(3)①过点5作5。，胡交AP于点Q,过点5作GH〃y轴，分别过点A,。作AG,

GH于点G,QH_LGH于点、H,如图2,

ZAGB=ZABQ=ZBHQ=90°,

VZABG+ZQBH=9Q°,ZBQH+ZQBH=9Q°,

ZABG=ZBQH,/AG

VZPiAB=45°,->

X

：.BA=BQ,

在AAeG和中，

zAGB=乙BHQ

Z-ABG=乙BQH,

AB=BQ

；・AABG沿4BQH(AA5),

：.AG=BH=3-1=2,BG=QH=1-(-3)=4,

・,•点。(-1,-5),

设直线AQ的解析式为：y=ax^b(〃W0),将A,。点的坐标代入得:

口=k+b

t-5=-k+b'

解得：［k=3

b=-2

直线A。的解析式为：y=3x-2,

:点Pl在直线A。上，

直线APl的解析式为：y=3x-2,

联立抛物线y=-/+2x,

/.-^+2%=3^-2,

解得：XI=1(舍去)，X2=-2,

；.点尸1(-2,-8)；

②延长Q8交A尸2于点R,