北京市朝阳区2025届高三年级下册质量检测一（3月）数学试卷（含答案与解析）

机密★启用前

北京市朝阳区2025届高三下学期质量检测一（3月）

数学试卷

注意事项：

1.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写

在本试卷上无效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.已知集合人=何忖<2｝,集合3=闺0-x-2},则43=（）

A.1x0<x<2jB.1x|0<%<2}C.1x|-2<x<21D.1x|0<x<21

2.设复数z=l+i的共轨复数为口则一（）

A.1B.72C.2D.4

3.在（x+2]展开式中，常数项为（：

）

A.6B.8C.12D.24

4.为了得到函数y=Sin2x+cos2x的图象,可以将函数y=J5sin2x的图象

7T7T

A.向右平移一个单位B.向左平移7个单位

44

717T

C.向右平移一个单位D.向左平移"个单位

88

5.已知｛4｝是等比数列，％=2,<23=1,,则a。。6=（）

6.已知曲线C:nu?-ay?=1,贝!|“〃>加>。"是"C为焦点在x轴上的双曲线”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7已知sintz+sin/?=O,cosa+cos〃=6，则cos（a-/?）=（）

A--B.1C.昱D.1

222

8.某市计划在一条河上修建一座水上休闲公园，如图所示.这条河两岸所在直线4,‘2互相平行，桥。£与

河岸所在直线垂直.休闲公园的形状可视为直角三角形，它的三个入口分别设在直角三角形的顶点A,B,

C处，其中入口A点（定点）在桥。E上，且A到直线/r4的距离分别为自，h2（4,4为定值），入口

B,C分别在直线4，4上，公园的一边A3与直线乙所成的锐角—WD为戊，另一边AC与4B垂直.设

该休闲公园的面积为S（a）,当a变化时，下列说法正确的是（）

A.函数S（a）最大值为4为

B.函数S（a）的最小值为牛

c.若火,%寸。,"!）且4<%,则s3）〈s（%）

L兀

D.若火,%4呜且%+%=—,则S(%)=S(%)

9.在VABC中，CA=CB<,AB=4,点M为VABC所在平面内一点且AM.BC=0,则

的最小值为（）

16416

A.0B.D.

2555

10.〃位同学参加学校组织的某棋类单循环制比赛，即任意两位参赛者之间恰好进行一场比赛.每场比赛的

计分规则是：胜者计3分，负者计。分，平局各计1分.所有比赛结束后，若这〃位同学的得分总和为150

分，且平局总场数不超过比赛总场数的一半，则平局总场数为（）

A.12B.15C.16D.18

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.函数〃x)=/—

+log3^的定义域为

A/1-X

12.己知点"（2,1）在抛物线C:k=>0）上，则抛物线C的焦点E的坐标为；以F为圆心，

|引⑷为半径的圆与抛物线C的准线的位置关系是.（填“相交”“相切”或“相离”）

13.已知函数了⑴是R上的奇函数，当无>0时/（x）=x+e2r,则/（—2）=；若存在

a,b,c&R（a^b）,使得/（a）=/（b）=c,则c的一个取值为.

14.干支纪年法是我国古代一种纪年方式，它以十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）和十

二地支（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）的组合来表示年份，循环纪年.比如某一年

为甲子年'，则下一年为乙丑年，再下一年为丙寅年，以此类推，排列到癸酉年后，天干回到“甲”，即甲戌

年，下一年为乙亥年，之后地支回至「子”，即丙子年，以此类推.已知2025年是乙巳年，则2025年之后的

首个己巳年是年.（用数字作答）

15.在棱长为1的正方体ABC。—A4G2中，点P是底面内的动点，给出下列四个结论：

①+的最小值为2；

②，4+pq的最小值为#;

③P4+W4的最大值为i+百；

④『的最小值为3.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.如图，在四棱柱A3CD—4与G。中，平面A3CD,在四边形A3CD中，

AB//CD,AB^2,AD^CD^1,E为线段A3的中点.

(1)求证：4E〃平面qCDDj；

(2)若平面AA34，平面4A£>2，AA=2,求平面4A35]与平面AC]E夹角余弦值.

17.在VABC中，bcosA+acosB-c2.

(1)求c的值；

3

(2)已知sinC=g,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得VA3C存在且

唯一，求VABC的周长.

条件①：48=；；

4

3

条件②：A8边上的高为一；

2

4

条件③：tz=—.

注：如果选择的条件不符合要求，第(II)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

18.某高中组织学生研学旅行.现有A,8两地可供选择，学生按照自愿的原则选择一地进行研学旅行.研

学旅行结束后，学校从全体学生中随机抽取100名学生进行满意度调查，调查结果如下表：

高一高二IWJ二

A地2地A地B地A地2地

满意122183156

一般226568

不满意116232

假设所有学生的研学旅行地点选择相互独立.用频率估计概率.

(1)估计该校学生对本次研学旅行满意的概率；

(2)分别从高一、高二、高三三个年级中随机抽取1人，估计这3人中至少有2人选择去B地的概率；

(3)对于上述样本，在三个年级去A地研学旅行的学生中，调查结果为满意的学生

人数的方差为调查结果为不满意的学生人数的方差为写出和学的大小关系.'(结论不要求证

明)

22

19.已知椭圆：=+==1(。〉6〉0)的右焦点为歹(1,0),离心率为J.

ab~

(1)求椭圆E的方程;

(2)过点"(4,0)作直线/与椭圆E交于不同的两点A,B.设,直线BC与直线x=l交于点

N,求证：直线AN的斜率为定值.

20.已知函数=------(4ZGR).

(1)当0=1时，求曲线y=/(x)在点(1,7(1))处的切线方程;

(2)若求证：当x21时，〃x)20；

2

(3)若函数/(%)有3个不同的零点，求。的取值范围.

21.已知Q：4,a2,L,a“(〃23,〃eN*)为有穷正整数数列，若存在"e{1,2,,〃}(，＜/),其使得

siai+sMaM++sjaj=0,其中号,加,.巴e{-1,1},则称Q为连续可归零数列.

(1)判断Qi：1,3,2和。2：4,2,4是否为连续可归零数列？并说明理由；

(2)对任意的正整数"记V(，)=M{VWN|，="-2","CN*},其中maxS表示数集S中最大的数.令

6=2?-咐1=1,2,、7),求证：数列Q：%,电，L,%不是连续可归零数列；

(3)若Q：%,a2,L,a”的每一项均为不大于左(keN*)的正整数，求证：当左时，。是连续可

归零数列.

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.已知集合4=卜旧<2>,集合3=何。<、"2},则45=（）

A.1%|0<x<2jB.1x|0<%<2}C.1%|-2<x<2jD.{x[0<x<2}

【答案】A

【解析】

【分析】求出集合4然后根据交集运算求解即可.

【详解】A={x||x|<2）={x|-2<x<2},

所以Ac5={x[0<x<2},

故选：A

2.设复数z=l+i的共物复数为1，则2二=（）

A.1B.72C.2D.4

【答案】C

【解析】

【分析】求得复数1，进而利用复数的乘法运算可求

【详解】因为复数z=l+i，所以复数z的共辗复数为1=1一i，

所以zi=（l+i）（l—i）=F—[2=2.

故选：C.

3.在[x+2]的展开式中，常数项为（）

A.6B.8C.12D.24

【答案】D

【解析】

【分析】写出二项展开式通项，令x的指数为零，求出参数的值，代入通项后即可得解.

【详解】+的展开式通项为=<2[23/-2乂左=0,1,2,3,4),

令4—2左=0,解得k=2,所以，展开式中的常数项为C[22=6x4=24.

故选：D.

4.为了得到函数y=sin2x+cos2x的图象，可以将函数y=J1sin2x的图象

7TTT

A.向右平移一个单位B.向左平移一个单位

44

TTTT

C.向右平移一个单位D.向左平移一个单位

88

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：因为y=sin2x+cos2x=J5sin(2x+：),所以将函数y=J5sin2x的图象向左平移

n

工—工个单位，选D.

考点：三角函数图像变换

【易错点睛】对y=Asin(3x+(p)进行图象变换时应注意以下两点：

(1)平移变换时，x变为x±a(a>0),变换后的函数解析式为y=Asin[3(x±a)+(p]；

x

(2)伸缩变换时，x变为一(横坐标变为原来的k倍)，变换后的函数解析式为丫=人$山(-x+(p).

kk

5.己知｛。“｝是等比数列，a2=2,<J3=1,则&=()

111

A.-B.-C.：D.1

842

【答案】A

【解析】

【分析】根据等比数列的通项公式求出公比q和首项4,再根据等比数列的通项公式求出%、生、每，最

后计算4的值.

a,1

【详解】已知凡=2,4=1，可得公比4=二=彳.

再将q=；，叼=2代入通项公式出=qq，可得2=4x；,解得q=4.可得：

,11111

色"=1x；a=aq=-x-=-；aa、q——x一二一.可得:

L5465428

〃4二4x2xlx—x—x—=一.

1262488

故选：A.

6.已知曲线C:7加-ay?=i,贝！］“〃＞加＞0”是“0为焦点在左轴上的双曲线”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】结合双曲线的标准方程，直接判断命题的充分性和必要性即可.

【详解】若“〉相＞0,则0＜工＜工，

nm

22

土-匕=11

所以。：如2y2=1,即11-,

mn

所以。为焦点在x轴上的双曲线；

若。为焦点在无轴上的双曲线，

22

工—二二1

则对于C：〃：犬2一町2=1,即11,

mn

可得，＞0,工＞0,即机＞0且〃＞0,不一定得到几＞帆＞0,

mn

综上，“川〉加＞0"是“C为焦点在％轴上的双曲线”的充分不必要条件.

故选：A

7.已知sino+sin/?=。，cosa+cos〃=6,则cos(o—/?)=()

A.--B.：C.旦D.1

222

【答案】B

【解析】

【分析】将给定的两个等式平方相加，再逆用差角的余弦公式即得.

【详解】由sina+sin/?=。，cosa+cos/7=百,得(sina+sin/)?+(cosa+cos尸产=3,

整理得2+2(85£85/7+$111£5111/7)=3,所以cos(a—夕)=；.

故选：B

8.某市计划在一条河上修建一座水上休闲公园，如图所示.这条河两岸所在直线/1,，2互相平行，桥。E与

河岸所在直线垂直.休闲公园的形状可视为直角三角形，它的三个入口分别设在直角三角形的顶点A,B,

C处，其中入口A点(定点)在桥。E上，且A到直线小乙的距离分别为自，用(4,4为定值)，入口

B,C分别在直线&，4上，公园的一边42与直线4所成的锐角NASD为a,另一边AC与A3垂直.设

该休闲公园的面积为S(a),当a变化时，下列说法正确的是()

A.函数S(a)的最大值为"为

B.函数S(a)的最小值为牛

C.若%,%且/<%,则S(aJ<S(a2)

D若%,%且%+%，则S(aJ=S(a2)

【答案】D

【解析】

【分析】主要涉及三角函数以及三角形面积公式的应用.首先根据直角三角形中的三角函数关系，分别求出

AB和AC的长度表达式，再根据三角形面积公式得到S(a)的表达式，最后对该表达式进行分析，判断各

个选项的正确性.

【详解】在HfVABD中，ZABD=a,AD=刈，根据正弦函数的定义，可得

sma

TT

因为NBAC=5，ZABD=a,所以NC4E=cr,在RfACE中，AE=%,根据余弦函数的定义，可

得AC=-^.

cosa

对于VABC,S(a)=-AB-AC,将43=2，AC=-^代入可得：

2smacosa

S(0=L4「=—她一，进一步化简为S(①=1匹，aefo,^.

2sinacosa2sin。cosasin2a<2J

对于选项A,因为所以2OG(0,兀)，sin2ae(0,1].当sin2。取最小值0(取不到)，最大

值1时，S(a)=1①没有最大值，所以A错误.

sin2a

对于选项B,由S(a)=&。，sin2«e(0,l],当sin2<z=l,即2c=巴，a=工时，S(a)取得最小

sin2a24

值4a，所以B错误.

对于选项C,当时，2ae|0,^sin2a单调递增，S(a)=—正单调递减；当

k4JV2Jsm2a

二£(：,5]时，2a£(£,兀],sin2a单调递减，S(a)-单调递增.

142J12)sin2a

所以若%%£[0弓)且％<%,不一定有S(%)<S(%)，C错误.

(兀)兀

对于选项D,若%,%且%+%=5，贝!]2%+2仁:2=兀sin2ax=sin(7i-2%)=sin2a2.因

2

hhhh

为义⑷=版,义的)=仁；，所以s(⑷=SQ),D正确.

故选：D.

9.在VA3C中，CA=CB=yB，A3=4,点/为VA3C所在平面内一点且AM.3C=0,则AATCM

的最小值为()

16416

A.0B.-----C.一一D.——

2555

【答案】C

【解析】

【分析】以BC所在直线为x轴，以其上的高线为y轴建立平面直角坐标系，设出点河的坐标，写出各个

点坐标，利用数量积的坐标运算，求解问题.

【详解】在三角形ABC中，由余弦定理cosC=——"——=一/==—r=--,故C为钝角;

2ACxCB2x75x755

又故"点在三角形ABC底边BC的高线上，

则以BC所在直线为无轴，以其上的高线为y轴建立平面直角坐标系如下所示：

l44x/5r-3

故04=ACxsinNACO=J5x—=^-，OC=ACxcosNACO=x—=；

(4J?)(2-^5Y442、/?

故AM・CM=mm——=m一一———>——,当且仅当根=工时取得等号;

^5J555

.4

也即AM•CM的最小值为一二.

故选：C.

10.〃位同学参加学校组织的某棋类单循环制比赛，即任意两位参赛者之间恰好进行一场比赛.每场比赛的

计分规则是：胜者计3分，负者计0分，平局各计1分.所有比赛结束后，若这〃位同学的得分总和为150

分，且平局总场数不超过比赛总场数的一半，则平局总场数为()

A.12B.15C.16D.18

【答案】B

【解析】

【分析】设平局总场数为左化eN),且所有比赛的场数为C；=,根据总得分为150分可得出

2

）=—l）_i50,结合题意得出0W9=3〃（"—I—1504“（”一°,可得出关于〃的不等式，解出正

224

整数〃的值，即可得出平局的局数.

【详解】设平局总场数为左（左eN）,且所有比赛的场数为C：=—1）,

n(n-l)

由题意可知，k<

4

由于能决定胜负的每场选手的得分之和为3分，每场平局选手的得分之和为2分，

由题意可得3］也二D—左］+2左=—左=150,所以，左=独二D—150,

2j22

因为平局总场数不超过比赛总场数的一半，则0W左J5fro<,

24

整理可得100W〃（〃—l）W120,因为〃eN*，解得〃=11，

所以'平局的局数为"当“一15°=吟型一15°=5

故选：B.

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.函数〃x)=/—

+log^的定义域为

\ll-x3

【答案】（0,1）

【解析】

【分析】根据函数解析式有意义可得出关于X的不等式组，即可解得函数/（九）的定义域.

l-x>0

【详解】对于函数/(x)=-^^=+10g3%,有<x>0'解得℃<1'

A/1-X

故函数/（x）=［^=+logs》的定义域为（0,1）.

故答案为：（0,1）.

12.已知点M(2,1)在抛物线C:f=2py(p>0)上，则抛物线C的焦点厂的坐标为；以F为圆心，

|引刈为半径的圆与抛物线C的准线的位置关系是.(填“相交”“相切”或“相离”)

【答案】©.(0,1)②.相切

【解析】

【分析】第一空由点在抛物线上代入可得抛物线方程，进而得到焦点坐标；

第二空由两点间距离公式求出圆的半径与焦点到准线的距离相比较可得.

【详解】由题意可得4=2/=>。=2,所以K=l,

2

所以抛物线C的焦点厂的坐标为(0,1)；

由两点间距离公式可得=J(2_0)2+(1-1)2=2，即为圆的半径，

又焦点到准线的距离为2,

所以|加|为半径的圆与抛物线C的准线的位置关系是相切.

故答案为：(0,1)；相切.

13.已知函数"％)是R上的奇函数，当x>0时/(x)=x+e2f,则/(—2)=；若存在

a,b,c&R(a^b),使得/(a)=/(5)=c,则c的一个取值为.

【答案】①.—3②.4(答案不唯一)

【解析】

【分析】利用函数的奇偶性可求得了(-2)的值；先求得无>0,函数“X)的单调性，进而可得的单

调性，进而可求得c的取值范围.

【详解】因为函数/(尤)是R上的奇函数，且x>0时，f(x)=x+^-x,

所以/(_2)=_/(2)=—(2+e2-2)=_3.

当x>0时，由y(x)=x+e2r,可得/'(x)=l—e2r,

令/'(x)>0,即l—e2T>0，解得尤>2,

所以函数外可在(0,2)单调递减，在(2,+“)单调递增,

所以x>0时，/（x）>/（2）=2+e2-2=3,x.0,/（x）^e2

由为函数〃尤）是R上的奇函数，可得x<0时，/（x）</（-2）=-3,又/⑼=0,

由/（。）=/3）=。,可得—e2<c<-3或3vcve2,

所以C的取值范围为（—e2,—3）D（3,e2）.

故答案为：-3；4（答案不唯一）.

14.干支纪年法是我国古代一种纪年方式，它以十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）和十

二地支（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）的组合来表示年份，循环纪年.比如某一年

为甲子年'，则下一年为乙丑年，再下一年为丙寅年，以此类推，排列到癸酉年后，天干回到“甲”，即甲戌

年，下一年为乙亥年，之后地支回至子"，即丙子年，以此类推.已知2025年是乙巳年，则2025年之后的

首个己巳年是年.（用数字作答）

【答案】2049

【解析】

【分析】天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，分析计算可得解.

【详解】天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，

从2025年是乙巳年，以2025年的天干和地支分别为首项，

因为地支为巳，则经过的年数为12的倍数，

又因为2025年为天干为乙，到天干为已，需经过丙、丁、戊、己，

故经过年数除以10的余数为4,故需经过24年，所以2025年之后的首个已巳年是2049.

故答案为：2049.

15.在棱长为1的正方体—中，点P是底面内的动点，给出下列四个结论：

①的最小值为2；

②Pd+Wq的最小值为几；

③pf+Wq的最大值为1+逝；

④『的最小值为3.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②④

【解析】

【分析】设点A、B、c、。关于平面4耳。2的对称点分别为A、当、G、D2,设底面ABC。、

4与。12的中心分别为点0、0「作出图形，推导出|出+04=2忸0bpA『+pC]=2,O『+l,

求出|尸。|的最小值，可判断①④；由对称性得出|「。|=|尸。2卜进而可判断②；取点尸和点片重合，可判

断③.

【详解】设点A、B、c、。关于平面A4G2的对称点分别为4、B>c。、D],

设底面ABCD、4回。12的中心分别为点。、。1，如下图所示:

对于①，易知。为AC的中点，则P0=g（R4+PC）,可得PA+PC=2P0,

所以，|出+pq=2，@,

当点P与点。।重合时，底面ABCD,此时，|P0|取最小值1,

即的最小值为2,①对；

对于④，=|PO+041+|PO+OC『=|PO+OA1+|PO—

/i-、2

=2（附]+|叫）=2附1+232=2pO1+2x—=2|PO|2+1,

''I2J

当点P与点。i重合时，。。1，底面ABC。，此时，|P。取最小值1,

贝的最小值为2*仔+1=3，④对；

对于②，由对称性可知，|尸。|=|PC2|,

则22

|PA|+|PC|=|PA|+|PC2|>|AC2|=^|AC|+|CC2|=V2+4="，

当且仅当点p为线段与平面的交点时，pd+pq取最小值#，②对；

对于③，当点尸与点用重合时，|闸+'。卜|闸+,02|=|做|+"4|=20>1+6,

所以，P4+pq的最大值不是1+6,③错.

故答案为：①②④.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.如图，在四棱柱ABC。—AgG。中，AAJ.平面ABCD,在四边形ABCD中,

AB//CD,AB^2,AD^CD^1,E为线段AB的中点.

A

18>

（1）求证：AE〃平面GCDR；

（2）若平面AAB4，平面AA。。，AA=2,求平面AA34与平面AGE夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵2

3

【解析】

【分析】（1）连接3CEC,根据长度和平行关系得到四边形AECD为平行四边形，再利用线面平行的判

定定理即可得证；

（2）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，即可得到A点处直线两两互相垂直，即可建立空间直角坐

标系，然后利用向量法求解面面角的余弦值即可.

【小问1详解】

连接D]C,EC.

因为A5=2,CD=1,石为AB的中点，

所以AE=CD.

又ABHCD,所以四边形AECD为平行四边形.

所以EC//AD,EC-AD.

又因为A。//AD,AA=A。，

所以A。//EC,A。=EC.

所以四边形AECD1为平行四边形.

所以AE//DC.

又因为<Z平面C[CDD[,DiCu平面C1CDDl,

所以AE//平面GCDA.

【小问2详解】

因为A&，平面ABC。，

所以A4LAB,AAi±AD.

又因为平面AXABB.1平面AlADDl,平面AiABBin平面A.ADD,=",

且ADu平面AA。，，

所以AD，平面4AB5一

所以ADSAB.

所以A3,AD,A4两两垂直.

如图建立空间直角坐标系A-孙z,

则D（O,1,O）,5（2,O,O），A（O,O,2）C（LL2）.

所以£（1,0,0）,马=（一1,0,2）,=（1,1,0）.

因为平面AA53],

所以A。=（0,1,0）是平面A.ABB,的法向量.

设平面ACE的法向量为〃=（X,y,z）,

n-EA1-0-x+2z=0

则＜即《

n-AG=0x+y=0

令％=2,则y=—2,z=l.于是〃=（2,-2,1）.

设平面A,ABB,与平面夹角为。，

II\AD-n\2

则cosO=cosAD,n\=----；-.

.11\AD\\n\3

17.在VABC中，bcosA+acosB-c2.

（1）求c的值；

3

（2）已知sinC=g,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得VA5C存在且

唯一，求VABC的周长.

条件①：NB=?

4

3

条件②：A8边上的高为2；

2

4

条件③：a=~.

注：如果选择的条件不符合要求，第（II）问得。分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

【答案】（1）C=1

（2）1+^0

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再结合两角和的正弦公式化简求解c的值；

（2）根据所选条件，结合正弦定理、三角形面积公式等求出三角形的其他边，进而求得周长.

【小问1详解】

由正弦定理—r--——=----及bcosA+acosB=c2

sinAsinnsinC

得sinBcosA+sinAcosB=csinC.

所以sin（A+5）=csinC.

所以sin（7i-C）=csinC.

又因为。£（。,兀），所以sin（兀一C）=sinCw。.

所以c=l.

【小问2详解】

jr3hc

选条件①：因为3=?,sinC==,c=l,且

45SIIIBsinC

所以匕=逊=9.

sinC6

因为b>c,所以所以Cw［。,'）.

3/-----------4

又因为sinC=—，所以cosC=，l—sin2C=一

55

所以：A/247237^/2

sinA=sin1+C=---x—d----x—=----

252510

又2=J所以。=2=述

sinAsinCsinC6

所以VABC周长为o+b+c=i+迪+述=1+2逝\

66

33

选条件②：因为"1,钻边上的高为5,所以S板

3

又因为sinC=g,所以=-abx—=—cib.

5

所以=3.

2

因为sinC=。，所以cosC=±Jl-sin2c=土」.

55

44

(1)当cosC=§时，由/二4+/一2abcosC，得1=/+/-2abX——.

5

又ab=；,所以。2+/j2=5.

2

所以4=Z?=.

2

所以VABC的周长为〃+b+c=l+"6.

44

(2)当cosC=——时,由<:2=[2+_2abeosC，得]=a?+/_2abx

5

又ab=',所以1+从=—3,不符合题意.

2

综上，VABC的周长为a+6+c=l+痴.

4

选条件③：a=-

44496

由余弦定理c2=/+62-2abcosC,可得1=(§了+b?—2x§匕x,即9〃—可b+7=0。

57

解得6=—或6=，,此时VABC不唯一，不符合要求.

315

18.某高中组织学生研学旅行.现有48两地可供选择，学生按照自愿的原则选择一地进行研学旅行.研

学旅行结束后，学校从全体学生中随机抽取100名学生进行满意度调查，调查结果如下表:

高一高二高三

A地B地A地8地A地8地

满意122183156

一般226568

不满意116232

假设所有学生的研学旅行地点选择相互独立.用频率估计概率.

(1)估计该校学生对本次研学旅行满意的概率；

(2)分别从高一、高二、高三三个年级中随机抽取1人，估计这3人中至少有2人选择去8地的概率；

(3)对于上述样本，在三个年级去A地研学旅行的学生中，调查结果为满意的学生

人数的方差为I，调查结果为不满意的学生人数的方差为《，写出s；和学的大小关系.'(结论不要求证

明)

【答案】(1)—

25

17

(2)——

80

(3)s；>si

【解析】

【分析】(1)利用频率估计概率即可求解；

(2)利用频率估计概率即可求解，结合相互独立事件的概率公式求解即可;

(3)求出s；,比较大小即可.

【小问1详解】

从表格数据可知，随机抽取100名学生对本次研学旅行满意的人数为

12+2+18+3+15+6=56,

因此该校学生对本次研学旅行满意的概率可估计为也=—.

10025

【小问2详解】

设事件A：抽取的高一学生选择去8地，

事件4：抽取的高二学生选择去2地，

事件A3：抽取的高三学生选择去2地,

事件G：抽取的3人中恰有i人选择去B地，，=2,3,

事件抽取的3人中至少有2人选择去8地.

从数据表格可知，抽取的100名学生中高一年级学生总数为12+2+1+2+2+1=20，

选择去B地的总数为2+2+1=5,所以。(4)可估计为京=；

抽取的100名学生中高二年级学生总数为18+6+6+3+5+2=40,

选择去B地的总数为3+5+2=10,所以。(&)可估计为与=；；

抽取的100名学生中高三年级学生总数为15+6+3+6+8+2=40,

选择去8地的总数为6+8+2=16,所以P(A)可估计为=

因为G=A441AA2A34442A3，

所以尸(。)=尸(C2。3)=尸(4444AAA4AAAA)

=P(A)P(4)P(A)+P(A)P(M)P(A)+P(A)P(4)P(4)+P(A)P(4)P(A).

所以抽取的3人中至少有2人选择去8地的概率可估计为

1112

—X—X—X—

444580

【小问3详解】

在三个年级去A地研学旅行的学生中，

一1

调查结果为满意的学生人数的平均数为为=-(12+18+15)=15,

则调查结果为满意的学生人数的方差为s；=[(12—15y+(18—15y+(15—15)2]=6,

一1in

调查结果为不满意的学生人数的平均数为x2=-(l+6+3)=y,

](IO、？(IO、？(IO、？。

则调查结果为不满意的学生人数的方差为s；=gl-y+6-y+3-y=-

则S；>S；.

22

19.已知椭圆：，+方=l(a〉6〉0)的右焦点为歹(1,0),离心率为g.

(1)求椭圆E的方程;

(2)过点“(4,0)作直线/与椭圆E交于不同的两点A,B.设直线BC与直线X=1交于点

N,求证：直线AN的斜率为定值.

22

【答案】(1)工+匕=1

43

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)由题意可求得。力的值，可求得椭圆的方程;

(2)设直线/:丁=上(％—4),A(xi,y^,B(x2,y2),与椭圆方程联立方程组由韦达定理可得

X+X,,求得％v，进而计算可得Lw+1=0,可得结论.

1-44之+3।-4左2+3

【小问1详解】

c=1

c1a=2

由题意得＜一=7解得＜

a2b=6

a1=b"+c2

22

所以椭圆E的方程是土+匕=1.

43

【小问2详解】

由题可知直线/斜率存在.设直线/:y=%(*-4).

22

3%+4y—12=0/9\999

由＜/、,得（4左2+3）12—32左2%+64k2—12=0.

y=k（x-4）'）

由△=（—32左2）2—4（4左2+3）（64左2—12）＞0,得k