广东省广州市番禺区2023-2024学年高二年级下册期中考试数学试卷（解析版）

广东省广州市番禺区2023-2024学年高二下学期

期中数学试卷

1.2］、Z2互为共辗复数，4=l—i,贝lJz/Z2=（）

A.-2B.2C.2-iD.2+i

【答案】B

【解析】因为4=1—i,Z］、Z2互为共软复数，

：.Z2=1+1,所以Z/Z2=0_i）（l+i）=2.

故选：B.

2.己知等差数列｛%｝的前〃项和为S",且左一寺=6,则%-%=（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】D

【解析】由题意设等差数列｛%｝的首项、公差分别为q,d,

H——（2tZj+=—d=6,所以d=4,

从而由-4=3d=12.

故选：D.

3.将序号分别为1,2,3,4,5五张参观券全部分给甲，乙，丙，丁四人，每人至少1张,

如果分给甲的两张参观券是连号，那么不同分法的种数是（）

A6B.24C.60D.120

【答案】B

【解析】根据题意，分2步进行分析：

①、将连号的两张参观券分给甲，有1和2,2和3,3和4,4和5,共4种情况，

②、将剩下的3张参观券分给其他三人，有A；=6种分法，

则有4x6=24种不同的分法；

故选:B.

4.已知〃=匕°'/=1112.3,。=108（）85,贝ijmb,c的大小关系为（）

A.c<b<aB.c<a<b

C.a<c<bD.b<a<c

【答案】A

0-7

［解析】依题意，a=e>e°=1,0<Z?=In2.3<Ine=1,c=log085<log081=0,

故cvZ?va，

故选：A.

5.在棱长为行的正方体中，与其各棱都相切的球的表面积是（）

A.兀B.6兀C.4兀D.2兀

【答案】c

【解析】棱长为0的正方体的棱切球，其半径为面对角线的一半，即：r=l,

所以该球的表面积S=4兀/=4兀.

故选：C.

6.已知向量Z与另的夹角为g,且满足口=2,忖=1,则2在分上的投影向量为（）

1一一

A.1B.—C.aD.人

【答案】D

【解析】向量2在另上的投影为同〈osg,

向量方在5上的投影向量为同.200。力=x；5=5.

故选：D.

22

7.已知双曲线三—£=1（。〉0力〉0）的左、右焦点分别为耳，工，过耳作直线/与一

条渐近线垂直，垂足为M,/交双曲线右支于点N,取=4”而，则离心率0=（）

【答案】B

h

【解析】设片（一。，0）,不妨取其中一条渐近线丁=一一X,

由两直线垂直，斜率乘积为-1有，过耳的直线/的方程为丁=彳@+。）,

‘a2ab'

联立上述两直线可求得点M的坐标为-一,

Vcc）

---------->4-cib

因为£N=4耳则川=4丁”，故％二---，

(3c2-4a24m

由直线/的方程为y=E（x+c）得N点坐标为，，

C7

因为点N在双曲线上，所以(3。2-4矿)16、

a2c2c2

化简得9c2=25/,故e=£=J至=3,故A,C,D错误.

a\93

故选：B.

8.已知若函数/(%)=优1!1。一"有两个不同的零点，则。的取值范围是

)

【答案】B

ie

【解析】由题意/'(x)=a、(lna)2—e,令/'(%)=淖(Ina)~9—e=0,得/=log,,伽

1e9

当x<loga(lna)2时，f'(x)=ax(\na)-e>0,此时单调递增，

当x>log“0na)2时，/，(x)=«v(ln«)--e<0,此时/(x)单调递减，

故当％=X0=108〃(［何)2时，/(x)有最大值，

而/(%)=优ln〃—ex=xlna-e,

kx

faV\

由此可知当％f+00时，/(x)=x——ln〃—eT►-a?,当％f—oo时，

I%7

(x\

/(x)=x----Intz-eT-8,

I%)

若函数/(x)="lnQ—ex有两个不同的零点，

结合零点存在定理可知/(%)的最大值

/、e

bln

/(^0)=«'«ex°=elog2=log

Ina(Ina)

2

=elogfl(lna)>0,

又0va<l,

所以(inaj<i,ina<0,所以l-(lna)2>0,

解得一l<ln〃vO,

所以即a的取值范围是

故选：B.

9.在(1-3x)”(〃eN*)的展开式中，二项式的系数和为256,则下列说法正确的是()

A.〃=8

B.展开式中各项系数和为256

C.第4项的二项式系数最大

D.展开式中所有系数的绝对值的和为48

【答案】ABD

【解析】由二项式定理可知，二项式系数之和为2〃=256,解得〃=8,A选项正确;

令x=l,得(1—3『=(—2?=256,B选项正确;

〃=8时，的展开式共9项，二项式系数最大的项为第5项，C选项错误；

828

(1-3x)=a0+arx+a2xH—aix,则%,%,%,%为负数，/，＞%，46

%为正数，故展开式中所有系数的绝对值的和为

+•••+]%—4+%—生+。4-%+。6—%+4，

88

令％=-1,得同+|q|d---l-|«8|=(l+3)=4,D选项正确;

故选：ABD.

=sin2x+sin12x+m)+sinI2x+27r

10.已知函数/(x)，贝I()

A.7(x)的最大值为3B.〃龙)的最小正周期为兀

I7171、

c./(力的图象关于点m，。对称D.外可在[-1五J上单调递增

【答案】BCD

【解析】/(x)=sinlx+sinI2x+^l+sinl2x+2K

=sin2x+—sin2x+cos2x--sin2x+cos2x=sin2x+J3cos2x

2222

.(兀、

—2sin2xH—,

I3j

对选项A：函数的最大值为2,错误;

对选项B：函数的最小正周期为T=一=7t,正确；

2

对选项C：尤=三，则2%+m=兀，故/（%）的图象关于点院,0卜寸称，正确；

7TJTTTJTJT

对选项D：-一<%<—,则——<2x+—<—,函数单调递增，正确；

312332

故选：BCD.

11.甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一

球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是红球“，再从乙罐中随机取出一球，以8表

示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（）

A.P（A）=1B.P（B|A）=-

CP（3）=||D.P（A⑻=[

【答案】ACD

【解析】因为甲罐中有3个红球、2个黑球，所以P（A）=],故选项A正确；

332213

因为P（3）=—x—+—x—=一，所以选项C正确；

'/555525

2

湍

339259

因为尸（A3）=—x—-竺-,因此选项D正确;

25

25

9

因为P(B|A)=*黑=尊=3,所以选项B不正确，

\17P(A)£5

5

故选：ACD

12.已知AABC的面积为26，AB=2,ZB=-,则又一=

3sinC

【答案】拒

【解析】AB=2=c,

11J3

S——cicsinB=—xtzx2x—=2j3>角牛得a=4,

wAKer222

所以"=a2+c2-2«ccosB=16+4-2x4x2x—=12,

.smB_b_2布_H

••----=——=----=75,

sinCc2

故答案为：G

13.已知抛物线y2=2px(p〉0)顶点为。，且过点A3.若△。出是边长为46的

等边三角形，则夕=.

【答案】1

【解析】设A(%,%),5(孙丫2)，则侬=侬,

22

即X；+=x2+%2=X；+2pxx=x2+2px2,

所以(玉一％2)(石+兀2+2,)=0，由于石>0,々〉0,二%+々〉0,又2。>0,

所以％+%2+2。/0,因此％-々=0，故A3关于x轴对称，

由|QA|=4g,?AOx30。得A(6,2月，将A(6,26)代入抛物线中得12=12p,所以

。=1，

14.若曲线y=(x+a)e*有两条过坐标原点的切线，则。的取值范围是

【答案】(F,-4)U(O,M)

【解析】：y=(x+a)e=y'=(x+l+a)e*,

设切点为(Xo,%)，则为=(x()+a)e%，切线斜率左=(x()+l+a)e%,

Abb

切线方程为：y-(x0+a)e=(x0+l+a)e'(J;-X0),

:切线过原点，.•.一(Ao+a)e丽=(%o+l+a)e”(一七)，

整理得：君+axQ-a=0,

,切线有两条，；.A=a?+4a>0,解得a<-4或a>0,

/.«的取值范围是4)U(O,”)，

故答案为：（T0,-4）U（°，+8）

15.已知数列｛%｝满足q=2,4+i=3a“+2（”eN*）.

（1）求证：数列｛q+1｝是等比数列；

（2）设年=（3〃—2）“，求数列出｝的前"项和S”.

解：⑴由。计1=+2,可得。用+1=3（%+1）,

又囚+1=3/0,所以4^=3,

4+1

所以数列｛an+1｝是以3为首项，3为公比的等比数列.

（2）由（1）得4+1=3",所以4=3"—1,

bn=(3n-2)(3"-1)=(3/2-2A3"~(3n-2),

设c,=(3〃—2>3",前w项和为T.，

7；=1X3+4X32+7X33+---+(3H-2)-3\

=1X32+4X33+7X34+---+(3M-2)-3),+1,

3Tn

两式相减得，

34+1+1

-2Tn=3+3+3+---+3"-(3n-2)-3"=3+*"3:一©"_2).3»+i；

1—3

3771

得1=(/“―/,3"，］，

(l+3n-2)n3n-l21

S„=T-Yd------

n224

16.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4

个红球，6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出

的2个球中，若都是红球，则获奖.

（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；

（2）若顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中将的次数为X,求X的分布列和数

学期望.

451

解：（1）记事件A=｛甲、乙两箱中摸出球都是红球｝,则P（A）=^X^=T

即顾客抽奖1次能获奖的概率为（；

（2）由题可知X:

故X的分布列为:

X0123

6448121

P

125125125125

13

所以X的数学期望为E(X)=3x1=g.

17.如图，矩形ABC5与梯形歹CDE所在的平面垂直，DE//CF,EF±FC,

AF=EF=DE=1,AB=2,尸为AB的中点.

(1)求证：平面EP产，平面DPC；

(2)求平面与平面DPC夹角的余弦值.

解：(1)因为防平面EFCDL平面ABCN,

平面EFCDA平面ABCF=R7,EFu平面EFCD,

所以防工平面ABCF,

又因为PCu平面

所以防，PC.

在矩形ABCb中，AF=bAB=2,尸为AB的中点，

所以FP=CP=®，FC=2,

因为FP2+CP2=FC2，根据勾股定理逆定理可得FP±PC.

因为EFcFP=F,EF,FPu平面EPF,

所以PC，平面EPF,

又因为PCu平面。PC,

所以平面£P尸，平面。PC.

(2)以尸为坐标原点，FA,FC,FE所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直

角坐标系,

则。(0,1,1),C(0,2,0),5(1,2,。),尸(1,1,0).

所以成=(O,L—l),DP=(l,0,-l),DB=(1,1,-1).

n-DC=0,y-z=o,

设平面£＞PC的法向量为为=（x,y,z）由＜得

n-DP=0,x-z=0,

令y=l,则为=（1,1,1）.同理可得平面8。的一个法向量为沆=（0,1,1）.

设平面BCD与平面DPC的夹角为。,

\m'n\2_A/6V6

故cos6»=*^=,即平面BCD与平面DPC夹角的余弦值为

73x72一飞3

22（Q

且其离心率为2.

18.已知椭圆E：§+万=1（。〉6〉0）过点］L,

3

（1）求椭圆E的方程;

（2）过点（-1,0）的斜率不为零的直线与椭圆E交于C,。两点，A,2分别为椭圆E的

左、右顶点，直线AC,BD交于一点P,M为线段上一点，满足。0〃Q4,问

西•两是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（。为坐标原点）.

C_1

a3

1641

解：（1）由题意可知，＜~—r=1，

a29b2

/=/+

22

解得：°2=1，^2=8，“2=9,所以椭圆E的方程为、+显=1；

98

（2）设过点（一1,0）的直线为％=阳—1,。（七,%）,4（—3,0），5（3,0）,

%=my—1

联立《22得(8-+9)丁-162y-64=0,

%+丁-1

[--9-----1----8-----1

16m-64

X+%=-;—，X%=-o—,A>0,

128m2+9128疗+9

V1

，所以，AC：)=(%+3),

石+3%j+3

(无一3),联立直线AC和3。方程,

工2—3

x+3%(X+3)%(g+2)

彳导-----------------------——---------------------------------------

X-3x(42-3)X(my2-4)myry2-4%，

-64m--32m-32m

5——+2%----5------%—?-----%

=84+9力=8疗+9九8疗+9.」

-64m-32m。(16m、-64m三-2

—5------4yi—--------25——+2%

8"+9-8"+9河+广％,8m2+92

x+31—6y.(-6%、

所以—=彳，得彳=一9,y=T，即尸一9,

x-32玉+31%+3,

因为点O是AB的中点，OM//PA,所以。法;工衣,

2

'-6,旦、

=9.

、%+3,

所以西.西是定值，且定值为9.

19.设函数/(%)=ln九一。(九一1)6%，其中awH.

⑴若aWO,讨论了(%)的单调性;

(2)若0<〃<!，

e

(i)证明/(%)恰有两个零点

(ii)设%为/(X)的极值点，X］为/(%)的零点，且西＞毛，证明3%一石＞2.

解：⑴由已知，/(X)的定义域为(0,+8),

|1—

且f^x)=--[aex+a(x-l)ex]=—

XX

因此当aWO时，1-办2/>。，从而尸(x)>。，

所以/⑴在(0,+8)内单调递增.

1—CLX^

(2)(i)由(1)知，f\x)=-,

%

令g(x)=1-。%2产，由可知g(x)在(0,+8)内单调递减，

e