云南省保山市实验中学2023−2024学年高二下学期教学测评月考卷数学（七）试题含答案

/云南省保山市实验中学2023−2024学年高二下学期教学测评月考卷数学（七）试题一、单选题（本大题共8小题）1．设随机变量，则（

）A．3 B．6 C．7 D．92．随机变量的分布列如下表所示，且，则（

）01230.10.1A．-0.2 B．0.4 C．0.2 D．03．已知各项均为正数的数列的前项和为，则（

）A．511 B．93 C．72 D．414．北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线，若过这七个点中任意三个点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（

）A．35 B．34C．31 D．305．已知随机事件满足，则（

）A． B． C． D．6．函数是（

）A．偶函数，且没有极值点 B．偶函数，且有一个极值点C．奇函数，且没有极值点 D．奇函数，且有一个极值点7．已知随机变量的分布列是-202随机变量的分布列是357下列选项中正确的是（

）A． B．C．当增大时，递增 D．当增大时，递减8．“米”是象形字，数学探究课上，某同学用抛物线构造了一个类似“米”字形的图案，如图所示，若抛物线的焦点分别为，点在抛物线上，过点作轴的平行线交抛物线于点，若，则（

）A．4 B．6 C．8 D．12二、多选题（本大题共3小题）9．在的展开式中，下列说法正确的是（

）A．各二项式系数的和为64 B．各项系数的绝对值的和为729C．有理项有3项 D．常数项是第5项10．已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，若的最小值为4，则（

）A．椭圆的短轴长为B．的最大值为8C．离心率为D．椭圆上不存在点，使得11．已知函数在上可导，其导函数满足且，令，则（

）A．函数的单调递减区间为 B．是函数的极大值点C．函数必有零点 D．三、填空题（本大题共3小题）12．为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数的数学期望为.13．已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为．14．在数列中，.数列满足.若是公差为1的等差数列，则的通项公式为；的最小值为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.16．会员足够多的某知名咖啡店，男会员占，女会员占.现对会员进行服务质量满意度调查.根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为，女会员对服务质量满意的概率为.(1)随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率；(2)从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为，求的分布列和数学期望.17．如图，在四棱锥中，平面平面.

(1)证明：平面；(2)若到的距离为，点为线段的中点，设平面与平面的交线为，求直线与平面所成角的正弦值.18．某商场举行“庆元宵，猜谜语”的促销活动，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子中装有若干个标号为的空心小球，球内装有难度不同的谜语.每次随机抽取2个小球，答对一个小球中的谜语才能回答另一个小球中的谜语，答错则终止游戏.已知标号为的小球个数比为，且盒中2号球的个数为4.(1)求取到异号球的概率；(2)若甲抽到1号球和3号球，甲答对球中谜语的概率和对应奖金如下表所示，请帮甲决策猜谜语的顺序.（猜对谜语的概率相互独立）球号1号球3号球答对概率0.80.5奖金20050019．已知曲线在处的切线过点.(1)试求的值；(2)讨论的单调性；(3)证明：当时，.

参考答案1．【答案】B【分析】根据方差的性质，直接计算即可.【详解】由题意得，故，故选B.2．【答案】D【分析】根据分布列的性质即可求解.【详解】由分布列的性质可得，，即，.故选D.3．【答案】B【分析】由已知递推关系求出数列的前10项，即可求解．【详解】，∴，，则.故选B．4．【答案】C【分析】由间接法，从所有三角形中减去不能构成三角形的情况计算即可.【详解】从这七个点任意选取三个点作三角形有个，其中共线的四点中有个不能构成三角形，所以不同的三角形个数有31个，故选C.5．【答案】A【分析】由条件概率公式以及全概率公式，即可求解.【详解】因为，所以.又.所以.又，所以.故选A.6．【答案】B【分析】先求出函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义判断，再对函数求导，求出单调区间，从而可判断函数的极值点.【详解】由条件知的定义域为，关于原点对称，当时，，当时，，则，所以为偶函数，当时，；当时，，所以在上递增，在上递减，所以先增后减，有一个极值点，故选B.7．【答案】C【分析】求出、、、，逐项判断可得答案.【详解】对于A，由题意知：，，所以A错误；对于B，因为，，即，故B错误；对于C，，所以当增大时，也增大，故C正确；对于D,由，因为，所以当增大时，增大，故D错误.故选C.8．【答案】D【分析】根据几何关系，结合勾股定理即可求解.【详解】如图，过点作于点，则，又点在抛物线上，，则，在中，，（舍去），故选D.9．【答案】ABD【分析】对于A，由代入各二项式系数的和的公式即可；对于B，先使二项式中的系数均为正，再用赋值法代入计算即得；对于C,D,先写出二项展开式的通项并化简，使的次数为整数即可判断C；令的次数为0计算即得常数项.【详解】对于A，各二项式系数的和为，故正确；对于B，各项系数的绝对值的和与的各项系数和相等，令，则原二项式展开式中，各项系数的绝对值的和为，故B正确；对于的展开式的通项公式为：，，令，解得，即有理项有4项，故C错误；对于D，由，解得，即常数项是第5项，故D正确.故选ABD.10．【答案】BD【分析】根据通径可得，即可求解A，根据椭圆定义结合焦点三角形的性质即可求解B，根据离心率公式即可求解C，根据余弦定理求解最大角，即可求解D.【详解】易知当轴时，即线段为通径时，AB最短，，解得，椭圆方程为，对于，椭圆的短轴长为，故A错误；对于，因为的周长为，且，故B正确；对于C，离心率，故C错误；对于，易知当点位于短轴顶点时，最大，此时，又为三角形内角，椭圆上不存在点，使得，故D正确，故选BD.11．【答案】ABD【分析】根据，可得时，时，构造函数，求导可得的单调性，即可根据选项逐一求解.【详解】由可得当时，当时，由，得，当时，，故在上单调递增，当时，，当时，，故在上单调递减，所以是函数的极大值点，故A正确，B正确；若，则没有零点，故C错误；由在上单调递增，得，即，化简得，故D正确，故选ABD.【方法总结】利用导数比较大小的基本步骤：(1)作差或变形；(2)构造新的函数；(3)利用导数研究的单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．12．【答案】【分析】分析题意，确定的所有可能的值，运用超几何分布的概率公式求得它们的概率，列出分布列表，计算其均值即得.【详解】由题意可得则，，可得的分布列为：0123所以期望.故答案为：.13．【答案】【分析】利用圆与圆的位置关系，结合图形和几何关系，即可求解.【详解】圆，圆心，半径，圆，圆心，半径，圆心距，由，

所以两圆相交，则.故答案为：.14．【答案】，【分析】根据等差数列bn的首项和公差即得其通项；继而由题设可得，利用累加法求出，最后根据二次函数的单调性即得的最小值.【详解】由条件得，故，即，可得，可得，故，为开口向上的二次函数，对称轴，又因为为正整数，故的最小值为.故答案为：15．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据数列递推公式特征，凑项组成等比数列，即可求得数列通项；（2）求出数列的通项，利用错位相减法即可计算出的前项和.【详解】（1），又，数列是首项､公比均为3的等比数列，，即.（2）由（1）得，则，则，两式相减得，.16．【答案】(1)；(2)分布列见解析，.【分析】（1）根据全概率公式即可求解，（2）根据二项分布的概率公式求解概率，即可由期望公式求解.【详解】（1）记事件：会员为男会员，：会员为女会员，事件：对服务质量满意，由题可知，，所以.（2）可能的取值为，则，，，所以的分布列为：0123所以.17．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而可根据线线垂直求解，（2）建立空间直角坐标系，利用法向量以及方向向量的夹角即可求解.【详解】（1）证明：取的中点，因为，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为，所以，因为，即，又平面，所以平面.（2）如图，取的中点，又为的中点，所以，又，所以，所以平面即为平面，平面平面，取的中点，连接，由（1）可知，两两垂直，，如图建立空间直角坐标系，

则，设平面的法向量为，则，即，取，可得，设直线与平面夹角为，直线的方向向量为，，，所以，则，故直线与平面夹角的正弦值为.18．【答案】(1)；(2)推荐甲先回答1号球中的谜语再回答3号球中的谜语.【分析】（1）根据古典概型的概率公式，结合排列组合计算个数，即可求解，（2）根据独立事件的概率乘法公式，分别求解两种情况的期望，即可求解.【详解】（1）由题意可得号球的个数分别为，则取到异号球的概率.（2）若甲先回答1号球再回答3号球中的谜语，因为猜对谜语的概率相互独立，记为甲获得的奖金总额，则可能的取值为0元，200元，700元，则，，所以的分布列为：02007000.20.40.4所以；若甲先回答3号球再回答1号球，因为猜对谜语的概率相互独立，记为甲获得的奖金总额，则可能的取值为0元，500元，700元，则，，，所以的分布列为：05007000.50.10.4所以，因为，所以推荐甲先回答1号球中的谜语再回答3号球中的谜语.19．【答案】(1)0；(2)答案见解析；(3)证明见解析.【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，再代入计算即得.（2）求出函数的导数，再分类讨论求出单调区间.（3）由（2）求出函数的最小值