甘肃省嘉峪关市某中学2024-2025学年高二年级下册开学考试数学试卷（含答案）

嘉峪关市酒钢三中2024-2025学年第二学期开学考试

高二数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知椭圆43,则下列各点不在椭圆内部的是（）

A.（1,1）B.（72,-1）

C（收/D.即

【答案】C

【解析】

【分析】根据点和椭圆位置关系的判断方法，分别把点的坐标代入椭圆方程的左侧部分，计

算其数值大于1的点即为答案.

【详解】由椭圆方程为C:工+匕=1,

43

117

因为4+]=五<1，所以点（1」）在椭圆内部，A错误；

因为—I—=—<1,所以点（、历,-1）在椭圆内部，B错误；

436

227

因为—I—二一>1,所以点（J5,、旧）在椭圆外部，c正确;

436

j.

因为4+1=上<1,所以点在椭圆内部，D错误.

4348

故选：C.

2.在等差数列｛4｝中，若％=23,%=32,则46=（）

A.195B.196C.197D.198

【答案】C

【解析】

【分析】利用等差数列的通项公式求解.

【详解】解：方法一：设等差数列｛%｝的首项为外,

1/16

a1+7d=23,%=2,

公差为d,则4解得《

[2+102=32,d=3.

所以%=2+3（〃-1）=3〃一1,

所以46=3x66—1=197.

方法二：设等差数列｛4｝的公差为d,

则4=包*=生生=3.

11-83

。66=a\\+（66-11"=32+55x3=197.

故选：C

3.已知点4(—3,1),5(1,-3),则以线段48为直径的圆的方程为()

A.(x-l)-+(y-1)一=8B.(x+1)-+(y+1『=8

C.(x-1)2+(>-1)2=32D.(x+l)2+(j/+l)2=32

【答案】B

【解析】

【分析】根据48为直径得到圆心坐标和半径，然后求圆的方程即可.

(-3+11-31

【详解】由题意得圆心为心一,三一,即(—-1)，半径「

所以圆的方程为(x+l『+(y+l)2=8.

故选：B

4.已知数列｛?｝满足：%=9,%+1-%=2〃，则％=()

A.19B.21C.23D.25

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用累加法求通项即得.

【详解】在数列｛%｝中，/=9,an+l-an=2n,

所1以%=q+（%—%）+（，3—2）+（“4—。3）=9+2+4+6=21.

故选：B

2/16

5.若｛扇瓦可构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是（）

A.a+b,a-b,aB.a+b,a-b,bC.a+b,a-b,b+cD.

a+b,a+b+c,c

【答案】C

【解析】

【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】对于A,Z=；［口+可+口—矶，因此向量Z+共面，故不能构成基

底，故A错误；

对于B,区=g［（a+B）-（口一可］,因此向量共面，故不能构成基底，故B

错误；

对于C,假设向量a++c共面，贝！|瓦+c=X（a+B）+〃（a—3），

即"=（X+〃）Z+（X-1肪，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C正确；

对于D,（2+3）+1=G+B+e,因止匕向量1+B,G+B+己己共面，故不能构成基底，故D

错误；

故选：C.

6.圆_?+/_4x=0在点尸（1,道）处的切线方程为（）

A.x+A/3JV_2=0B.x+y［3y—4=0

C.x—A/3jv+4=0D.x—y/iy+2=0

【答案】D

【解析】

【分析】容易知道点尸（1,8）为切点，圆心（2,0）,设切线斜率为左，从而

由此即可得解.

【详解】将圆的方程—+72—4x=0化为标准方程得（x—2『+/=4,

•.•点尸（1,、回）在圆（x—2『+_/=4上，.•.点尸为切点.

3/16

从而圆心与点P的连线应与切线垂直.

又♦.•圆心为（2,0）,设切线斜率为怎

.•.纪a.后=—1,解得左=立.

2-13

切线方程为x—Gy+2=0.

故选：D.

7.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到

外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知V48c的

顶点5（—1,0）,C（0,2）,AB=AC,则V48C的欧拉线方程为（）

A.2x+4y-3=0B.2x+4y+3-0

C.4x-2y-3=0D.2x-4y-3=0

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意得出V48C的欧拉线即为线段的垂直平分线，求出线段的垂直

平分线的方程即可.

【详解】因为V4BC的顶点5（—1,0）,C（0,2）,

所以线段8C的中点坐标为[一g，1]，线段8c所在直线的斜率kBC=|言=2,

所以线段8C的垂直平分线的斜率左=

2

则线段BC的垂直平分线的方程为N—1=—g1%+g]，即2x+4〉—3=0,

因为=所以VZ8C的外心、重心、垂心都在线段的垂直平分线上，

所以VABC的欧拉线方程为2x+4y-3=0.

故选：A.

8.已知实数x,＞满足：（X-1）2+V2=3,则上的取值范围为（）

X+1

A.[-V3,V3]B.[-2V3,273]C.[—号，予D.

4/16

r2V32后

I-----，----I

33

【答案】A

【解析】

【分析】确定圆心和半径，将题目转化为点(xj)和点2(-1,0)直线的斜率，画出图像，计

算角度，计算斜率得到答案.

【详解】(x—1)2+/=3表示圆心为M(l,0),半径R=G的圆，

后=上表示点(xj)和点2(-1,0)直线的斜率，

X+1

如图所示：直角△4DM■中|蜀4=2,|。叫=氏=百，故sin/D4M=等，

故ND4M=；,同理可得=对应的斜率为6和—JL

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0

分.

9.已知空间中三个向量通=(2,1,0),AC=(-1,2,1),5C=(-3,l,l),则下列说法正确的

是()

5/16

A.容与/C是共线向量

B.与益同向的单位向量是

C.就在方方向上的投影向量是(-2,-1,0)

D.平面N3C的一个法向量是(1,-2,5)

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用空间向量共线判断A；求出同向单位向量判断B；求出投影向量判断C；由法

向量的意义判断D.

2=—A

【详解】对于A,AS=(2,1,0),*=(—1,2,1),设方=2左，则得<1=22,显然

0=4

无解，

故益与农不是共线向量，A错误；

对于B,与在同向的单位向量是^^~=^L(2,l,0)=(2些,、5,0),B正确；

|48|J555

—■-5

对于C,前在存方向上的投影向量为^^^28=丁丁(2,1,0)=(-2,-1,0)"正确；

\AB|2(右了

对于D,(1,-2,5).(2,1,0)=0,(1,-2,5)-(-1,2,1)=0,即坐标为(1,—2,5)的向量，

与万、质1都垂直，因此平面45。的一个法向量是(1,一2,5)，D正确.

故选：BCD

XV

10.已知直线一+上=1经过第一、二、三象限且斜率小于1,那么下列不等式中一定正确的

ab

是()

A.\a\>\b\B.y/^a>y/b

C.(b-a)(b+a)>0D.—>—

ab

【答案】AB

【解析】

6/16

【分析】根据题意，得到a<0<6<-a,结合绝对值的性质，幕函数的单调性，以及不等

式的性质，逐项判定，即可求解.

【详解】因为直线二+2=1经过第一、二、三象限，可得。<0,b>0,

ab

由直线的斜率小于1,可得0<—2<1,结合a<0,可得a<0<6<—a,

a

由绝对值的性质，可得同>同，所以A正确；

由幕函数y=J1的单调性，J工〉J3，所以B正确；

由6-。>0/+。<0,所以（6-。）（6+。）<0,所以C错误；

由一<0,—>0,所以一<：,所以D错误.

abab

故选：AB.

11.已知数列｛aj,下列结论正确的有（）

A.若q=2,%+]=%+〃+1,则。20=211.

B.若q=l,+2,贝I」％=1457

C.若s“=3〃+；,则数列｛%｝是等比数列

2a/、2

D.若%=1，a“+i=丁」（neN*）,则%=77

【答案】AB

【解析】

【分析】

直接利用叠加法可判断选项A,从而判断，利用构造新数列可求出B,D中数列的通项公式,

可判断，选项C求出数列的前3项从而可判断.

【详解】选项A.由%+i=%+,+1,即4+1-%=〃+1

则。20=（020一。19）+（。19一。18）+（48-％7）+....+（。2一/）+4

=20+19+18+…+2+2=211

故A正确.

选项B.由an+l=3%+2,得%+i+1=3（%+1）,

7/16

所以数列｛a“+1｝是以q+1=2为首项，3为公比的等比数列.

则4+1=2X3"T,即4=2X3"T—1,所以的=2x36—1=1457,故B正确.

117

选项C.由S=3"+—,可得当〃=1时，〃]=3H—=—

222

当〃=2时，得出=S2-S]=19+——（3+—=6,

当〃=3时，得%=53_52=127+：]_19+：]=18,

显然出2片4生，所以数列｛4｝不是等比数列，故C错误.

2a111

选项D.由%+1=7；----，可得---------=7

2+%%+1%2

所以数列是以1为首项，；为公差的等差数列.

I1I/1、〃+11161

所以一=1+7（"—1）=丁，则——=不=o8,即15=—，故D错误.

a”22,。卜28

故选：AB

【点睛】关键点睛：本题考查利用递推关系求数列的通项公式，解答的关键是掌握求数列通

项公式的常见方法，由叠加法可得

。20=（。20一。19）+（。19—。18）+（。18一%）+...+（。2-%）+%，利用构造新数列

/、111

a+1=3（%+1）,--------=5解决问题，属于中档题.

n+ian+lan幺

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知正项等比数列｛4｝的前〃项和为S",若昆=2，邑=10,则％=.

32

【答案】—

3

【解析】

【分析】用基本量法，求出首项％和公比q,再求名。

【详解】设首项外,公比4,易知4/1,

8/16

S2=4(1+q)=22

4

ax(l-^)，由于％均为正，..・<

J=—；------=1°

「q4q=2

4—

=axq

33

故答案为：--O

3

【点睛】本题考查等比数列的前〃项公式和通项公式，解题方法是基本量法，即由已知首先

求出首项外和公比4,然后再求通项公式和前〃项和公式。

13.已知直线4:加x+3y=2-掰，右：x+(〃?+2)y=1.若/J/4,则实数

【答案】-3

【解析】

【分析】根据两直线平行的条件列方程求解即可.

【详解】由题意可知掰W0且"--2,

因为直线4：祖％+3y=2'-加，l2;x+(m+2)y=1,且“/(，

所卡一2-m

1

由一二-----,得加2+2加—3=0，解得加=1或加=—3,

1m+2

m32—777

当加=1时，丝=一=—所以加刁舍去，

1加+21

当加=—3时，满足%=二一丝，

1m+21

所以加二一3,

故答案为：-3

14.过双曲线x2—j?=4的右焦点/作倾斜角为30。的直线，交双曲线于/,8两点，则弦

长|/@=.

【答案】8

【解析】

【分析】写出直线方程，联立双曲线方程，利用弦长公式求解即可.（也可以直接使用双曲

线焦点弦长公式代值求解）

【详解】由双曲线V—j?=4,得。=6=2,c=2五，

9/16

焦点为尸(2后,0),倾斜角e=3(r，

法一：直线斜率左=?，直线方程为x=G歹+20,

x2—y2=4厂

联立＜，l消x得，/+2V6y+2=0,

x=V3y+2V2

由韦达定理知,%+%=一2",

y^2=2

代入弦长公式|4S|=^l+p-|ji-J2|=2^/(%+%)2-4%%，

^\AB\=2J(-2府-4X2=8.

|JD|_2ab2_2x2x4_

法一以止产…―一登

4

故答案为：8.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

15.在等比数列｛%｝中.

(1)若an=1642,Sn=11V2,求〃和4；

(2)已知84=1,58=17,求知.

【答案】(1)n=59q——2.

(2)%」.21或%=」(-2尸

"155

【解析】

【分析】(1)(2)由等比数列通项公式和前〃项和公式列方程组求解即可.

【小问1详解】

由川="—"""="L得11后二行一骁岛,解得q=-2,

\-q1-q\-q

又由%=%/T得160=JL(—2)〃T，解得〃=5.

10/16

所以〃=5,q=-2.

【小问2详解】

显然则$4=融二心=1,58=-Su,

\-q1-q

两式相除得二^=1+/=17,解得q=±2,

i-q

9=2时可解得％=：,则%nA.2”-；

q=_2时可解得q=_：,则%=_：.(_2)〃T.

所以%=-•2"T或%=_L(_2)i

"155

16.已知等差数列｛%｝的前〃项和为5“，%=2,3=26.正项等比数列也｝中，4=2,

力2+4=12.

(1)求｛%｝与也｝的通项公式；

(2)求数列｛4〃｝的前〃项和北.

【答案】(1)%=3〃—1,b“=2"

(2)7；=(3n-4)2n+1+8

【解析】

【分析】(1)根据等差数列和等比数列的通项公式即可求的通项公式.

(2)利用错位相减法整理化简即可求得前〃项和7；.

【小问1详解】

等差数列｛4｝的前〃项和为S“，%=2,8=26,设公差为d

4x3

所以4x2+——d=26,解得d=3

2

所以%=%—=2+3(〃-1)二3〃一1

正项等比数列出｝中，。=2,打+4=12,设公比为q

所以2(q+/)=12,所以12+q一6=0

11/16

解得2,或q=-3（舍去）

所以2=2"

【小问2详解】

由⑴知：anbn=（3〃-1）2"

所以7；=2x2/5x22+…+（3〃—1）2"

2北=2x2?+5x23+…（3〃-4）2"+（3〃-1）2,,+1

两式相减得：—北=2x2i+3x22+3x23+i+3x2"—（3〃—l）2"+i

3x22x（l-2n-1'）

=2x2'+------------------'―（3H-1）2'用=（4-3«）2'河-8

,,+1

Tn=（3??-4）2+8

17已知直线/:*+2^-1=0和点2（1,2）

（1）求点A关于直线/的对称点的坐标；

（2）求直线/关于点A对称的直线方程.

r答案】⑴

（2）x+2y-9=0

【解析】

【分析】（1）根据点关于线对称列式求解即可；

（2）根据相关点法分析运算即可

【小问1详解】

n-2xf--^=-l\m=--

,解得,

设由题意可得＜m1l

m+1〃+26

+2x-------1=0n=~~

[22L5

所以点H的坐标为[一.

【小问2详解】

12/16

在对称直线T上任取一点P（x,y）,设P（x,y）关于点A的对称点为P'（x0,y0）,

7-fx=2-x

则<,解得｛n），

4

Jo+y_2[y0=-y

,2-

由于P'（2—x,4_y）在直线x+2y_l=0上，则（2—x）+2（4_y）_l=0,即

x+2y—9=0,

故直线/关于点A的对称直线V的方程为X+2〉-9=0.

18.如图，在四棱锥尸—48C。中，2。（160=0,底面/5。。为菱形,边长为2,产。，区0,

PA=PC,且N48C=60°，异面直线网与CO所成的角为60°.

（1）求证:POJ_平面/BCD;

（2）若£是线段。。的中点，求点£到直线BP的距离.

【答案】（1）证明见解析

⑵3

2

【解析】

【分析】（1）根据线面垂直的性质定理、判定定理证明；

（2）利用空间向量的坐标运算，求点到直线的距离.

【小问1详解】

因为四边形Z8CD为菱形，所以

因为尸PCn/C=C,尸C,ZCu平面4PC,

所以平面4PC,

因为尸Ou平面4PC,所以

因为R4=PC,。为ZC中点，

所以PO_L/C,

13/16

又因为/。八80=。/。,5。<=平面ABCD,

所以00,平面ABCD.

【小问2详解】

以。为原点，。民0cop方向为x,，z轴方向，建系如图,

因为4B//CD，所以ZPBA为异面直线PB,CD所成的角,

所以/尸氏4=60°，在菱形45CD中，AB=2,

因为N4BC=60°，所以。4=1,05=6,

设P0=a,则尸/=yla2+l,PB=6+3，

在△PBA中,由余弦定理得，PA2=BA-+BP2-2BA-BP-cosZPBA>

所以a2+i=4+q2+3_2ja2+3,解得。=指，

所以Z(0,—1,0),5(V3,0,0),C(0,1,0),P(0,0,V6),E(0,1,0),

uuriuuriuur/p.uur

BE=(-V3,-,0),BP=(-V3,0,V6),=%,、BP=3,

(uurV

uur2uurBP

所以d二BEBE-iuur.

3

所以点E到直线BP的距离为一.

2

22(31、

19.已知椭圆C：^+^=l(a>b>0)的焦距为2正，且过点I.

(1)求椭圆的方程;

14/16

（2）在椭圆C上找一点P,使它到直线/：x+y+4=0的距离最短，并求出最短距离.

2

【答案】（1）土+/=1