【2025年新高考备考】数学一轮复习-第04讲 基本不等式及其应用（十八大题型）（讲义）（解析版）

第04讲基本不等式及其应用目录TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透视·目标导航 202知识导图·思维引航 303考点突破·题型探究 4知识点1：基本不等式 4解题方法总结 4题型一：基本不等式及其应用 5题型二：直接法求最值 8题型三：常规凑配法求最值 9题型四：化为单变量法 11题型五：双换元求最值 12题型六：“1”的代换求最值 15题型七：齐次化求最值 17题型八：利用基本不等式证明不等式 20题型九：利用基本不等式解决实际问题 22题型十：与a+b、平方和、ab有关问题的最值 25题型十一：三角换元法 28题型十二：多次运用基本不等式 32题型十三：待定系数法 35题型十四：多元均值不等式 36题型十五：万能K法 38题型十六：与基本不等式有关的恒(能)成立问题 41题型十七：基本不等式与其他知识交汇的最值问题 43题型十八：整体配凑法 4504真题练习·命题洞见 4705课本典例·高考素材 5006易错分析·答题模板 52易错点：忽视基本不等式应用条件 52答题模板：利用基本不等式求最值（和定或积定） 52

考点要求考题统计考情分析（1）了解基本不等式的推导过程．（2）会用基本不等式解决简单的最值问题．（3）理解基本不等式在实际问题中的应用．2022年II卷第12题，5分2021年乙卷第8题，5分2020年天津卷第14题，5分高考对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题．复习目标：1、掌握基本不等式的内容．2、会用基本不等式解决常考的最大值或最小值问题．3、会用基本不等式解决实际问题．

知识点1：基本不等式如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号；基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号．注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．解题方法总结1、几个重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）．特例：（同号）．（3）其他变形：①（沟通两和与两平方和的不等关系式）②（沟通两积与两平方和的不等关系式）③（沟通两积与两和的不等关系式）④重要不等式：即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）．2、均值定理已知．（1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”．（2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”．3、常见求最值模型模型一：，当且仅当时等号成立.模型二：，当且仅当时等号成立．模型三：，当且仅当时等号成立.模型四：，当且仅当时等号成立.题型一：基本不等式及其应用【典例1-1】下列不等式证明过程正确的是（

）A．若，则B．若x＞0，y＞0，则C．若x＜0，则D．若x＜0，则【答案】D【解析】∵可能为负数，如时，，∴A错误；∵可能为负数，如时，，∴B错误；∵，如时，，∴C错误；∵，，，∴，当且仅当，即等号成立，∴D正确．故选：D．【典例1-2】（2024·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】由图知：，在中，，所以，即，故选：C【方法技巧】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证．【变式1-1】下列结论正确的是（

）A．当时， B．当时，的最小值是C．当时， D．当时，的最小值为1【答案】C【解析】对于A，当时，，故A错误，对于B，当时，，当且仅当时等号成立，故B错误，对于C，当时，，当且仅当即时等号成立，故C正确，对于D，当时，，当且仅当即时等号成立，故D错误，故选：C【变式1-2】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】x，y都是正数，由基本不等式，，，，这三个不等式都是当且仅当时等号成立，而题中，因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立；中当且仅当时取等号，如即可取等号，D中不等式不恒成立．故选：D．【变式1-3】给出下面四个推导过程：①∵a，b为正实数，∴；②∵x，y为正实数，∴；③∵，，∴；④∵，，∴．其中正确的推导为（

）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】D【解析】根据基本不等式的条件判断，①，∴，因此正确；②时，若，则，不等式错误；③时，不等式错误；④，则，，因此不等式正确，从而不等式正确．故选：D．题型二：直接法求最值【典例2-1】若实数满足，则的最小值为．【答案】【解析】,当且仅当，即时取到等号.故答案：.【典例2-2】（2024·湖北孝感·模拟预测）的最小值为.【答案】9【解析】，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9.故答案为：9【方法技巧】直接利用基本不等式求解，注意取等条件．【变式2-1】（2024·上海崇明·二模）已知正实数a、b满足，则的最小值等于．【答案】4【解析】，当，即，时等号成立，则的最小值为4．故答案为：4．【变式2-2】（2024·天津南开·一模）已知实数，则的最小值为.【答案】【解析】∵，，，∴，当且仅当即时取等号.故答案为：.题型三：常规凑配法求最值【典例3-1】函数的最大值是（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】由题意，函数又由，当且仅当，即时等号成立，所以，所以即函数的最大值是.故选：C.【典例3-2】（2024·广东·模拟预测）已知，且，则的最小值为，此时．【答案】12或1【解析】因为，所以，所以，当且仅当时取到等号，故的最小值为12，此时满足，解方程得或，故或1.故答案为：12；或1【方法技巧】1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．2、注意验证取得条件．【变式3-1】若，则的最小值为.【答案】0【解析】由，得，所以，当且仅当即时等号成立.故答案为：0【变式3-2】函数（）的最小值为．【答案】/【解析】因为，所以，所以，当且仅当时，即时，等号成立，故的最小值为.故答案为：【变式3-3】（2024·高三·天津河北·期末）已知，则的最小值为.【答案】/【解析】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为.故答案为：.题型四：化为单变量法【典例4-1】（2024·高三·上海·竞赛）若正实数满足，则的最小值是.【答案】9【解析】解析一:，则，等号成立时.所以的最小值是9.解析二:，则，等号成立时所以的最小值是9.故答案为：9.【典例4-2】（2024·天津河东·一模）若，则的最小值为．【答案】4【解析】由，故，当且仅当时等号成立，故最小值为4，故答案为：4【方法技巧】化为单变量法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！【变式4-1】（2024·陕西西安·三模）已知，，则的最小值为．【答案】/【解析】因为，且，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为．故答案为：．【变式4-2】已知实数满足，则的最小值是．【答案】/【解析】由可得：，将其代入，则有：，因，故有：，当且仅当时等号成立，即时，取得最小值.故答案为：.题型五：双换元求最值【典例5-1】设为正实数，且，则的最小值为.【答案】【解析】∵,令，∴，∴，∴又∵∴；当且仅当时，即时取得最小值，∴的最小值为.故答案为：【典例5-2】（2024·江苏南京·三模）若实数满足，则的最大值为.【答案】【解析】已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值.由，得，设，其中.则，从而，记，则，不妨设，则,当且仅当，即时取等号，即最大值为.故答案为：.【方法技巧】若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．1、代换变量，统一变量再处理．2、注意验证取得条件．【变式5-1】若非零实数，满足，则的最大值为.【答案】【解析】令，，则，所以，因为，所以,所以，所以，从而，当且仅当时，等号成立，故取得最大值.故答案为：.【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）已知，则的取值范围是．【答案】【解析】设，，得到，，于是，当且仅当，即时，等号成立，即，又因为，解得，，满足．，，令，则，令，得，此时函数单调递增；令，得，此时函数单调递减，，又当时，，当时，，，．故答案为：.题型六：“1”的代换求最值【典例6-1】已知，，且，则的最小值为．【答案】16【解析】当且仅当时等号成立.即当时，取得最小值为16.故答案为：16.【典例6-2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数，且，则的最小值是．【答案】24【解析】因为，且，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立，故答案为：【方法技巧】1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．1、根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法．2、注意验证取得条件．【变式6-1】（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值是．【答案】/．【解析】由，得，因为，，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值是．故答案为：．【变式6-2】（2024·河南·三模）在中，角的对边分别为，若，则的最小值为．【答案】【解析】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为．故答案为：.【变式6-3】（2024·陕西咸阳·一模）已知，且，则的最小值为．【答案】/【解析】由，，得，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值.故答案为：题型七：齐次化求最值【典例7-1】已知，，，则（

）A．S的最大值是 B．S的最大值是C．S的最大值是 D．S的最大值是【答案】B【解析】∵，令，∵，，则，当且仅当，即时等号成立，故，可得，又∵在上单调递增，则，∴，即S的最大值是.故选：B.【典例7-2】已知正实数满足，则的最小值为.【答案】【解析】任意的正实数，，，满足，所以，由于，为正实数，故由基本不等式得，当且仅当，即，时，等号成立，所以，当且仅当，即时，等号成立，综上，的最小值为16．故答案为：16．【方法技巧】齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解．【变式7-1】（四川省成都市第七中学2024届高三三诊模拟考试文科数学试卷）设，若，则实数的最大值为（

）A． B．4 C． D．【答案】A【解析】因为，若，可得，设，只需要小于等于右边的最小值即可，则，令，可得，所以，当且仅当，即时取等号，所以，即的最大值为．故选：A．【变式7-2】已知，，，则的最小值是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】，，，即有且，将代入得，令，，，，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值，即的最小值是.故选：D.题型八：利用基本不等式证明不等式【典例8-1】（2024·全国·模拟预测）已知正实数满足．求证：(1)；(2)．【解析】（1）由，且可得，故，当且仅当时等号成立．，，当且仅当时等号成立．（2），当且仅当时等号成立．故．【典例8-2】（2024·陕西西安·二模）已知函数的最小值是.(1)求的值；(2)若，，且，证明：.【解析】（1）当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；综上所述，函数的最小值是2，即.（2）要证，即证，即证，因为，，且，故只需证，由基本不等式可知，，当且仅当时，等号成立，故命题得证.【方法技巧】类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明．【变式8-1】（2024·高三·陕西西安·期中）已知，且.(1)求的最大值与最小值；(2)证明：.【解析】（1）因，由均值不等式，.则，注意到函数在上单调递减，在上单调递增.得.即时，有最小值；时，有最大值；（2）由均值不等式，，当且仅当时取等号.又由（1），，当且仅当时取等号.注意到前后取等条件不一致，则.【变式8-2】（2024·河南·模拟预测）已均为正数，且，证明：(1)；(2)．【解析】（1）证明：由柯西不等式可得，当且仅当时取等号．即，则原式成立；（2）证明：．当且仅当时取等号.【变式8-3】（1）设且．证明：；（2）已知为正数，且满足．证明：【解析】（1）因为，所以，因为，所以，，都不为，则，所以.（2）因为a，b，c为正数，，所以，所以，因为，所以，当且仅当时取等号，即题型九：利用基本不等式解决实际问题【典例9-1】（2024·广东湛江·二模）当，时，.这个基本不等式可以推广为当x，时，，其中且，.考虑取等号的条件，进而可得当时，.用这个式子估计可以这样操作：，则.用这样的方法，可得的近似值为（

）A．3.033 B．3.035 C．3.037 D．3.039【答案】C【解析】依题意，，则.故选：C【典例9-2】（2024·云南楚雄·模拟预测）足球是一项深受人们喜爱的体育运动.如图，现有一个11人制的标准足球场，其底线宽，球门宽，且球门位于底线的中间，在某次比赛过程中，攻方球员带球在边界线上的点处起脚射门，当最大时，点离底线的距离约为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，，所以；记可得；，当取最大时，取最大即可，易知，此时取到最大值，当且仅当时，即时，等号成立，将代入可得.故选：C【方法技巧】1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题．2、注意定义域，验证取得条件．3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等．【变式9-1】（2024·湖南·一模）某农机合作社于今年初用98万元购进一台大型联合收割机，并立即投入生产.预计该机第一年（今年）的维修保养费是12万元，从第二年起，该机每年的维修保养费均比上一年增加4万元.若当该机的年平均耗费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是（

）A．6年 B．7年 C．8年 D．9年【答案】B【解析】设第年的维修保养费为万元，数列的前项和为，该机的年平均耗费为，据题意，数列是首项为12，公差为4的等差数列.则.当且仅当，即时，取最小值38.所以这台冰激凌机的使用年限是7年.故选:.【变式9-2】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为，则（

）A． B． C． D．的大小无法确定【答案】B【解析】由题意得，，因为，故，，即，故选：B【变式9-3】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.（

）A．1.73 B．1.41 C．2.24 D．2.45【答案】A【解析】如图，设观赏者的眼睛在点处，油画的上沿在点处，下沿在点处，点在线段延长线上，且保持与点在同一水平线上，则即观赏时的视角.依题意，不妨设，则，在中，由余弦定理，，因，则，当且仅当时，即时等号成立，由可得，则，则，因函数在上单调递减，故得，即最大视角为，此时观赏者距离油画的直线距离为.故选：A.题型十：与a+b、平方和、ab有关问题的最值【典例10-1】（多选题）（2024·湖南·模拟预测）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】解析：对于A和B，因为，所以，当且仅当时，等号成立，，则，当且仅当时，等号成立，故A错误，B正确；对于C，若，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，故C错误；对于D，若，则，所以，由及，可知，则当，即时，取得最小值，故D正确．故选：BD．【典例10-2】（多选题）（2024·高三·海南·期末）已知，且，则（

）A． B．或C． D．或【答案】BD【解析】对于A，，因为，，令，得，解得或，即或，当且仅当或时，等号成立，故A错误；对于B，，解得或，当且仅当或时，等号成立，故B正确；对于C，，所以，当且仅当或时，等号成立，故C错误；对于D，，由选项B知，或，所以或，则或，故D正确.故选：BD.【方法技巧】利用基本不等式变形求解【变式10-1】（多选题）若，，，则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】对于A，，，，则，当且仅当，即时取等号，A正确；对于B，，，，又，则，当且仅当时取等号，B错误；对于C，，，则，当且仅当时取等号，C正确；对于D，，，，则，当且仅当，即时取等号，D正确，故选：ACD【变式10-2】（多选题）已知正数满足，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】对于A：因为，所以，当且仅当时取等号，所以不恒成立，故错误；对于B：因为且，所以，所以，当且仅当时取等号，故正确；对于C：因为，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，故正确；对于D：由C可知错误；故选：BC.题型十一：三角换元法【典例11-1】（多选题）若x，y满足，则（

）.A． B．C． D．【答案】AD【解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，故A正确，B错误；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，故D正确；因为变形可得，设，所以，因此，所以当时，即时，此时，取到最大值2，故C错误.故选：AD.【典例11-2】已知非负实数，满足，则的最大值为.【答案】【解析】由，得，用换元法，令，，将问题转化为三角函数求最值，即可求得答案.由题意得：，令，，又，为非负实数，，，，即，解得，.故（其中），，即，，即又在上单调递增，∴当时，取得最大值，故当，时，取得最大值，最大值为.故答案为：【变式11-1】已知实数满足，则的最大值为.【答案】【解析】由条件知令，则，令，则，当时，，当时，时，，故当时，单调递减，当时，单调递增，当时，取得最大值，故答案为：【方法技巧】出现平方和结构（）形式，引入三角函数表示和.【变式11-2】已知，满足，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】采用三角代换的方式化简原式，然后利用换元法以及二次函数的值域求解最值，注意等号成立的条件.令，，，，因为，所以，可得，所以所以，当且仅当，，，时取等号，即当且仅当时，的最小值为，故选：A【变式11-3】（2024届广东省惠州市大亚湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一）数学试卷）已知为函数图象上一动点，则的最大值为．【答案】【解析】设，原点，则，；所以，即，如图所示，所以当直线与函数在轴右侧相切时，取到最大值，即取得最大值；联立直线与函数可得，所以，解得（舍去）；此时，所以，即的最大值为.故答案为：【变式11-4】（2024·高三·重庆·开学考试）已知实数满足，则的最大值为；的取值范围为．【答案】1【解析】由题意，等号成立当且仅当，即的最大值为1；由题意，因为，所以设，所以，所以，所以，令，，所以，又，所以，所以.故答案为：1；.题型十二：多次运用基本不等式【典例12-1】（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值为．【答案】64【解析】法一：因为，，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以，当且仅当，即，时，等号成立．所以的最小值为64．法二：因为，，，所以，当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值为64．故答案为：64.【典例12-2】已知正实数、、满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由可得出，利用不等式的性质结合基本不等式可求得的最小值.，，，由于、、均为正数，则，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的最小值是.故选：C.【方法技巧】多次运用不等式求最值，取到最值时要注意的是每次取等的条件是否一致.【变式12-1】（2024·天津·一模）已知，则的最小值为.【答案】4【解析】化简原式为，两次运用基本不等式可得结果.，当且仅当，即等号成立，所以，的最小值为4，故答案为：4.【变式12-2】对任意的正实数，满足，则的最小值为.【答案】【解析】任意的正实数，满足，由于为正实数，故由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，所以，当且仅当，即时，等号成立，综上，的最小值为.故答案为：题型十三：待定系数法【典例13-1】（2024·高三·河北邢台·期末）设，若，则的最小值为（

）A．6 B． C． D．4【答案】D【解析】设，，令，解得，所以，即，当且仅当，时，等号成立．故选：D.【典例13-2】已知实数，，满足，则的最大值为【答案】【解析】设，因为，所以，令，解得或（舍去），因此，即，当且时取等号，故的最大值为.故答案为：【方法技巧】出现结构形式，通常用待定系数法.【变式13-1】已知x，y，z为正实数，则的最大值为A．1 B．2 C． D．【答案】C【解析】因为，所以的最大值为，选C.【变式13-2】为正整数，求的最小值为.【答案】4【解析】由题意知，引入参数k，使之满足,当且仅当，且，即时，等号成立，所以，故的最小值为4.故答案为：4.题型十四：多元均值不等式【典例14-1】已知，则的最小值为.【答案】【解析】依题意，，则，且，，当且仅当时等号成立.故答案为：【典例14-2】函数的最小值是（

）A． B．3 C． D．【答案】D【解析】设，则，，因为，由对勾函数性质可知在上单调递增，所以.故选：D.【方法技巧】，为正数.【变式14-1】已知xyz+y+z=12，则的最大值为.【答案】3【解析】由已知条件有，，则，当且仅当，y=z=4时取得最大值3.故答案为：3．【变式14-2】设正实数满足，则的最小值为.【答案】6【解析】由三元均值不等式，可得

①.

②当且仅当时，①中等号成立；当且仅当时，②中等号成立.①+②，得.又已知，故，整理得.当且仅当时等号成立.所以，的最小值为6.题型十五：万能K法【典例15-1】（2024·安徽·模拟预测）已知正实数满足，则的取值范围为.【答案】【解析】根据题意可得：，即，设，则：，，，，，解得或，又，，化简得，①当时，不等式不成立；②当时，，即，，又恒成立，可得，的取值范围为.故答案为：.【典例15-2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，则，方程可化为，整理得，则满足，解得，所以，即，所以的最大值为.故选：B.【方法技巧】利用一元二次方程有实数根时.【变式15-1】若正数，，满足，则的最大值是.【答案】【解析】把式子看作是关于的方程，则问题等价于关于的方程有解，则，即，则问题转化为关于的不等式有解，则，化简得，所以，此时，，符合条件.故答案为：【变式15-2】已知实数x，y，z满足，则下列说法错误的是（

）A．的最大值是 B．的最大值是C．的最大值是 D．的最大值是【答案】A【解析】对于C，由，整理得，，可以看作关于的一元二次方程，所以，即，可以看作关于的一元二次不等式，所以，解得，当时，，，所以x的最大值是，故C正确；对于B，由，即，即，令，，，则，即，即，由，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立，即，所以即，即，所以，即，即，当且仅当，即时等号成立，对于D，所以的最大值是，故B正确；由，即，所以，即，当且仅当，时等号成立，所以的最大值是，故D正确；对于A，取，，，则，而，又，而，所以，故A错误.故选：A.题型十六：与基本不等式有关的恒(能)成立问题【典例16-1】已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，且，所以，当且仅当时取等号，又因为恒成立，所以，解得.所以实数的取值范围是.故选：D【典例16-2】已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，故，，，，故，当且仅当，即时取等号，故，最小值是16，由不等式恒成立可得.a的取值范围是，故选：B.【方法技巧】，使得，等价于，，使得，等价于【变式16-1】（2024·辽宁·模拟预测）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为．【答案】【解析】∵，则，原题意等价于对任意恒成立，由，，则，可得，当且仅当，即时取得等号，∴，解得．故正实数的取值集合为.故答案为：．【变式16-2】（2024·山西晋中·二模）若对任意，恒成立，则实数的取值范围是.【答案】【解析】因为对任意，恒成立，只需满足，因为，所以，当且仅当，即时取等号.故实数的取值范围是.故答案为：题型十七：基本不等式与其他知识交汇的最值问题【典例17-1】（2024·上海杨浦·一模）已知（、为正整数）对任意实数都成立，若，则的最小值为.【答案】【解析】,=,因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，的最小值为，故答案为：.【典例17-2】（2024·四川南充·二模）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知．则的最大值为【答案】/【解析】因为，所以由正弦定理可得.由余弦定理，得，整理得.因为，当且仅当时，等号成立，所以，又，所以，即.故答案为：.【方法技巧】基本不等式经常与解三角形、数列、立体几何、解析几何等知识汇合求最值.【变式17-1】（2024·宁夏银川·二模）已知，P是椭圆上的任意一点，则的最大值为.【答案】【解析】由已知可得为椭圆的焦点，根据椭圆定义知，所以，当且仅当时等号成立，故的最大值为.故答案为：.【变式17-2】（2024·全国·模拟预测）已知正三棱锥满足，则该三棱锥侧面积的最大值为．【答案】【解析】如图所示，设为的外心，为的中点，连接，设，．因几何体为正三棱锥，则平面，O为重心，则．注意到，，则，所以，所以．又中，有，所以．记三棱锥的侧面积为，在中，，又，，则.故，而，当且仅当，即时取等号，所以该三棱锥侧面积的最大值为．故答案为：.题型十八：整体配凑法【典例18-1】（2024·辽宁葫芦岛·二模）若，则的最小值是（

）A． B．1C．2 D．【答案】C【解析】，当且仅当时取等号，因此，即，解得，所以当时，取得最小值2.故选：C【典例18-2】（2024·山东潍坊·二模）已知正实数a，b满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】因为，所以，当且仅当时等号成立，因为，所以，即，所以，即，因为为正实数，所以，因此，故的最大值为，此时，故选：B.【方法技巧】整体配凑法原理是把目标当作一个整体，然后利用基本不等式求最值.【变式18-1】（2024·高三·湖北·开学考试）已知正数满足，则的最大值是.【答案】【解析】设，则，所以，当且仅当时取等号.所以，解得，即的最大值，当且仅当，即，时取等号.故答案为：【变式18-2】（2024·全国·模拟预测）在解决问题“已知正实数满足，求的取值范围”时，可通过重新组合，利用基本不等式构造关于的不等式，通过解不等式求范围．具体解答如下：由，得，即，解得的取值范围是．请参考上述方法，求解以下问题：已知正实数满足，则的取值范围是．【答案】【解析】因为，所以，得，即，解得的取值范围是．故答案为：．【变式18-3】已知为正实数且，则的取值范围为.【答案】[2，4]【解析】因为正实数，则有，当且仅当时取“=”，而，于是得，从而得，整理得，解得，显然当且仅当时，取最小值2，当且仅当时，取最大值4，所以的取值范围为[2，4].故答案为：[2，4]1．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】［方法一］：（指对数函数性质）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.综上，.［方法二］：【最优解】（构造函数）由，可得．根据的形式构造函数，则，令，解得，由知.在上单调递增，所以，即，又因为，所以.故选：A.【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．2．（2021年浙江省高考数学试题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】法1：由基本不等式有，同理，，故，故不可能均大于.取，，，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.法2：不妨设，则，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，，，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.3．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）下列函数中最小值为4的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选：C．1．（1）已知，求