图形的变化-对称-2025年中考数学专项复习（山东专用）

专题23图形的变化一一对称

考情聚焦

课标要求考点考向

1.通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质:成

轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分。

2.能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给

考向一对称图形的识别

定对称轴的对称图形。

3.理解轴对称图形的概念;探索等腰三角形、矩形、菱形、图形的

正多边形、圆的轴对称性质。变化

4.认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形。——对

5.了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的基本称

性质:成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中

考向二翻折问题

心，且被对称中心平分。

6.探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质。

7.认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形。

,真题透视,

考点图形的变化~对称

A考向一对称图形的识别

1.（2024•山东）用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的

【答案】D

【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正

方形、长方形等等.常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等.根据中心对称

图形与轴对称图形的概念，进行判断即可.把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来

的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互

相重合，这个图形叫做轴对称图形.

【详解】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意.

故选：D.

2.（2024•德州）下列图形是中心对称图形的是（）

【答案】B

【分析】此题考查的是中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解决此题的关键.

根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，即可解题.

【详解】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合,

所以不是中心对称图形.

选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形.

故选：B.

3.（2024•青岛）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

【答案】D

【难度】0.94

【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握相关定义是解题的关键.如果一个图形沿一条直

线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转180。，如果

旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行判断即可.

【详解】解：A.不是轴对称图形，但它是中心对称图形，故不符合题意；

B.是轴对称图形，但它不是中心对称图形，故不符合题意；

C.不是轴对称图形，但它是中心对称图形，故不符合题意；

D.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；

故选：D.

【答案】C

【分析】本题考查了中心对称图形的概念，熟练掌握概念是解题的关键.根据中心对称图形的概念对各图

形分析判断即可求解.

【详解】解：第一个是中心对称图形，符合题意；

第二个是是中心对称图形，符合题意；

第三个是是中心对称图形，符合题意；

第四个不是中心对称图形，不符合题意；

所以符合题意的有3个.

故选：C.

5.（2024•潍坊）下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（）

【答案】C

【分析】本题主要考查轴对称图形以及中心对称图形，熟练掌握轴对称图形以及中心对称图形是解题的关

键.根据轴对称图形以及中心对称图形的定义即可得到答案.

既不是轴对称图形也不是中心对称图形,故选项A不符合题意;

不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项B不符合题意;

既是轴对称图形也是中心对称图形，故选项c符合题意;

是轴对称图形,不是中心对称图形，故选项D不符合题意;

6.（2024•烟台）下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走

一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（）

B.②C.③D.④

【答案】A

【分析】本题考查几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键.分别画出各选项得出的左视图,

再判断即可.

【详解】

解:A、取走①时，左视图为,既是轴对称图形又是中心对称图形,故选项A符合题意;

,既不是轴对称图形也不是中心对称图形,故选项B不符合题意;

既不是轴对称图形也不是中心对称图形,故选项C不符合题意;

,既不是轴对称图形也不是中心对称图形,故选项D不符合题意;

故选：A.

7.（2024•淄博）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.B.

【答案】C

【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据定义逐项判断即可.将一个图形沿某直线折叠，

直线两旁的部分能够重合，这样的图形是轴对称图形；将一个图形绕某点旋转180。，能与本身重合，这样

的图形是中心对称图形.

【详解】因为图A是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；

因为图B是中心对称图形，不是轴对称图形，所以不符合题意；

因为图C是轴对称图形，又是中心对称图形，所以符合题意；

因为图D是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意.

故选：C.

A考向二翻折问题

解题技巧

(1)折叠前后的图形全等：线段长度相等，角相等。

(2)对应点的连线被折线垂直平分。

1.(2024•济宁)综合与实践

某校数学课外活动小组用一张矩形纸片(如图1,矩形ABCD中，且足够长)进行探究活动.

---------------------------------------------|C

A'----------------------------------'B

图1

【动手操作】

如图2,第一步，沿点A所在直线折叠，使点。落在A2上的点E处，折痕为题,连接跖，把纸片展平.

第二步，把四边形AERD折叠，使点A与点E重合，点。与点尸重合，折痕为GH,再把纸片展平.

第三步，连接Gb.

【探究发现】

根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论.

甲同学的结论：四边形AEED是正方形.

乙同学的结论：tanZAFG=.

(1)请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确.若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由.

【继续探究】

在上面操作的基础上，丙同学继续操作.

如图3,第四步，沿点G所在直线折叠，使点尸落在A5上的点M处，折痕为GP,连接尸加，把纸片展平.

图3

第五步，连接月山交GP于点N.

根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：FNAM=GNAD.

(2)请证明这个结论.

【答案】(1)甲、乙同学的结论正确，证明见解析，(2)证明见解析

【分析】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质和判定，正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，全

等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一性质，解题的关键是正确作出

辅助线并熟练掌握相关的性质定理，

(1)先证明四边形的D为矩形，再根据=即可证明四边形AEED为正方形，设AG=a,由折叠性

质可知：GE=AG=^AE=a,EF=AE=2a,再根据等腰直角三角形的性质分别求出AM=MG,AF,

即可得出叱=瓶-AM,进而可得出结论；

(2)作GRHQS交SM于点R,利用HL证明RMGHP冬RsGRP,得出ZFPG=ZMPG,再证明四边形GMPF

为菱形，得出GN=MP,进而证明=再根据SAS证明H以八4〃学府AG@,得出,

进而证明Am〃SAWVG,即可得出结论

【详解】解：(1)甲、乙同学的结论都正确，理由如下：

四边形A3CD是矩形，

:.ZDAE=ZD=90°

由第一步操作根据折叠性质可知：AD=AE,DF=EF,ZAEF=ZD=90°

:.ZDAE=ZAEF=ZD=90°

四边形AEFD为矩形，

5L-：AD=AE

四边形AEFD为正方形，

故甲同学的结论正确；

作GM_LAF于点

四边形AFED为正方形,

:.ZFAE=45°

设AG=a,

由第二步操作根据折叠性质可知：GE=AG=-AE=a,

2

/.EF=AE=2a

在RbAMG中,

・.・NM4G=45。

AM=MG=—a

2

在中，AF=RE=2啦a,

:.MF=AF-AM=2y[2a--a=^!^a

22

旦

故乙同学的结论正确；

(2)作GR〃QS交SM于点凡如图所示:

/.AG=QG,AD=QS,DF=SM,DP=SP,FP=MP,ZADF=/DAE=NQ=/S=90。

-GR//QS

/.ZSRG=ZQGR=ZQ=ZS=90°

••・四边形QSRG为矩形，

：.SR=QG=AG=DH,GR=QS=AD=HG

在Rt^GHP和Rt^GRP中，

(GP=GP

[HG=GR

RQGHI咨RMGRP®)

:.ZFPG=ZMPG

又・.・FP=MP

:.PGIFM,FN=MN

由折叠性质可知：GF=GM

・・・PG】FM,FN=MN

.\ZFGP=ZMGP

\-FP//GM

:.ZFPG=ZGMP

ZFPG=ZMPG=ZFGP=ZMGP

,\FG=FP=PM=GM

••・四边形GMP尸为菱形，

:.GM=MP

♦:RM=SM-SR=DF-DH=HF=AG

:.AG+GM=RM+MP

即=

在Rt^DAM和RMGRP中，

AD=GR

<ADAM=/GRP=90°

AM=RP

...RMDAM%RtAGRP(SAS)

.\ZAMD=ZRPG

♦;4RPG=/FGN

.\ZFGN=ZAMD

•：PGLFM

:.ZFNG=90°

/.ZFNG=ADAM=90°

:.^DAMSANG

ADFN

,.AM—GN

:.FN・AM=GNAD

2.（2024•泰安）综合与实践

为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动.

【探究发现】

（1）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1,把矩形纸片ABC。翻折，使矩形顶点3的对应点G恰好落

在矩形的一边CD上，折痕为即，将纸片展平，连结3G,跖与3G相交于点同学们发现图形中四条

线段成比例，即==”，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由.

BGnC

【拓展延伸】

（2）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2,BO是平行四边形纸片的一条对角

线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点A的对应点G,点C的对应点H都落在对角线3。上，折痕分别

是BE和OF,将纸片展平，连结EG,FH,FG,同学们探究后发现，若PG〃CE）,那么点G恰好是对角

线助的一个“黄金分剧点”，即BG2=80.3。.请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由.

FFAB

【答案】（1）===正确，理由见解析；（2）正确，理由见解析

BGnC

【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、折叠的性质等知识

点，掌握相关知识是解题的关键.

FPFM

（1）如图：作砌/_L3c于点M,再证△£MFseCG可得工厂==7，再证明四边形是矩形可得

ABGBC

=即可证明结论;

（2）利用平行线分线段比例可得当=黑，再说明GO=G尸，进而得到与=当；再由由平行四边形及

FGBGGDBG

折叠可得AB=8G,AB=CD,则段=黑即可证明结论.

CDBG

FFAR

【详解】解：（1）===;正确，理由如下,

BGnC

作于点M,

/.NFBH+ZBFH=90°,

vZEWF=90°,

/.Z.MEF+ZBFH=90°,

:./FBH=ZMEF,

又・.・NEMF=NC=90。，

:.Z\EMFs^BCG.

.EFEM

••疏一记•

••,ABCD是矩形，EM±BC,

・二四边形是矩形.

:.AB=EM,

EFAB

,BG-BC,

（2）同学们的发现说法正确，理由如下,

・・・CD//FG,

CDBD

ZCDF=ZDFG,

FG-BG

由折叠知ZCDF=NBDF,

.\ZDFG=ZBDF,

:.GD=GF,

CDBD

''GD~1BG'

由平行四边形及折叠知AB=BG,AB=CD,

.BGBD

,'CD~1BG'

/.BG2=BDGD,即点G为BO的一个黄金分割点.

3.（2024•威海）将一张矩形纸片（四边形ABCD）按如图所示的方式对折，使点。落在48上的点C处，折

痕为肱V,点D落在点D处，C'D'交2D于点E.若BM=3,BC=4,AC=3,贝|DN=

【分析】本题考查矩形的折叠问题,全等三角形的判定和性质,勾股定理,先根据勾股定理求出CM=CM=5,

然后证明ABC'M丝AAEC',得至!|BC'=AE=4,MC'=C'E=5,即可得到DE=4,OE=2,然后在Rt~>，EN

中，利用NE2=D'E2+D'N-解题即可.

【详解】解：在Rt^C'BM中，CM=-JCB2+BM2=742+32=5，

由折叠可得CM=CM=5,ZD'C'M=ZD'=ZD=ZC=90°,

又•:ABCD是矩形，

ZA=ZB=90°,

，ZBC'M+ZACE=ZAEC+ZAC'E=90°,

，NBC'M=ZAEC,

又「AC'=BM=3,

：.ABC'MaAEC,

:.BC'=AE=4,MC'=C'E=5,

:.AB=CD=C'D'=7,8c=4£）=3“+5=3+5=8,

DE=AD-AE=8-4=4,DE=CD'-CE=7-5=2,

设DN=DN=a,贝i]E7V=4—a,

在RtAZ/£W中，NE2=D'E2+D'N2,即（4-a>="+2?,

解得：。=；3，

3

故答案为

4.（2024•淄博）如图所示，在矩形A3。中，BC=2AB,点M,N分别在边BC,AD±..连接MN,将

四边形CMVD沿"N翻折，点C,。分别落在点A,E处.贝UtanNAAW的值是（）

A.2B.0C.73D.75

【答案】A

【分析】连接AC交脑V于点后设AB=2〃z,贝U3C=2AS=4,w,利用勾股定理求得

AC=VAB2+BC2=2-j5m>由折叠得到AW=CM，ACV垂直平分AC，则Ab=CR=；AC=，由

筋2+比02=.2代入求得411=二利，则"=逅=@机，所以tanNAMN=.=2,于是得

22MF

到问题的答案.

【详解】解：连接AC交MN于点尸，

设AB=2m,则3C=2AB=4%,

•••四边形9CD是矩形，

:，B90?,

AC=^AB2+BC2=2y[5m

:将四边形沿MN翻折，点C,。分别落在点4E处，

点C与点A关于直线MN对称，

：.AM=CM,ACV垂直平分AC,

BM=BC-CM=4m-AM,ZAFM=90°,AF=CF=-AC=45m,

2

AB2+BM2=AM\

・・・（2m）2+（4m-AM）2=AM2

AM=—m,

2

MF=ylAM2-AF2=-m

2

..,AFJ5m

.tanZAMN=-----=2

MF

——m

2

故选：A.

【点睛】此题考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是

解题的关键.

新即特训,

一、单选题

1.（24-25八年级上•山东泰安•期末）我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销

量全球占比均超过60%.以下新能源汽车图标既是中心对称，还是轴对称的是（）

A.极氟|\।

B.小鹏

C.理想D.蔚来

【答案】B

【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部

分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能

够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.

根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可.

【详解】解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意;

B.是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；

C.不是轴对称图形，不中心对称图形，不符合题意；

D.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意.

故选B.

2.（24-25八年级上•山东济宁•期中）在平面直角坐标系中有五个点A（l,l）,8（2,1）,C（3,2）,L＞（2,2）,E（l,2）,

变换其中一个点的坐标，使五个点组成一个轴对称图形.现有两种方法：

①把点B坐标变换成（3,1）；②把点C坐标变换成（3,0）.下面判断正确的是（）

A.①②正确B.①正确，②错误

C.①错误，②正确D.①②都错误

【答案】A

【分析】本题考查了坐标与图形的轴对称，解决本题的关键是熟练掌握坐标与图形轴对称的性质，画出图

形并进行判断即可.

【详解】解：如图，两种方法：①把点B坐标变换成（3,1）；②把点C坐标变换成（3,0）.形成的图形都是轴

对称图形，

3.（24-25八年级上•山东临沂•期中）时钟在水中的倒影如图所示，此时时钟显示的时间是（）

A.12：20B.02：21C.15:50D.05:51

【答案】A

【分析】本题考查了应用轴对称的性质来分析实际问题.根据轴对称的性质解答即可.

【详解】解：在时钟在水中的倒影与现实中的时钟恰好上下对称.由图可知时钟在水中的倒影是15:50,它

与12:20成轴对称，

所以它的实际时间是12:20.

故选：A.

4.（23-24七年级下•山东青岛•期末）如图，在长方形的纸片上画出VA2C,按下列方式折叠，能得到边AC

上的高的是（）

A.对折边，使点8与点C重合，则高在折痕上

B.沿着过A点的直线对折VABC,使点C落在直线上，则高在折痕上

C.沿着过B点的直线对折VABC,使得边与边重合，则高在折痕上

D.延长C4,并沿着过B点的直线折叠，使得C落在直线AC上，则高在折痕上

【答案】D

【分析】本题主要考查了折叠的性质与三角形的相关知识，根据折叠的性质与三角形的高，角平分线等知

识一一判断即可.

【详解】解：A.对折5c边，使点2与点C重合，则BC的垂直平分线在折痕上，故该选项不符合题意;

B.沿着过A点的直线对折VABC,使点C落在直线BC上，则BC边上的高在折痕上,故该选项不符合

题意；

C.沿着过8点的直线对折VABC,使得边A3与边重合，则N8的平分线在折痕上，故该选项不符合

题意；

D.延长C4,并沿着过2点的直线折叠，使得C落在直线AC上，则AC上的高在折痕上,故该选项符合

题意；

故选：D.

5.（2024•山东济南•模拟预测）北京时间2024年5月3日，搭载嫦娥六号探测器的长征五号遥八运载火箭，

在中国文昌航天发射场点火发射，准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功.嫦娥六号探测器将开

启世界首次月球背面采样返回之旅，预选着陆和采样区为月球背面南极-艾特肯盆地，为中国未来的探月工

程和载人登月奠定了基础.下列相关航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）

【答案】C

【分析】本题考查中心对称图形的识别，中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形

能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.据此逐项判断即可.

【详解】解：A.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；

B.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；

C.是中心对称图形，故该选项符合题意；

D.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；

故选：C.

二、多选题

6.（24-25八年级上•山东潍坊•期中）如图，等腰三角形A3C中，AB=AC,将/A向下翻折，使点A,B

重合，折痕为OE,交AC于点E,连接3E.则下列说法正确的是（）

A.DE平分ZAEBB.若NA=36。，则ABCE为等腰三角形

C.NC=2ZAD.AB=BE+CE

【答案】ABD

【分析】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，由折叠的性质得

ZAED=ZBED,可判断A正确；根据等腰三角形的性质和三角形定理得出/ACB=72。，由三角形性质得

ZBEC=72°,可判断B正确；当/4工36。时，可判断C错误；根据AB=AC,AE=5E可判断D

正确.

【详解】解：由折叠得，ZAED=NBED,

:.DE平峪ZAEB,故选项A正确，符合题意；

ZA=36。,AB=AC,

：.ZABC=ZACB=|x(180°-ZA)=1x(180°-36°)=72°,

由折叠得NABE=NA=36。，

Z.BEC=ZA+ZABE=72°,

NBCE=NBEC,

：.BE=BC,

；.VBEC是等腰三角形；故选项B正确；符合题意；

当ZA=36°时，NC=NBEC=2ZA；

当ZAW36。时，NCW2/A；故选项C错误；不符合题意；

VAB=AC,AC=AE+CE,

AB=AE+CE,

由折叠得，AE=BE,

=故选项D正确，符合题意；

综上，正确的结论是ABD,

故答案为：ABD.

三、填空题

7.(24-25八年级上•山东济南•期中)如图，一次函数y=x+4的图象与>轴交于点A,点3是线段0A上

一点.过点3作y轴的垂线/,直线/与一次函数y=x+4的图象交于点Af,与正比例函数y=2x的图象交

于点N.当点M与点N关于y轴对称时，OB=.

【分析】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标问题，轴对称的性质，正比例函数的性质，先求解A（0,4）,

设N（m,2m）,可得/（一切,2优），再结合一次函数的性质可得加的值，从而可得答案.

【详解】解：：一次函数丁=》+4的图象与与y抽交于点A,

・,•当％=0时，＞=4,

・・・A（0,4）,

•「N在正比例函数y=2x的图象上，

设N（m,2m）,

・・•点M与点N关于V轴对称，

M（―m,2m）,

/.-m+4=2m,

A

解得：m=-,

...2、m=—8,

3

Q

故答案为：—.

四、解答题

8.（24-25八年级上•山东聊城•期中）（1）如图1,直线/同旁有两个定点A,B,在直线/上存在点尸，使

得。4+依的值最小，请作出示意图，在直线/上画出点尸（要有必要的画图痕迹，不用写画法）：

图1图2图3

(2)如图2,VABC中，ZC=90°,?B30°,BC=6,E是A3的中点，尸是边上的一动点，画出点

P,使得FA+PE的值最小，并直接写出上4+PE的最小值；

(3)如图3,点。在，403内部，点M,N分别在射线02上，若AQMV周长最小，画出示意图,

标出点点N.

【答案】(1)见详解；(2)6；(3)见详解

【分析】(1)作点A关于直线/的对称点4,连接43交直线/于点P,连接尸3,点尸即为所求；

(2)作点E关于直线8C的对称点E',连接AEL交8c于尸，点P即为所求；.

(3)分别作。关于0408的对称点C、D,连接CD,交。4、QB于M、N,则的周长最小，进

而根据轴对称的性质推出△C0D为等边三角形，进一步得出结果.

【详解】解：(1)如图，点尸即为所求作的点.

(2)作点E关于直线BC的对称点H,连接E'A,则E'A与直线BC的交点即为尸,且PA+PE的最小值为E'A,

作£^_14。交4。的延长线于人如图，

在Rt^ABC中，NC=90。,48=30。，

AB=2BC,AC2+BC2=AB2,

AC2+62=（2AC）2,AC=25AB=46,

因为点七是45的中点，由对称性可得，

E'F=-BC=3,AF=FC+AC=3y[3,

2

PA+PE的最小值E'A的值为：,3?+（3⑹2=6.

（3）作法：（I）作。关于的对称点C,

（II）作点。关于0B的对称点。，

（III）连接CD,分别交。4于点M,交OB于N,

【点睛】本题考查了轴对称的应用-最短距离问题，直角三角形的性质及勾股定理等知识，解决问题的关键

是熟练掌握“将军饮马”等模型.

9.（24-25八年级上•山东潍坊•期中）如图，在长方形纸片〃诋的一组对边上分别取点A和点3,将该纸

片沿折叠，点、E、尸的对应点分别为点用、耳、AK与WE的交点为C,请判断VABC的形状，并说明理

由.

Ei

【答案】VABC是等腰三角形，理由见解析

【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰三角形的判断，根据折叠的性质得到=根

据长方形的性质得到MR〃EN,根据平行线的性质得到=等量代换得到=,于

是得到结论.

【详解】解：VA5c是等腰三角形，

理由：•••将该纸片沿相折叠，点E、尸的对应点分别为点耳、F、,

：.ZFAB=ZCAB,

根据题意得，MF//EN,

：.ZFAB^ZABC,

：.ZABC=NBAC,

?.AC^BC,

；.VABC是等腰三角形.

10.（22-23七年级下•山东青岛•期末）探究（一）

如图①，为了支持山庄经济开发，政府派出免费车为山庄A和山庄8向山外运农产品，免费车只能在公路/

上行驶，你认为停在哪里，到两村庄距离相等？

请通过尺规作图表达你的观点.

图①图②

探究（二）

如图②，为了支持山庄经济开发，政府派出免费车为山庄A和山庄8向山外运农产品，免费车只能在公路/

上行驶，你认为停在哪里，到两村庄距离和最短？请借助刻度尺、直角三角板或圆规等，通过画图表达你

的观点；也可以文字叙述你的做法.

探究（三）

如图③，为了支持山庄经济开发，政府派出免费车为山庄A和山庄8向山外运农产品，免费车只能在公路/

上行驶，你认为停在哪里，-最大？

请借助刻度尺、直角三角板或圆规等，通过画图表达你的观点；也可以文字叙述你的做法.

图③图④

拓展应用

如图④，VABC中，ZC=90°,Zfi4c=60。，BC=6,E是AB的中点，尸是BC边上的一动点，则K4+PE

的最小值为;

【答案】探究（一）：见解析；探究（二）：见解析；探究（三）：见解析；拓展应用：6

【分析】探究（一）：作线段A8的垂直平分线与直线/的交点即为所求；

探究（二）：作点A关于直线/的对称点A,连接交直线/于。，点。即为所求；

探索（三）：延长54交直线/于尸，点P即为所求；

拓展应用：如图所示，作点A关于直线BC的对称点F,连接所交BC于G,连接则当尸、P、E三点、

共线时尸尸+PE最小，即尸E+外，此时最小值为所，点P与点G重合，根据含30度角的直角三角形的

性质得到AB=2AC,进而证明△BAC丝△E4E,得到EF=BC=6,则尸E+E4的最小值为6.

【详解】解：探究（一）：如图所示，线段的垂直平分线与直线/的交点P即为所求;

/图①

探究（二）：如图所示，作点A关于直线/的对称点A,连接43交直线/于。，点。即为所求;

A*'

:'、、

I\

1

/'、、•

B

图②

探索（三）：如图所示，延长54交直线/于P,点尸即为所求；

在直线/上任取一点不与点P重合的点P,

P'A-P'B<AB,P'B-P'A<AB,

；.\P,A-PB\<AB,

y,-：\PA-PB\^AB,

二当点P与点尸重合时，|PA-P'M=AB,

.•.直线/上任意一点P'一定满足尸A-P3区AB,

•••点尸即为所求；

pP'

图③

拓展应用：如图所示，作点A关于直线BC的对称点孔连接打交BC于G,连接尸厂，

/.PA=PF,

：.PE+PA=PF+PE,

.•.当RP、E三点共线时PF+PE最小，即尸E+R4,此时最小值为E尸，点尸与点G重合

〈VABC中，ZC=90°,440=60。，

・•・ZB=30。，

/.AB=2AC,

•/E是AB的中点，AC=CF,

：.AF=2AC=AB,AE^-AB=AC,

2

又：ZBAC=/FAE,

：.ABAC丝△E4E（SAS）,

EF=BC=6,

/.PE+R4的最小值为6,

故答案为：6.

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的实际应用，轴对称最短路径问题，含30度角的直角三角形的性

质，全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系等等，利用轴对称的性质去构造最短路径的情形是解题

的关键.

11.（23-24七年级下•山东聊城•期末）将长方形纸片ABC。沿AC折叠，边与边。C的交点为E,将纸

片展开铺平（图①）.然后过E点将纸片进行折叠，使AC被折痕所分成的两部分重合，记折痕即所在

直线与AC的交点为G（图②），将纸片展开铺平.再过。点将纸片进行折叠，使AC被折痕O尸分成的两

部分重合，记折痕OP所在直线与AC的交点为H（图③），将纸片展开铺平.连接AE■（图④）.

（1）折痕EF与0P有怎样的位置关系？请说明理由.

⑵若/班C=35。，求一AEF的度数.

【答案】（1）EF〃DP,理由见解析

（2）ZAEF=55°

【分析】村题主要考查折叠的性质，平行线的判定等知识；

（1）由折叠得/AGE=NCGE=90。，ZAHD=ZDHC=90°,可得ZAHD=ZAGE=90。，从而可得结论;

（2）由折叠得/E4c=/B4C=35。，由（1）得NAGE=90。，根据三角形内角和定理可得结论

【详解】（1）解：EF//DP,理由如下：

由折叠的性质得：ZAGE=NCGE,ZAHD=/DHC,

•.♦NAGE+/CGE=180。，

:.ZAGE=ZCGE=90°,

•.•ZAHD+NDHC=180。,

:.ZAHD=ZDHC=90°,

:.AAHD=ZAGE=90°,

:.EF//DP.

（2）解：VAB\\CD,

：.ZACD=ZBAC=35°,

由折叠的性质得，AE=CE,

ZE4C=ZACD=35°,

由（1）得NAGE=90。，

ZAGE+ZAEG+ZEAG=180°,

ZAEG=180°-ZEAG-ZAGE=180°-35°-90°=55°,

:.ZAEF=55°.

12.（2024•山东聊城•二模）综合与实践

教材重现：取一块质地均匀的三角形木板，用一枚铁钉顶在这个三角形的重心上，木板会保持平衡（如图）,

莹莹提前准备了一个等腰三角形纸片A3C,如图，AB=AC=5,BC=6.为了找到重心，以便像教材上

那样稳稳用笔尖顶起，她先把点8与点C重叠对折，得折痕AE,展开后，她把点8与点A重叠对折，得折

痕。尸，再展开后连接C。，交折痕AE于点。，则点。就是VABC的重心.

(1)初步观察：连接AF,判断AF与防的数量关系并说明理由；

(2)猜想验证：莹莹通过测量发现。4与OE,OC与OO有同样的数量关系，写出它们的关系并说明理由;

(3)尝试运用：利用(2)的结论计算△AOC的面积；

(4)拓展探究：莹莹把AAFC剪下后得△女四C,发现可以与拼成四边形，且拼的过程中点A不与点A

重合，直接写出拼成四边形时0A的长.

【答案】(1)AF=3产，见解析

(2)OA=2OE,OC=2OD,见解析

⑶4

(4)0A的长为叵或更亘

36

【分析】(1)利用折叠的性质即可得到答案；

(2)连接DE,易得DE为VABC的中位线，则上〃AC,DE=-AC,于是△0£火64℃4,利用相似三

2

角形的性质即可求解；

(3)由折叠可知，BE=CE=；BC=3,?AEC90?,利用勾股定理求得AE=4,结合(2)的结论，根据

三角形面积公式可求解；

(4)连接。2,由(2)知OA=§,则OE=&,利用勾股定理求得。8=翅，由折叠可知

333

525

?ADF1BDF90?,AFBEA。==—,易证,由相似三角形的性质可求得8尸=一，

26

7

则跖=2,分两种情况讨论：当A与点B重合时，此时。T=O3；当点A与点尸重合时，利用勾股定理求

出OF即可.

【详解】(1)解：：点3与点A重叠对折，得折痕。尸，

:.AADF沿ABDF(折叠的性质)，

，AF=BF；

故答案为：AF=BF-

(2)解：猜想：OA=2OE,OC=2OD

理由如下：连接。E.

OE为VA8C的中位线，

/.DE//AC,DE=-AC,

2

/.ZODE=ZOCAfZOED=ZOAC,

：,AODESQCA,

.OEDE_OD_1

"OA~AC~OC~2f

AOA=2OE,OC=2OD；

(3)解：由折叠可得，BE=CE=；BC=3,ZAEC=90°,

'：AC=5,

AE=^AC2-CE1=4>

由(2)知，OA=2OE,

'：OA+OE=AE=4,

：.OA^-AE^-,

33

11Q

S.=-04CE=-x-x3=4:

iA0nCr223

(4)解：如图，连接02,

在Rt^OBE中，OB=y/OE2+BE2+32=,

由折叠可知，?ADF?BDF90?,AFBF,AD=BD=-AB=-

22

ZBDF=ZBEA=90°,

"：ZFBD=ZABE,

AAFBDS^ABE，

,BPIBF,

BEBAy=—

.25

6

257

EF=BF-BE=——3=-,

66

当A与点B重合时，如图①②，连接

图①

此时OA=OB=叵;

3

：.?AFB?AFC?180?,

此时拼成的图形为三角形，不符合题意;

图③

A

综上所述，0A的长为叵或①..

36

【点睛】本题主要考查折叠的性质、中线的定义、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的

判定与性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是读懂题意，熟知折叠的性质，学会利用数形结合和分

类讨论思想解决问题.

13.(23-24八年级下•山东青岛•期中)如图，小颖同学在边长为1的小正方形组成的网格中，以VA5C为

基本图形，绘制平面图形，请根据下列要求解答问题.

(l)VABC绕点A逆时针旋转度得到△AB©;

(2)在图中画出将VABC关于点A中心对称后得到的△AB2c2.

(3)在以点A为原点，以AC所在直线为y轴建立的平面直角坐标系中，若点3(2,2),请写出它的对称点鸟的

坐标为•

【答案】(1)90

(2)见解析

(3)(-2,-2)

【分析】本题考查了利用旋转设计图案，旋转的性质，三角形的面积的计算，正确地作出图