等差数列 提高练-2025年高考数学一轮复习

等差数列提高练

2025年高考数学一轮复习备考

一、单选题

1.已知首项4=-6的等差数列｛g｝中，al=a3a6,若该数列的前"项和'=0,则"等于（）

A.10B.11C.12D.13

2.若｛〃“｝是等差数列，S“表示｛%｝的前/项和，生+%>。，品<0,则｛"｝中最小的项是（）

A.S4B.S5C.S6D.S[

3.张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列

成等差数列.有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在

进货单上标记了两个缺货尺寸.几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记

缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是

677码.现在问题是，另外一个缺货尺寸是（）

A.28码B.29.5码C.32.5码D.34码

4.若等差数列｛%｝的前〃项和为S“，且满足邑⑷>0,邑。44<。，对任意正整数”,都有⑷习品|,则加

的值为（）

A.2020B.2021C.2022D.2023

5.数列｛%｝的前〃项和为，q=T,%=S“+w（-l）（"eN*）,设a=（-1）"<7"，则数列｛4｝的前51

项之和为（）

A.-149B.-49C.49D.149

21

6.设。〉0,b>0,若In0是ln3。与ln9"的等差中项，则一+7的最小值为（）

ab

A.6B.8C.9D.12

7.已知等差数列｛%,｝满足+%%+/%+%/=10°，则。5=（）

A.—B.5C.5或一5D.一或—

222

8.已知｛%,｝是等差数列，S,,是其前〃项的和，则下列结论错误的是（）

A.若4=2〃-25,则S“取最小值时”的值为12

B.若华,=-3"+27,则S”的最大值为108

C.若几=如，贝IJ必有&。=0

D.若首项%>0,S«f,则S“取最小值时〃的值为9

二、多选题

9.公差为d的等差数列｛4｝的前〃项和为S“，若邑023〈邑必<52022,则下列选项正确的是（）

A.d>0B.4<0时，"的最小值为2022

c.s“有最大值D.S.>0时，〃的最大值为4043

10.已知等差数列｛%｝的首项为6,公差为d,前”项和为S"，若5。〈'<品，则下列说法正确的是

（）

A.当〃=8总最大

B.使得S“<0成立的最小自然数〃=18

c.E+%|>1%）+%I

D.[a]中最小项为8

IanJ%。

S4〃

H.等差数列｛%｝与也｝的前〃项和分别为S〃与（，且寸"=.，则（）

A.当。〃=2〃-1时，£=52B.当S〃=/时，bn=3n-l

C.4（4+%）=5&D.%；4I〉2

12.设｛4｝是等差数列，S〃是其前几项的和.且S5Vs6，56=57>S8,则下面结论正确的是（）

A.J<0B.%=。

C.$6与$7均为S〃的最大值D.满足S〃<o的〃的最小值为14

三、填空题

13.已知等差数列｛%｝中，%+2〃6=3,则。5=.

,、r、工〃+3a_

14.已知等差数列｛qj和｛年｝的前〃项和分别为S”和T"，且亍"=一则3

15.已知等差数列｛4｝的项数为奇数，且奇数项的和为40,偶数项的和为32,则%=.

16.在等差数列｛〃"｝中，4=7,公差为d,前〃项和为S“，当且仅当〃=8时S”取最大值，则d的取

值范围____

四、解答题

17.记S,为等差数列｛%｝的前"项和，己知。3=T8,S2=5a6.

⑴求｛%｝的通项公式；

⑵求S.的最小值.

18.已知等差数列｛%｝的公差d>0,々与心的等差中项为5,且。43=24.

(1)求数列｛a“｝的通项公式；

〃为奇数，

(2)设么=<]〃为偶数,求数列也｝的前20项和4。.

“+2''

19.数列｛%｝的前〃项和为S“，且4=1,当此20~4)时，(〃一1)5"一("+1)S“T=；(/—").

(1)计算：出，“3；

5.

Q)证明，为等差数列，并求数列｛4｝的通项公式;

«(«+1)

参考答案:

1.D

设等差数列｛%J的公差为d,因为。i=-6,a1=a3a6,

所以（一6+8d）2=（—6+2d）（—6+5d）,解得d=l或d=0,

若d=o,则｛&J为常数数列，则S〃=-6"W。，不合题意，舍去；

贝Ijd=l,由等差数歹！I前”项和公式得S“=-6〃+"Rxl=0,解得“=13.

〃2

2.B

因为S9=9（%；%）=9%<O,

所以生<。，

因为〃5+。6=。3+。8>0，所以。6>-。5>0，

所以公差"=。6-。5>。，

故当〃<5时，<0,当〃26时，a„>0,

所以当〃=5时，S,取得最小值，

即⑸｝中最小的项是

3.C

设第一个尺码为q,公差为d,

则4=25,d=0.5,

则=25+-1）x0.5=0.5〃+24.5,

当。〃=0.5〃+24.5=36.5时，m二24,

故若不缺码，所有尺寸加起来的总和为

（名+a“）x24l,

S=_247——二738码，

2

所有缺货尺码的和为738-677=61码，

又因为缺货的一个尺寸为28.5码,

则另外一个缺货尺寸61-28.5=32.5码，

4.C

依题意S4043=4。43（q+“43）=40436Z2022>0,a>0,

2022

又邑。44=4044（丁4。44）<0,即4+时*<（）,则出必+.3<。

则%023<。'且|^2022|1^20231，

所以等差数列｛%｝单调递减，q>%>…>%021>“2022>。>“2023>“2024>

所以对任意正整数〃，都有同可编，则口=2022.

5.B

因为〃a〃=S〃+n(n一1)(〃GN*),

当〃N2时，也〃=MS「S"T)=S〃+〃5—l),

即(n-1)S,-nS〃_i=n(n-1),

可得2-辿=1,又学=4=-1,所以-]是以-1为首项，1为公差的等差数列,

nn-111nJ

所以=—1+〃—1=〃—2,则=〃(〃—2),

n

当〃22时S〃_]=(n-l)(n-3),

所以〃〃=S〃-S“T=n(w-2)-(n-l)(/i-3)=2n-3,当〃=1时。〃=2n—3也成立,

所以舟=（T）Z=（T）"（2〃-3）,

可得数歹」1抄〃｝的前51项之和为(l+D+(-3+5)+…+(—95+97)—99=2x25—99=T9.

6.B

因为In6是In3。与In9"的等差中项,

所以21n班=ln3“+ln9”,艮|Hn3=In(3。x9")=In3a+2b=(a+2b)In3,

.*.«+2Z?=1,又。>0,Z?>0,

.21_21a防

—+-(a+2b)=4+—+—>4+2,------o，

ababbaba

当且仅当十手，即"jb1时等号成立.

7.C

由题6/+%%+/%=%(6+%)+%(%+恁)=2%%+2〃5%=2%(%+%)=4a；=100,解得

%=±5,

8.D

对于A,因为a〃=2〃—25,所以％=-23,

〃(-23+2-25)=/_24〃

所以S“==(〃-12)2-144,

2

所以当〃=12时，S〃取得最小值，正确;

对于B,因为。〃=一3〃+27,所以q=24,

2

n(24-3九+27)_31|51317I289

所以S“=—n=——

22224

351

所以当〃=8或〃=9时，S,取得最大值为以=—5x64+5x8=108,正确;

又寸于C,S]3=S]?,则S]?-S]3—%7+〃16+%5+"14=0，%7+〃14=〃16+%5，

30(。1+/0)_30(46+%5)

所以〃16+。15=0，所以So：=0,正确;

22

对于D,若q〉0,S6=Sl2,贝°S]2―臬=%2+%1+〃10+。9+〃8+〃7=0，

2

又62+Q7=%]+%=40+〃9=0，所以40+%=0，所以d=-丁q<0,

所以等差数列｛册｝为递减数列,所以％…>〃9>。>%0>…，

所以S,取最大值时〃的值为9,错误.

9.CD

对于A：由§2023<S202I<^2022可得“2023+“2022<6"2023<°，“2022>°，

故等差数列｛4｝的公差d=a2023-a2022<0,故A错误;

对于B：由A得，数列为单调递减数列，且%)23<。，。22>。，故％<。时,

，的最小值为2023,故B错误;

d

对于C：由A得，J<0,故S〃=，7是关于〃的开口向下的二次函数,

2

其有最大值，没有最小值，故C正确;

对于D：因为数列｛为｝的前2022项均为正数,

+04Q44

且84044=4044二2022(q+%044)=2022(dt+“2023)<°，

22022

4+%043

84043=4043=4043〃2022〉0，

2

S”>0时，〃的最大值为4043,故D正确

10.BD

一%—8d<0

根据题意:即

%o=q+9d<0

t,[a>0।。।,

两式相加，解得：\,,%>°，％0<°，当〃=9时，S〃取大，故A错误

[d<0

由，10<Sg,可得到。9+"10<。<%,所以％+%<。,

4o+q1—(4+应)=4dVO,1]。+⑶1+%+19<0,

所以k+aJ<M+qi|，故C错误；

由以上可得：4>4>%3>…〉。9>。>40>41>…，

席=17"知)=]7%>0,而与=18”0)=9(%+4。)<0,

当“417时，>0；当“218时，S“<0；

所以使得S“<0成立的最小自然数〃=18,故B正确.

ss

当〃<9,或〃218时，」〉°；当9〈几〈18时，一^<°；

册册

由O>%o>•••>«17,S10>Sn>S12>•••>S17>0,

所以，工|中最小项为故D正确.

〔a"«10

11.AC

对于A：因为%=2〃一1所以==邑"=4〃2

S4〃

代入7n黄得(=〃(3"+D，所以4=52,故A正确.

fT.,n=l

对于B：由A知7；=〃(3〃+1),由2=(得〃=6〃-2,故B不正确.

\Tn-Tn_vn>2

2〃(〃i+a2〃)

一,S4n02(a.+a^„)

对于C：由口On=----=,J7、=」

Tn3"+1叫+])bx+bn

2

Sin4x52(〃i+〃in)52(a.+a.)/、

所以>y77-7：丁力:所以4v%4+%z/)=5即J故C正确.

T53X5+1bx+b542Z?3

2〃(q+%)

Szn=4〃=2=2(q+%〃)

对于D：

Tn3〃+l叫+。〃)bx+bn

2

2x7(%+%)

斫ri=4x7______2_____=2(4+%)=2(%+%)=%+%』＜2,故D不正确

以T]一3x7+1-7(2+伪)

4+22b4。411

2

12.BCD

A：因为S6=S7>S8，所以邑一£=%=。，§8-S7=。8<。，

所以［=4-%<（）,故A错误；

B：由A的解析可得B正确；

C：因为S5<S6，S6=S7>S8,所以$6与S7均为S”的最大值，故C正确；

D：因为2%=。］+。13，由Si3=13（q；%3）=0,九:14（〃；％）=7（%+/）<0,

故D正确；

13.1

a3+2a6=q+%+%=3%=3,故〃5=1.

故答案为：1.

14.-

3

因为等差数列｛厮｝和｛配｝的前«项和分别为S,和T,,

故可设S十n获+r3"kn（n+3｝（z3、），

所以S“=kn(n+3),Tn=kn(n-l),k^O,

所以.一n—岂_12左—6左一获一§・

4

故答案为：—.

15.8

设等差数列｛4｝有奇数项上+1项，（ZwN*）,偶数项为左项，公差为d.

，・,奇数项和为40,偶数项和为32,「.40=4+%+...+%t+i，32=出+/+•••+，

...4。/+吗+-）=（〃+"32=检3="

22

40"+1

即《=中，解得：左=4

32k

即等差数列｛%｝共9项，且与=y号力包=9%=72

「.。5=8

故答案为：8

7

16.(-1--)

O

[7+7c/>07

由题意得：6>0,%<0,所以，,…解得),

[7+8od<08

故答案为：(―L-g)-

17.⑴%=3"-27

(2)-108

(1)解：设等差数列｛。“｝的公差为d,

fti.+2d=—18

由。3=T8,S2=5a6,可得Iyj、，解得％=-24,4=3,

[2%+a=5(%+ja)

所以数列｛4｝的通项公式为%=%+(，Ll)d=3"-27.

(2)解：由(1)知d=3,可得数列｛4｝为递增数列，且为=3x9-27=0,

所以当14〃48,〃cN*时，。“<0；当〃=9时，佝=。；当〃N10,〃EN*时，an>0,

所以，当"=8或9时，S,取得最小值，即Sg=Sg=9(%；%)=_io8,

所以S"2-108,故S”的最小值为-108.

18.(1)数列｛为｝的通项公式为4="；

(2)数列色｝的前20项和盘为77簧05.

(1)因为｛%｝为等差数列，且g与a的等差中项为5,

所以。2+