江苏省宿迁市沭阳县2024～2025学年高二下学期4月期中调研测试数学试卷含答案

/江苏省宿迁市沭阳县2024−2025学年高二下学期4月期中调研测试数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．若，则正整数m的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．72．已知点，若向量，则点的坐标是（

）A． B． C． D．3．在四面体OABC中，，，，点M在OA上，且，N为中点，则等于（

）A． B．C． D．4．（

）A． B． C． D．5．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（

）A．2 B． C． D．6．若平面过点且该平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．7．学校开展班级轮值活动，高二某班有A，B，C，D四个轮值小组负责甲，乙，丙三个地点的站岗值班任务，每个小组负责一个地点，每个地点至少有一个小组负责，且A小组不去甲地点，则不同的任务分配方法种数为（

）A．36 B．24 C．18 D．128．若正整数，满足等式，且，则的值为（

）A．1 B．2 C．2023 D．2024二、多选题（本大题共3小题）9．若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（

）A． B．C． D．10．用数字0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字的四位数，下列说法正确的是（

）A．共可组成360个四位数B．四位偶数有156个C．能被25整除的四位数有21个D．从小到大排列第89个数为234011．已知：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面α的方程为；过点且一个方向向量为的直线l的方程为.利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为，直线l是平面与的交线，则下列说法正确的是（

）A．平面α的一个法向量为B．直线l经过点C．直线l的一个方向向量为D．直线l与平面α所成角的正弦值为三、填空题（本大题共3小题）12．已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为.若，则实数λ的值为.13．的展开式中的系数为（用数字作答）.14．设集合，若I的非空子集满足，我们称有序集合对为I的“互斥集合对”，则集合I的“互斥集合对”的个数为.（用数字作答）四、解答题（本大题共5小题）15．已知.(1)求；(2)当时，求实数k的值.16．高二某班准备从7名班委中（其中男生4人，女生3人）选择4人参加活动.(1)共有多少种不同选法？（结果用数字作答）(2)若要求至少有两名女生，共有多少种不同选法？（结果用数字作答）(3)若7名班委中班长和副班长两人不能同时参加该活动，则不同的选择方法有多少种？（结果用数字作答）17．如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点.

(1)用，，表示；(2)若为棱的中点，求；(3)是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.18．已知.(1)若，求：①的值，②的值；(2)若，求的最小值.19．如图，直角梯形和矩形所在的平面互相垂直，，，.

(1)证明：；(2)若，动点在矩形内（含边界），且.①求动点的轨迹的长度；②设直线与平面所成角为，求的取值范围.

参考答案1．【答案】C【详解】因为，所以，所以，所以，得.故选C.2．【答案】A【详解】设，因为，且，则，所以，即.故选A.3．【答案】D【详解】.故选D.4．【答案】B【详解】，故选B.5．【答案】B【详解】空间向量在向量方向上的投影向量为，因为为单位向量，，，所以，所以，故选B.6．【答案】A【详解】由题意可知：，且平面的一个法向量为，所以点到平面的距离.故选A.7．【答案】B【详解】若甲地去一组，从B，C，D选一组，剩下3组分成2组去两地即可，则有，若甲地去两组，从B，C，D选两组，剩下2组分成2组去两地即可，则有，故共有种，故选B.8．【答案】D【详解】∵，∴.故选D.9．【答案】BCD【详解】对于A：因为，共面，不能构成基底；对于B：设，所以，无解，所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确；对于C：设，显然无解，所以能构成空间的一个基底，C正确；对于D：设，则，所以，无解，所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故D正确；故选BCD.10．【答案】BC【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，由能被整除的数后两位为，则，故C正确；对于D，最高位为的四位数有，前两位为的四位数有，前两位为的四位数有，前三位为的四位数有，由，且，，则从小到大排列第个数为，故D错误.故选BC.11．【答案】ABD【详解】由平面的方程为，所以可得平面法向量为，故A正确；因为直线l是平面与的交线，所以直线l经过的点必在这两个平面上，经检验：满足方程，也满足，故直线l经过点，故B正确；设直线l的一个方向向量为，而平面与的法向量分别为，则有，可得，令，则，所以，故C错误；,故直线l与平面α所成角的正弦值为，故D正确；故选ABD.12．【答案】/2.5【详解】由题意可得：，即，解得：.13．【答案】【详解】因为的二项展开式为，令，可得；令，可得；可得，所以的展开式中的系数为.14．【答案】602【详解】若中只有一个元素，有种选择，此时对应的为的补集中个元素的非空子集有个，故有，若中只有2个元素，有种选择，此时对应的为的补集中4个元素的非空子集有个，故有，若中只有3个元素，有种选择，此时对应的为的补集中3个元素的非空子集有个，故有，若中只有4个元素，有种选择，此时对应的为的补集中2个元素的非空子集有个，故有，若中只有5个元素，有种选择，此时对应的为的补集中1个元素的非空子集有个，故有，所以共有.15．【答案】(1)2(2)－1【详解】（1），所以（2）因为，若，则存在，使得即，所以，解得，所以实数k的值为－1.16．【答案】(1)35(2)22(3)25【详解】（1）（种）（2）（种）（3）（种）17．【答案】(1)(2)(3)存在，为的中点【详解】（1）；（2）若P为棱的中点，则，，所以；（3）设，则，由（1）知所以,即，化简得，解得，所以这样的点存在，且为的中点.18．【答案】(1)①153②78(2)85【详解】（1）因为，所以①令得，，令得，，所以，②令得，，由①得，，所以；（2）由得，，所以，当时，，，当时，，结合二次函数的性质可知当时，所以的最小值为8519．【答案】(1)证明见解析(2)①②【详解】（1）证明：直角梯形和矩形所在的平面互相垂直，且交线为，，平面，所以平面,因为平面，所以，因为，所以，可知，又因为，平面，所以平面，又