海南省四校联考2025届高三年级下册数学试题（含答案与解析）

机密★启用前

海南中学、海口一中、文昌中学、嘉积中学

2025届IWJ二联考试题

数学

时间：120分钟满分：150分

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本

试卷上无效.

第I卷（选择题，共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

则A"=()

A.B.[-2,2]

C{0,2}D.{-2,0,2)

i是虚数单位，则复数且

2.的虚部为（

1-1

A.3B.-3C.3iD.-4i

rr

3.已知是单位向量，若aJ_(a+30)则a-b=()

2^68

A.272B.C.8D.-

亍3

4.如图是某年第一季度五个省GDP的情况图，则下列陈述正确的是

8000

12%

7000

、

1O*

6000%

只8w

Z5000

五

辍40006

要

卡W

M30004

叵

2000册

2

1OOo

出

O0山

宁

辽

浙

东

江

南

山

河

苏

江

匚二I累计数—一与去年统计相比增长率

①该年第一季度GOP总量和增长率均居同一位的省只有1个；

②与去年周期相比，该年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长；

③去年同期的GOP总量位于前三位的是山东、江苏、浙江；

④去年同期浙江的GD尸总量也是第三位.

A.①②B.②③④C.②④D.①③④

5.若a=log36,6*=18.贝Ua6-log32=()

A.1B.-1C.2D.-2

6.设双曲线C：=—4=1(。＞0)＞0)的右焦点为为坐标原点，以。尸为直径的圆与双曲线的两

条渐近线分别交于(除原点外)A3两点，若=则双曲线C的离心率为()

A.4B.2D.V2

（30+«）=|＞且0＜。＜90，贝Utan（30

7.已知cos+a卜in2（60_a）-cos（150-。）=（）

3+V23+272

A.B.

99

3-03-20

C.D.

9~9

8.已知函数/(X),g(x)是定义在R上的函数，其中/(%)是奇函数，g(x)是偶函数,且

/(%)—g(x)=—G：2+3X—1.若对任意1＜%＜马＜2,都有g(?：：(—)〉—3,则实数。的取值范围是

()

A.[-8,一工[0,+ooB.(O,+a)

C.D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数〃x）=2sin12x+j+l+7n在区间0,-|上的最大值为4,则下列说法正确的是（）

A."%）的最小正周期为1B.m=l

C.点（-三,2］是/⑴图象的一个对称中心D.7⑴在区间-三二上单调递减

V127|_36_

an当〃为偶数时

10.若数列｛〃〃｝满足：。〃+1=<2'〃'已知。4=1，则邑=（）

。〃-3,当为为奇数时

A14B.15C.17D.18

11.如图，透明塑料制成的长方体容器—AdGA内灌进一些水，已知5C=8,CD=35

A4,=872,当底面A3CD水平放置时，水面位置满足：尸4=1：3,容器内有水部分的几何体体积

是V,下列命题正确的是（）

A.固定容器底面一边3c于地面上，将容器倾斜，有水的部分始终呈棱柱形

B.固定容器底面一顶点B于地面上，将容器倾斜，有水的部分可能是三棱锥

C.体积为V,高为40的圆锥不能放在半径是3a的球体内

D.体积为V正方体可以在轴截面为正三角形且底面半径为3帽的圆锥内任意旋转

第n卷(非选择题，共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

13

12.数列｛4｝,也,｝都是等差数列，且勾=一，4=5，^2025+%25=18.则数列｛«„+2｝的前2025项

22

的和是.

13.设点厂是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，过抛物线上一点p作其准线的垂线，垂足为Q,已知直线

e。交了轴于点4(0,2),且△PQF的面积为8,则该抛物线的方程为.

14.将标号为110的10个小球装入两个不同的盒子，使得每个盒子都有球，有种不同的装法；当

两个盒子的球数相等时，从两个盒子中不放回地各取一球，记下两球球号之积，重复上述操作，直至取

完，则所有积之和的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知"c分别为VABC三个内角A&C的对边，且bcosC+屉sinC—a—c=0.

(1)求5；

(2)若8=4,VABC面积为4君，。为AC边上一点，满足AC=3AO.

①求VA3C的周长；

②求6。的长.

16.已知函数/(x)=lnx—ax.

(1)当a=—l时，曲线y=/(x)在点(1,1)处的切线与曲线y=如2+(加+2)%+1(相片0)相切，求实

数优的值；

(2)函数/(x)<a—2恒成立，求实数a的取值范围.

17.如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为菱形，ZADC=6Q°,PA±PC,PD=AD=2.

(1)证明：5D1平面PAC；

(2)若K4<PC,四棱锥尸-A3CD的体积为1,求平面A钻与平面尸CD夹角的余弦值.

18.某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人，它结合了人工智能、语音识别、互动娱

乐和教育等内容，且云端内容可以持续更新，旨在通过趣味性和互动性帮助孩子学习和发展.萌宠机器人一

投放市场就受到了很多家长欢迎，为了更好的服务广大家长，该公司对萌宠机器人的某个性能指数

x[O<x<10）与孩子的喜爱程度y（O<y<1）进行统计调查，得到如下数据表:

X56789

y0.550.500.600.650.70

（1）请根据上表提供的数据，通过计算变量无，丁的相关系数r,回答是否可以认为该性能指数与孩子的喜

爱程度相关性很强（当W«0.75,l]时，X与y相关性很强）；

（2）机器人的交互性很强，孩子可以通过输入语音给机器人发布执行指令.机器人执行命令的正确率为

90%,出错率为10%.当机器人正确执行命令时，使用者满意的概率为80%；当机器人执行出错时，使用

者满意的概率为30%.如果使用者对某次命令执行结果表示不满意，求机器人实际正确执行命令的概率是

多少？

（3）该公司科技人员小李想挑战萌宠机器人，他和机器人比赛答题，他们每人答4个题，若小李答对题

数不小于3,则挑战成功.已知小李答对前两道题的概率均为P],答对后两道题的概率均为P2.假设每次答

3

题相互独立，且互不影响，当Pi+P2=]时，求小李挑战成功的概率的最大值.

一（%•-元）（%-歹）

参考公式：相关系数厂汩〃--------------■

k（^^）2t（y，-y）2

Vi=li=l

22（3\1

19.已知上下顶点分别为AB椭圆E：L+上=1经过点彳,1,P为直线/：y=一上的动点，且P不在

m4U）2

椭圆E上，外与椭圆E的另一交点为CP3与椭圆E的另一交点为。均不与椭圆E上下顶点重

合）.

（1）求椭圆E的方程；

（2）证明：直线过定点；

（3）设（2）问中定点为Q,过点分别作直线/:y=g的垂线，垂足分别为记△CM。，

AMNQ,-DNQ的面积分别为S2,S3,试问：是否存在常数f,使得跖，外2，S3总为等比数

列？若存在，求出/的值；若不存在，说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

]已知集合A={尤I尤=2匕keZ},5={%]—2<x<2},则AfB=()

A.[-1,1]B.[-2,2]

C.{0,2}D.{-2,0,2)

【答案】D

【解析】

【分析】

根据集合的交集的概念及运算，即可求得AcB,得到答案.

【详解】由题意，集合A={x|x=2左/eZ},3={x[—2<x<2},

根据集合的交集的概念及运算，可得A5={-2,0,2}.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合交集的概念及运算，属于基础题.

2.i是虚数单位，则复数旦的虚部为()

1-1

A.3B.-3C.3iD.-4i

【答案】A

【解析】

【分析】对复数且进行化简，然后利用虚部的定义进行求解

1-1

6i6i(l+i)/、

【详解】二一=八L、=3i(l+i)=_3+3i,故虚部为3,

故选：A.

tr

3.已知a,。是单位向量，若a_L(a+3。)，贝!J=()

A.2-72B.C.8D.-

33

【答案】B

【解析】

【分析】根据求出。小，然后卜—0=Ja，—2a力+.2求解.

【详解】a-L（a+3Z?）a[a+3b\=Q,即a+3a-b=0,:.a-b=-—,

故选：B.

4.如图是某年第一季度五个省GOP的情况图，则下列陈述正确的是

8000

12%

7000

、

1O*

6000%

只8w

Z5000

五

辍40006

要

卡W

M30004

叵

2000

26

1OOo

都

O0卸

宁

辽

浙

东

江

南

山

河

苏

江

匚二I累计数—一与去年统计相比增长率

①该年第一季度GOP总量和增长率均居同一位的省只有1个；

②与去年周期相比，该年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长；

③去年同期的GOP总量位于前三位的是山东、江苏、浙江；

④去年同期浙江的GZJP总量也是第三位.

A.①②B.②③④C.②④D.①③④

【答案】B

【解析】

【分析】根据柱状图和折线图可判断①②的正误，利用表中数据计算后可判断③④的正误.

【详解】①2017年第一季度GQP总量和增速均居同一位的城市有2个，江苏和河南，分别居第一位和第

四位，故①错误；

②由折线图可得与去年周期相比，该年第一季度五个省的GQP总量均实现了增，故②正确；

③浙江去年同期的GDP总量为坐红标4484.12,

1+3.3%

江苏去年同期的G0P总量为-^匣2-土6037.39,

1+10.2%

40674

河南去年同期的G0P总量为-----—«3815.57,

1+6.6%

64693

山东去年同期的G0P总量为------«6046.07,

1+7%

辽宁去年同期的G0P总量为当空■土2410.77,

1+9.6%

故去年同期的G£＞尸总量前三位是山东、江苏、浙江，故③正确；

④由③中计算可得2016年同期五省的GZ）尸总量，浙江的GDP总量也是第三位，故④正确.

故选：B.

5.若a=log36,6*=18-贝Ua6-log32=（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】C

【解析】

【分析】先由6"=18,得匕=log618,进而结合对数的运算性质求解即可.

【详解】由66=18，得。=log618,Xa=log36,

所以"-厩2=log36-log618-log32=log36'（log66+log63）-log32

=log36—log32+l=log33+1=2.

故选：C.

22

6.设双曲线C：・—2=1（。〉0）〉o）的右焦点为”o为坐标原点，以。咒为直径的圆与双曲线的两

条渐近线分别交于（除原点外）两点，若|AB|=后,则双曲线C的离心率为（）

A.4B.2C.百D.夜

【答案】D

【解析】

【分析】法一：根据题意写出以OF为直径的圆的方程，与双曲线的渐近线方程联立求得点的纵坐标,

再根据|AB|=J为求解;

法二：根据题意写出点A的坐标，得出各边长，在Rt_A0E中利用勾股定理得到等式，化简即可求得离心

率.

b

【详解】法一：由题意，双曲线的渐近线方程为y=±—%,设双曲线。的焦半径为

a

以。咒为直径的圆的方程为：（x—+/=；，即Y-cx+y2=o,

x2-cx+y2=0

，解得y=或，即点A3的纵坐标分别为数，--

联立《b

y=-xC

a

所以M却=子

=y[2b,可得c=J5a，所以离心率e=£=VI

a

bi—

由题意，双曲线的渐近线方程为y=±—x,如图，由口目=四，可得A

a

设双曲线c的焦半径为c,即|OP|=c,取o尸中点。，连接AD,则|AD|=|OD|=；,

贝|]|/=：一,。

设A3与x轴垂直于点E,

(c0Yc

在Rt-ADE中，IAEF+IOE-TAPF，即----b+，化简可得C=0a，所以

12J122J

离心率e-3

a

故选：D.

7.已知cos(30+«)=|,且0<a<90,贝!|tan(30+a卜in?(60-a)-cos(150-a)=()

口3+2应

D.--------------------

9

3-V23-20

9-9~

【答案】B

【解析】

【分析】先根据々的范围，求sin（30+«）,再利用诱导公式化简sin（60—a）、cos（150-ct）,即可求

得.

【详解】因0<a<90，贝U30<30+夕<120，

因cos（30+&）=；,贝!）sin（30+a）=2f,

因sin（60—a）=sin190-（30+a）］=cos（30+a）,

cos（150-tz）=cos［180-（30+tz）］=-cos（30+tz）,

则tan（30+«^sin2（^60-a）-cos（150-a）

=tan（30+a）cos?（30+a）+cos（30+a）

=sin（30+a）cos（30+a）+cos（30+a）

2V2112V2+3

=-----x——।——=----------

3339

故选：B

8.已知函数〃x）,g（x）是定义在R上的函数，其中"%）是奇函数，g（x）是偶函数，且

/(%)—g(x)=—a?+3x—1.若对任意1<%<尤2<2,都有乳为)一♦(/)>—3,则实数a的取值范围是

[0,+oo）B.（0,+e）

3

—,+co

4

【答案】C

【解析】

【分析】先根据函数奇偶性求g(£)的解析式，再由g("J：g(")〉—3转化为g(xj+3%<g(%2)+3x2,

玉一工2

设//(x)=g(x)+3x=依2+3x+1,由在(1,2)上单调递增求参数的取值范围.

【详解】由题意，/(-x)=-/(x),g(-x)=g(x),

因为/(X)_g(%)=_+3x—1,所以/(—x)—g(—%)=__3x_1,即有

—f(x)-g(x)=-ax2-3x-l,

两式相加可得，g(x)=ax2+l.

因为g(~)―8伍)〉_3,i<<%2<2,所以8(石)+3%<8(%2)+3%2，

设/z(x)=g(x)+3x=加+3x+l,所以/i⑺在(L2)上单调递增，

a<Qftz>0

所以13或a=0或133

,解得—<。<0或〃=0或〃>0,

---->2——-<14

、2aI2(2

3

所以，a>—.

4

故选：C.

二、选择题：本题共3小题每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/(x)=2sin[2x+qJ+l+机在区间0,-上的最大值为4,则下列说法正确的是()

A.7(尤)的最小正周期为1B.m=l

C.点]展,21是图象的一个对称中心

D.7(%)在区间-上单调递减

|_36

【答案】BC

【解析】

【分析】根据正弦函数的图象与性质，逐项判断即可

2九

【详解】选项A,/(九)的最小正周期丁=耳=兀，故A错误；

兀人c71兀7兀（八7兀1]1

选项B,由无£0,—,知+，所以sm2%+:£一，所以“力的最大值为

_2,6666\6J22

3+m,而3+m=4得m=1,故B正确；

TTKTTTT

选项C,令2x+—=E，左eZ,则兀=-------,keZ,所以/（九）图象的对称中心为

6212

1万一五,2],%€Z,所以点（一五,21是图象的一个对称中心，故C正确；

兀兀_.兀兀兀/\兀兀

选项D,由工£—得+——，所以/（%）在一彳，"^上单调递增，故D错误.

_3oJ6|_22J|_3o_

故选：BC.

10.若数列｛。“｝满足：4+1=<2,当""为偶数时'已知%=1，则S4=（）

«„-3,当《，为奇数时

A.14B.15C.17D.18

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用递推关系逐个求解。3，。2,4,求和即可.

【详解】因为。4=1，所以%=2,由%=2可得。2=4或。2=5；

若为=4,则1=8或q=7；

若4=5,贝!]q=10；

所以S4=15或14或18.

故选：ABD

n.如图，透明塑料制成的长方体容器ABC。—A4GA内灌进一些水，已知3C=8,CD=30，

M=872,当底面ABCD水平放置时，水面位置满足=1:3,容器内有水部分的几何体体积

是V,下列命题正确的是（）

A.固定容器底面一边3C于地面上，将容器倾斜，有水的部分始终呈棱柱形

B.固定容器底面一顶点8于地面上，将容器倾斜，有水的部分可能是三棱锥

C.体积为V,高为40的圆锥不能放在半径是3夜的球体内

D.体积为V的正方体可以在轴截面为正三角形且底面半径为3后的圆锥内任意旋转

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据棱柱的定义可判断A选项；计算出三棱锥的体积，比较V和三棱锥3-体积

的大小，可判断B选项；计算出圆锥的外接球半径R,比较R与3&的大小，可判断C选项；计算出圆锥

的内切球半径和正方体的外接球半径，比较大小后可判断D选项.

【详解】对于A选项，由棱柱的特征：有两个平面时相互平行且是全等的多边形，

其余每相邻两个面的交线也相互平行，而这些面都是平行四边形，故A正确；

对于B选项，因为水面位置满足=1:3,

则V=—V也=—x8x3^3x8>/2=48A/6,

因为Vg-ABC=—S,BB]=一x—xABxBCxAA1=—x3>/3x8x8^2=32-^6,

13326

所以,VB-A51c<V,

所以，将固定容器底面一顶点B于地面上，将容器倾斜，要使得有水的部分呈三棱锥，

则需水的体积不超过三棱锥A4c的体积，但%矛盾，B错；

Di

Q

D

c

B

1厂厂36月

对于c选项，设圆锥的底面半径为厂，则V=3"2x4迎=48斯，可得/

兀

设圆锥的外接球半径为A,由勾股定理可得r+k应-R『=R2,解得R=21^2,

II8V2

36出

因为R-3G--3上=-=^t^±E〉o即R>372，

8V28V28V22V27T

所以，体积为V,高为4虚的圆锥不可以放在半径为3a的球体内，C对；

对于D选项，设轴截面为正三角形且底面半径为3#的圆锥的内球半径为4，

则可为正三角形内切圆的半径，正三角形的面积为S=gx(6jG『xsin60=54石，

又因为S=g4x3x6n=546，解得弓=3、/5,即圆锥的内切球半径为4=3J5,

设正方体的棱长为。，则/=v=48面，解得a=2#，

设正方体外接球半径为马，则2G=扃=6攻，解得5=3底=4，

所以，体积为V的正方体可以在轴截面为正三角形且底面半径为36的圆锥的内切球内任意旋转,

故体积为v的正方体可以在轴截面为正三角形且底面半径为3n的圆锥内任意旋转，D对.

故选：ACD.

第n卷(非选择题，共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

13

12.数列｛4｝,也,｝都是等差数列，且勾=一，4=5，^2025+%25=18.则数列｛«„+2｝的前2025项

22

的和是.

【答案】20250

【解析】

【分析】分析易得数列｛4+%｝是等差数列，再利用等差数列前W项和公式求解即可.

【详解】因为数列｛an｝和｛d｝都是等差数列，

则。用一。〃与均为常数，

故an+l+bn+1-(an+bj=an+1-an+be-b“为常数,

所以数列｛。“+2｝是等差数列，

13

又因为。］二—,4=5，。2025+02025—18,则4+乙=2,

22

所以数列｛4+%｝的前2025项和为

S_2025(%+5+。2025+%25)_2。25(2+18)_20250

故答案为：20250.

13.设点厂是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，过抛物线上一点尸作其准线的垂线，垂足为Q,已知直线

/。交，轴于点4(0,2),且△尸。尸的面积为8,则该抛物线的方程为.

【答案】/=8x

【解析】

【分析】设结合抛物线的定义可得|PQ|=x0+g结合4(0,2)易得%=4,进而根据△PQb

的面积求出P=4,进而得解.

【详解】根据题意作出如图所示的图象:

w

其中，QE为双曲线的准线，且准线方程为X=/,PQLQE,A(0,2),

设P(x。,%)，则Q,合为］，|PQ|=x0+g

在△QEB中，。为所的中点，则A为QF的中点，即|。目=4,%=4,

VAPQF的面积为8,

二］Xo+微卜4=8,即％=4-g又为2=2〃％,

A42=2p^4--|^,解得p=4,

该抛物线的方程为/=8%.

故答案为：/=8x.

14.将标号为110的10个小球装入两个不同的盒子，使得每个盒子都有球，有种不同的装法；当

两个盒子的球数相等时，从两个盒子中不放回地各取一球，记下两球球号之积，重复上述操作，直至取

完，则所有积之和的最小值为.

【答案】①.1022②.110

【解析】

【分析】利用分步计数乘法原理结合反向排除法，再利用排序不等式中反序和最小，可分别求解.

【详解】将标号为工〜的10个小球装入两个不同的盒子，每个小球都有2种放法，所以总共有

2i°=1024种.排除10个小球都放入同一个盒子的情况，有2种.所以，使得每个盒子都有球，有

1024-2=1022种不同的装法.

当两个盒子的球数相等时，每个盒子有5个球，设两个盒子中的球号分别为q,4，。3,%，%和

b},b2,b3,b4,b5,且令q<出<%<%<%，bx<b2<b3<b4<b5,

根据排序不等式可知，反序和最小.

所以，所有积之和的最小值为+出仇+。34+。也，即1x10+2x9+3x8+4x7+5x6=110.

故答案为：1022；110.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知a,b,c分别为VABC三个内角A&C的对边，且bcosC+WsinC—a—c=0.

(1)求5；

(2)若匕=4,VABC的面积为46，。为AC边上一点，满足AC=3AO.

①求VA3C的周长；

②求BD长.

JT

【答案】(1)B=—

3

(2)①12；②BD=^-

3

【解析】

【分析】(1)结合正弦定理和三角形的内角和定理以及两角和与差的正弦公式，可求角B.

(2)①先根据三角形的面积公式及余弦定理求得a=c=4,可得VA3C为等边三角形，进而求得周长；

②根据余弦定理求

【小问1详解】

由bcosC+y/3bsinC—a—c=0,

根据正弦定理得，sinBcosC+A/3sinBsinC-sinA-sinC=0，

则sinBcosC+V3sinBsinC-sin(jB+C)-sinC=0,

则sinBcosC+A/3sinBsinC-(sinBcosC+cosBsinC)-sinC=0,

则百sin^BsinC-cosBsinC-sinC=0，

因为CE(0,兀)，所以sinCwO,

则Vising-cos6-1=0，BP2sinIB---1=0,

即又BG(O,71),

_.„7171八7L

则_6--=—,即_6二—.

663

【小问2详解】

①因为5AM=—acsinB=ac=4y/3，所以

△AABC24丫QC=16.

由余弦定理：b1-a1+c2-2accosB，

则16=a?+C?-ac，a2+c2=32>

所以a=c=4,即VA3C为等边三角形,

则VA3C的周长为a+Z?+c=12.

4

②由AC=34。，所以A£>=§,

在△A5£)中，由余弦定理得，

兀16417

BD92=AB92+AD92-2AB-AD-cos-=16+--2x4x-x-=16x-,

39329

所以如受

16.已知函数/'(X)=hit-分.

(1)当a=—l时，曲线y=/(x)在点(1,1)处的切线与曲线丁=初/+(加+2)X+1(WH0)相切，求实

数优的值；

(2)函数/(x)<a—2恒成立，求实数a取值范围.

【答案】(1)m=8

(2)(1,+co)

【解析】

【分析】(1)根据导数的几何意义求出曲线y=/(x)在点(1,1)处的切线方程为y=2x-1,再联立直线

y=2x—1与曲线y=7n/+(m+2)x+l(mw0)方程，利用根的判别式求解即可;

(2)由/(x)<a—2恒成立可得/(九)1mx<a-2,利用导数求解/(x)01ax,进而求解即可.

【小问1详解】

当。=一1时，f(x)=lnx+x,

则/，(％)=工+1,即/'(1)=1+1=2,

X

所以曲线y=/(%)在点(1,1)处的切线方程为y—l=2(x—1)，即y=2x-l,

y=2x-l

联立《得mx2+mx+2=0,

y=mx2+(m+2)x+l("zH0))

因为直线y=2x-l与曲线y=m>C+(m+2卜+1(加#0)相切,

所以△=7徨2一即徨=o,解得根=0(舍去)或〃z=8.

【小问2详解】

由/(%)<。一2恒成立，则/(x)1mx<。一2,

由/'(x)=hix—融，x>0,则/''(％)=!一a=~,

XX

当aWO时，r(%)>0,则函数“力在(0,+。)上单调递增，不满足题意;

当a>0时，令/'(x)>0,得0<x<L；令/''(力*；。，得x>1,

aa

所以函数八工)在(o,J上单调递增，在(：,+，!上单调递减,

则/(x)max=—]=—Ina—l<tz—2,即a+lnq_]>0,

设g(a)=a+lna—l,a>0,则g'(a)=l+L〉O,

所以函数g(a)在(0,+。)上单调递增，又g(l)=0,

所以a〉l,即实数。的取值范围为(L+8).

17.如图，在四棱锥尸―ABCD中，四边形ABCD为菱形，ZADC=60°,PALPC,PD=AD=2.

(1)证明：3D工平面PAC；

(2)若PA<PC,四棱锥尸-A3CD的体积为1,求平面A43与平面PCD夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)

65

【解析】

【分析】(1)根据已知条件求得各边长，利用勾股定理证得即尸。，应>,又有AC,5D,利用

线面垂直的判定定理证得结论；

(2)利用棱锥的体积公式求出高，建立空间直角坐标系，根据P£>=2以及？A<PC确定点P坐标，再利

用向量法求平面与平面间的夹角.

【小问1详解】

P

如图，设AC中点为。，连接P0,

四边形A3CD为菱形，ZADC=6Q°,AD=2,

.,.JLDC是等边三角形，AC=2,DO=y/3,

PA±PC,：.PO=-AC=1,

2

在△P£)(?中，PD=2,DO=®PO=\,即P£>2=QO2+PO2,所以即尸。，的.

又四边形ABCD为菱形，，人仁,台。，

AC±BD,PO±BD,ACcPO=O,ACu平面PAC,POu平面PAC,

.•.3D，平面PAC.

【小问2详解】

设四棱锥P-高为"则％sJSsX人/X；X2X2G=L解得人,

如图建立空间直角坐标系，以点。为坐标原点，以OD、oc所在直线分别为了、y轴，过点。作z轴1平

面ABCD，则A（0,-1,0）,C（0,1,0）,B（-A0,0）,D（A0,0）.

由(1)可知，3£>_Z平面PAC,Q5Du平面ABCD,...平面QAC_L平面ABCD,

所以设P0,私曰］则p°=j3+机2+［曰］=2,解得加=±g,

1(1拒、

因为以<PC,所以加=一彳，所以点尸0,--,^-.

222

设平面A4B的法向量“=(x1,y1,z1),

-u

则，取Z［=i,则％==—1,故勺=(一1,

-币X[+；X—孝4=0

设平面PCD的法向量为=(x2,y2,z2),

373

-%------z2=0

2.22

则

,取z2=A/3,则y2=1,%=~Y~，

6%+；为4=0

---A/3+73

4•%_3V65

cos(npn2

Mhl日叵/

3

所以，平面me与平面PCD夹角的余弦值为上上.

65

18.某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人，它结合了人工智能、语音识别、互动娱

乐和教育等内容，且云端内容可以持续更新，旨在通过趣味性和互动性帮助孩子学习和发展.萌宠机器人一

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