初中数学专题11 函数与平面直角坐标系【十大题型】（举一反三）（原卷版）

专题11函数与平面直角坐标系【十大题型】TOC\o"1-3"\h\u【题型1坐标系内点的坐标特征】 2【题型2图形变换与坐标】 2【题型3探索点的坐标规律】 3【题型4与图形面积相关的存在性问题】 4【题型5函数的概念辨析】 6【题型6求自变量的取值范围】 7【题型7根据实际问题列函数解析式】 8【题型8函数图象的识别】 9【题型9从函数图象中获取信息】 10【题型10动点问题的函数图象】 13【知识点函数与平面直角坐标系】1.坐标与象限定义1：我们把有顺序的两个数a与b所组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）。定义2：平面直角坐标系即在平面内画互相垂直，原点重合的两条数轴。水平的数轴称为x轴或横轴，取向右方向为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向。两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。建立平面直角坐标系后，坐标平面被两条坐标轴分成了四个部分，每个部分称为象限，分别叫做第一象限.第二象限.第三象限.第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限。2.函数与图象定义1：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。定义2：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。定义3：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横.纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。

定义4：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法。这种式子叫做函数的解析式。表示函数的方法：解析式法.列表法和图象法。解析式法可以明显地表示对应规律；列表法直接给出部分函数值；图象法能直观地表示变化趋势。画函数图象的方法——描点法：第1步，列表。表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；第2步，描点。在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标.相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；第3步，连线。按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来。【题型1坐标系内点的坐标特征】【例1】（2023·山东·中考真题）在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点P的坐标是（

）A．(4，−5) B．(5,−4) C．【变式1-1】（2023·青海·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是(–2，−1)，若AB//y轴，且AB=9，则点B的坐标是．【变式1-2】（2023·新疆·统考中考真题）在平面直角坐标系中有五个点，分别是A(1,2)，B(−3,4)，C(−2,−3)，D(4,3)，E(2,−3)，从中任选一个点恰好在第一象限的概率是．【变式1-3】（2023·江苏·中考真题）已知点A（2，0）、点B（－12A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【题型2图形变换与坐标】【例2】（2023·吉林松原·校联考一模）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为A1,0，等腰直角三角形ABC的边AB在x轴的正半轴上，∠ABC=90°，点B在点A的右侧，点C在第一象限将△ABC绕点A按逆时针方向旋转75°，如果点C的对应点E恰好落在y轴的正半轴上，那么边AB的长为

【变式2-1】（2023·山东滨州·统考二模）在平面直角坐标系中，点P4,−2关于y轴的对称点的坐标为（

A．4,2 B．−4,2 C．−4,−2 D．−2,4【变式2-2】（2023·广东深圳·中考真题）已知点P(a＋l，2a－3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（）A．a<−1 B．−1<a<32 【变式2-3】（2023·湖北鄂州·校考二模）如图，将一矩形OBAC放在平面直角坐标系中，O为原点，点B，C分别在x轴、y轴上，点A为（8，6），点D为线段OC上一动点．将△BOD沿BD翻折，点O落在点E处，连接CE．当CE的长最小时，点D的坐标为．【题型3探索点的坐标规律】【例3】（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，四边形OABC1是正方形，曲线C1C2C3C4C5⋯叫作“正方形的渐开线”，其中C1C2，C2C3

A．(−1，−2022) C．(−1，−2023) 【变式3-1】（2023·江苏南京·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系，横、纵坐标均为整数的点案如下规律依序排列：(0,0)，(1,0)，(0,1)，(2,0)，(1,1)，(0,2)，(3,0)，(2,1)，(1,2)，(0,3)，(4,0)，(3,1)，(2,2)，(1,3)，…按这个规律，则(6,7)是第个点．

【变式3-2】（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6

31.34 B．31,−34 C．32,35 D．32,0【变式3-3】（2023·山东泰安·统考中考真题）已知，△OA1A2,△A3A4A5

【题型4与图形面积相关的存在性问题】【例4】（2023·湖北孝感·模拟预测）如图在平面直角坐标系中，已知Aa，0，Bb，0，M−1.5(1)求△ABM的面积；(2)在x轴上求一点P，使得△AMP的面积与△ABM的面积相等；(3)在y轴上存在使△BMP的面积与△ABM的面积相等的P点，请直接写出点P的坐标．

【变式4-1】（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）如图，在直角坐标系中，已知A(0,a)、B(b,0)、C(b,c)三点，其中a、b，c满足关系式|a−2|+(b−3)

(1)求a、b、c的值；(2)如果在第二象限内有一点P(m,1)，请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；(3)在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由？【变式4-2】（2023·江苏常州·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a、0），B（b，0），且a，b满足|a+6|+3a−2b+26=0，现将线段AB先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到线段CD，其中点A对应点为C，点B对应点为D，连接AC，(1)请直接写出A，B两点的坐标；(2)如图2，点M是线段AC上的一个动点，点N是线段CD的一个定点，连接MN，MO，当点M在线段AC上移动时（不与A，C重合），探究∠DNM，∠OMN，∠MOB之间的数量关系，并说明理由；(3)在坐标轴上是否存在点P，使三角形PBC的面积与三角形ABD的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

【变式4-3】（2023·湖北襄阳·模拟预测）在直角坐标系中，已知点A、B的坐标是a,0b,0，a，b满足方程组2a+b=−53a−2b=−11，C为y轴正半轴上一点，且(1)求A、B、C三点的坐标；(2)是否存在点Pt,t，使S△PAB=(3)若点C沿x轴负半轴方向以每秒1个单位长度平移至点D，当运动时间t为多少秒时，四边形ABCD的面积S为15个平方单位？求出此时点D的坐标．(4)连接AD、CD，若P为CB上一动点（不与C、B重合）连接DP、AP，探究点P在运动过程中，∠CDP、∠BAP、∠DPA之间的数量关系并证明．

【题型5函数的概念辨析】【例5】（2023·全国·模拟预测）下面的三个问题中都有两个变量：①某地手机通话费为a元/min，某人手机话费卡中共有b元，此后话费卡中的余额y与手机通话的时间x；②将水池中的水匀速排出，直至排完，水池中的剩余水量y与排水时间x；③用长度一定的绳子围成一个等腰三角形，等腰三角形的面积y与腰长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图像表示的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【变式5-1】（2023·甘肃兰州·中考真题）下列各曲线中不能表示y是x的函数是（）．A． B．C． D．【变式5-2】（2023·广东·统考中考真题）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C=2πr．下列判断正确的是（A．2是变量 B．π是变量 C．r是变量 D．C是常量

【变式5-3】（2023·浙江·统考中考真题）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋转时间x（min）之间的关系如图2所示（1）根据图2填表：x（min）036812…y（m）…（2）变量y是x的函数吗？为什么？（3）根据图中的信息，请写出摩天轮的直径．

【题型6求自变量的取值范围】【规律方法】函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．【例6】（2023·湖北·统考中考真题）函数y=1x+1+x−20A．x≥−1 B．x>2 C．x>−1且x≠2 D．x≠−1且x≠2【变式6-1】（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）函数y=2x的自变量x的取值范围是（

A．x≤0 B．x≠0 C．x≥0 D．x≥

【变式6-2】（2023·黑龙江·统考中考真题）在函数y=x5x+3中，自变量x的取值范围是【变式6-3】（2023·黑龙江·统考中考真题）在函数y=1x−1+1x−2【题型7根据实际问题列函数解析式】【例7】（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了千克糯米；设某人的付款金额为x元，购买量为y千克，则购买量y关于付款金额x(x>10)的函数解析式为．【变式7-1】（2023·辽宁大连·统考中考真题）汽车油箱中有汽油30L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km．当0≤x<300时，y与x的函数解析式是（

）A．y=0.1x B．y=−0.1x+30 C．y=300x 【变式7-2】（2023·山西·统考中考真题）一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度ycm

A．y=12−0.5x B．y=12+0.5x C．y=10+0.5x D．y=0.5x【变式7-3】（2023·四川·统考中考真题）盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是38，则x和y满足的关系式为

【题型8函数图象的识别】【例8】（2023·四川雅安·统考中考真题）“和谐号”动车从萍乡北站出发，加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间后，动车减速到达下一个车站并停靠，乘客上下车后，动车又加速，一段时间后再次开始匀速行驶.下列图中可以近假刻画该动车在这段时间内速度变化情况的是（

）A．

B．

C．

D．

【变式8-1】（2023·四川·统考中考真题）向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深h与注水量v的函数关系的大致图象是（）

B．

C．

D．

【变式8-2】（2023·湖北·统考中考真题）如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为t,y1（细实线）表示铁桶中水面高度，y2（粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水），则y1,

B．

C．

D．

【变式8-3】（2023·山东滨州·统考中考真题）由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH>7时溶液呈碱性，当pH<7时溶液呈酸性．若将给定的NaOH溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映NaOH溶液的pH与所加水的体积A．

B．

C．

D．

【题型9从函数图象中获取信息】【例9】（2023·湖北鄂州·校考模拟预测）某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，他们一天生产零件的个数y与生产时间t的关系如图所示．

(1)根据图象填空：①甲、乙两人中，先完成一天的生产任务;在生产过程中，因机器故障停止生产________时;②当t=时，甲、乙生产的零件个数相等;(2)谁在哪一段时间内的生产速度最快，求该段时间内，他每小时生产零件的个数．【变式9-1】（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）一条小船沿直线从A码头向B码头匀速前进，到达B码头后，停留一段时间，然后原路匀速返回A码头．在整个过程中，这条小船与B码头的距离x（单位：m）与所用时间t（单位：min）之间的关系如图所示，则这条小船从A码头到B码头的速度和从B码头返回A码头的速度分别为（

）

A．15m/min，25m/minB．25m/min，15m/minC．25m/min，30m/min D．30m/min，25m/min

【变式9-2】（2023·辽宁阜新·统考中考真题）德力格尔草原位于彰武县境内，以草场资源丰富，景色优美著称．今年5月在此举办的“漠上草原欢乐跑”首届马拉松比赛，吸引了千余名国内外选手参加．甲、乙两名选手同时参加了往返10km（单程5km）的业余组比赛，如果全程保持匀速，甲、乙之间的距离s（km）与甲所用的时间（h）之间的函数关系如图所示，那么当甲到达终点时，乙距离终点

【变式9-3】（2023·北京·统考中考真题）某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下．每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁度为0.990方案一：采用一次清洗的方式．结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990．方案二：采用两次清洗的方式．记第一次用水量为x1个单位质量，第二次用水量为x2个单位质量，总用水量为x1x11.09.09.07.05.54.53.53.03.02.01.0x0.81.01.31.92.63.24.34.05.07.111.5x11.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5C0.9900.9890.9900.9900.9900.9900.9900.9880.9900.9900.990对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容．（Ⅰ）选出C是0.990的所有数据组，并划“√”；（Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量x1和总用水量x1+

结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为______个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小．根据以上实验数据和结果，解决下列问题：（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约______个单位质量（结果保留小数点后一位）；（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单