解三角形（八大题型）-2025年高考数学冲刺复习（原卷版）

解三角形

CCC

题型概览

目录

【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）

【题型一】余弦定理解三角形

【题型二】正弦定理解三角形

【题型三】三角形解的个数问题

【题型四】判定三角形状问题

【题型五】面积公式的应用

【题型六】三角形中最值范围问题

【题型七】距离、高度、测量问题

【题型八】与其它知识综合问题

【误区点拨】点拨常见的易错点

易错点：最值范围忽视角度取值范围问题

CCC

解密高考

考情分析:作为高考固定题型，每次会出现在解答题的第一题或者第二题，新高考出现了结构不良题

的新题型，无外乎的就是和三角函数与解三角形结合出现在解答题第一题里，占15分，难度不大也适应了

新高考的新题型，所以是热门，必须要把各题型都能熟练掌握

备考策略：常规题型的归纳总结，基础知识的记忆与推导理解；最值范围的问题以构造函数求范围。

6题型特训提分--------------------------------------

【题型一】余弦定理解三角形

【例1】在VABC中，角A,B,C所对边分别是a,b,c,若a:b:c=3:2:2,则cosA=.

【例2】在VABC中，内角A,B,C所对的边分别为。，。，c,且满足/一/=°2—其|历，贝!Jtan2A=.

3

7T

【变式1】在VABC中，ZB=-,AB=S,AC=T,则BC=()

A.5B.3或5C.4D.2或4

【变式2】在VABC中，内角A民C所对的边分别为a,6,c,>cosA=1,Z?=2,a=75,贝！|c=.

【题型二】正弦定理解三角形

【例1】(多选)在VABC中，a=®b=gB=A5°,则角4为()

A.60°B.120°C.75°D.30°

【例2】在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且人=7,cosC=,c=4,则。=（）

47

A7&12A/2240

RrD.40

377

【变式1】在VABC中，内角A、B、C所对的边分别为。、6、c,。=若，4=60。，若cos2B=：,则6=

()

A.1B.6C.2D.20

【变式2】。是RtZkABC斜边3c上一点，AB=AD,AC=y［3DC,贝！!sinNABC的值（）

A1R小D括

A.D.C..U.

2322

【题型三】三角形解的个数问题

［例1］符合下列条件的三角形有且只有一个的是（）

__.71I-.7T

A.a=2,c=3A=—B.a=2<3,b=6,A=—

f66

C.a=2,b=6，。=5D.a=2,b=3,B=—

【例2】已知VABC的内角A,5,C的对边分别为a/,c,且满足。=2四,8=：的三角形有两个，则6的取值

4

范围为（）

A.（0,2A/2）B.（2A/2,4）C.（2,4）D.（2,2①

【变式1】（多选）在VABC中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（）

7171

A.Z?=7,c=3,C=—B.b=5,c=6,C=—

64

C.a=6b=3^3,B=—D.a=20,Z?=15,B=

f36

【变式2】已知VABC中，a=3,A=60°,VA3C有两解，则人的取值范围是（）

A.（2,2⑹B.[3,2向C.（3,2向D.（3,2力）

【题型四】判定三角形的形状问题

【例1】在△28C中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若bcos力+acosB=csinC,贝!!△ABC为（）.

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【例2】在ANBC中，角4B,C的对边分别为a,6,c,若等=萼=苧（k为非零实数），则下列结论簿

送的是（）

A.当k=5时，AABC是直角三角形B.当k=3时，AABC是锐角三角形

C.当k=2时，△力BC是钝角三角形D.当k=l时，△4BC是钝角三角形

【变式1】在AABC中，a,b,c分别为角4、B,C的对边，下列叙述正确的是（）

A.若acosB=bcosZ,则△ABC为等腰三角形

B.若atan/=htanB,则△ABC为等腰三角形

C.若siM/+sin2B+cos2c<1,则^ABC为锐角三角形

D.若cos2A+cos2B+cos2c>—1,则为钝角三角形

【变式2】已知△ABC中，内角4,B,C的对边分别为a,6,c,a=—+^~,则△ABC的形状是

cosB+cosC

【题型五】面积公式的应用

【例1】在VA3C中，角A、B、C所对的边分别为。、6、c,若。=5,b=7,c=4,则VABC的面积

为()

A.4A/6B.2A/6C.4D.8

【例2】在VABC中，内角A、B、C所对的边分别为b、c,且满足丝空+>=%吗.

csinncosn<2sinn

⑴求B；

(2)若a=2,c=3,求AC边上的高.

【变式1】VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosA(ccosB+/7cosc)=a.

⑴求A;

(2)若a=2,VABC的面积为也，求6,c的值.

【变式2］已知在VABC中，a2+c2-^ac=b2,b2=2.

⑴求N3的大小

(2)若A8边上的高等于1,求VABC的面积.

【题型六】三角形中最值范围问题

【例1】已知a,b,c分别为VA2C三个内角A,B,C的对边，且bsinA-NcosB=0.

⑴求3；

⑵若6=2,求VABC的面积的最大值.

【例2】记锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,bcos2=JIsin2B.

⑴求A；

⑵求(g-l)b+后c的最大值.

【变式1】已知|皿1=4,河为A5上一点，S.AM=3MB.动点C满足|AC|=2|CM|,。为线段3C上一点,

满足|8|=|0暇则下列说法中不正确的是()

A.若〃，四，则D为线段BC的中点B.当［4。=3时，VABC的面积为孚

C.点。到距离之和的最大值为5D.NMCB的正切值的最大值为3

3

【变式2】已知a=(J§sinx,-cosx),B=(cosx,cosx),f(＜x)=a-b.

⑴求函数〃x)图象的对称轴方程；

⑵求函数/(X)单调递增区间；

⑶设VA2C的内角A,3,C所对的边分别为。，4c,若且b=g.求VA2C面积的最大值.

【变式3】若一个三角形中两边的平方和是第三边平方的，"倍(加＞1,meN*),则称该三角形为正阶准直角

三角形.在VABC中，角A,民C的对边分别为a,b,c,且出+学=的2.

abc

⑴证明：VA3C是2阶准直角三角形；

(2)若4sinA=3sinB,求cosC的值；

⑶若c=4,求VABC的面积的最大值.

【题型七】距离、高度、测量问题

【例1】如图，为了测量一条大河两岸48之间的距离，无人机升至九米的空中沿水平方向飞行至C点进行

测量，AB,C在同一铅垂平面内.在C点测得A8的俯角为名伙尸＜0,则AB=.

h

AB

【例2】某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度。P,选取了在同一水平面上的A,B,C三处，如图.已知

在A,B,C处测得该建筑顶部P的仰角分别为30。，45。,60°,OA=2OB-OC，43=10米，则该建筑的

高度OP=()

C.5♦米D.50米

【变式1】如图，A,B,C三点位于同一水平面，A位于B的北偏西30。方向，C位于B的北偏东60。方向，

A在C的正西方向，且A,C之间的距离为50米，8处正上方建有一栋楼房，C处正上方建有一座塔，从A

处观察塔尖E,测得仰角为45。，从楼房顶。处观察塔尖E,测得仰角为30。，则楼房的高度为米.

【变式2】某高中高一学生成立了课外实践数学小组，计划通过数学建模的方法来测量某人工圆形湖泊的直

径，如图为该人工湖泊的大致俯视图，该小组成员首先在湖泊边缘处A点处固定一旗帜，然后从A点沿逆

时针方向绕着湖泊边缘走到8点处固定一旗帜,并在红外线角度测量仪的帮助下从8点逆时针走至C点处，

此时测得0ABC=12O。，且测得BC=20米，A3=10米.

⑴求该人工圆形湖泊的直径；

⑵若。为人工圆形湖泊优弧AC上一动点(异于A，C两点)，求四边形ABC。面积的取值范围.

【变式3】为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案:

如图，设A,B分别为建筑物的最高点和底部.选择一条水平基线施，使得G,8三点在同一直线上,

在G,H两点用测角仪测得A的仰角分别是a和6，测角仪器的高度是〃，CD=a,由此可计算出建筑物

的高度AB.若a=75。，4=45。，则此建筑物的高度是（答案用〃表示）

【题型八】与其它知识综合问题

【例11在边长为2的正方形ABCD中作出RtAEFG.直角顶点G为的中点.其他两顶点Eb分别在边

【例2】已知NA08=e，|砺|=2,5.ABJ.OA,则卜丽一倒+x丽一xeR）的最小值为（）

3

A.2小B.2月C.3D.

2

【变式1】在平面直角坐标系xOy中，VABC的三个顶点均位于抛物线「:9=2/（。＞0）上，点尸为「的

焦点，若sinA:sin8:sinC=B：l:l,直线的斜率为由，贝U使浅.器+品.器=%莽?成立的实数4的值

为.

22

【变式2】已知鸟的顶点片,B分别为双曲线c：二-2=l(a>0,b>0)的左、右焦点，点A在C的右

ab

支上，且A耳与C的一条渐近线垂直，记C的离心率为e,若tan/£AK=f,则e?=()

A.4+2&B.3+20

C.14-60D.13-673

【变式3】(多选)阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用.如图，在平面直角坐标系尤。》中,

螺线与坐标轴依次交于点A(T，o)，&(0，-2),4(3,0),4(0,4),A(-5,0),4(0,-6),4(7,0),4(0,8),

并按这样的规律继续下去，则()

A.对于任意的正整数“，|AA+」=4

B.对于任意的正整