广东省清远市第三中学教育集团2025届高三第三次模拟考试数学试题(含解析)

第=page11页，共=sectionpages11页广东省清远市第三中学教育集团2025届高三第三次模拟考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x>1}，B=xx2−x≥0A.[0,2) B.(1,2] C.(1,2) D.(2,+∞)2.如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为(

)

A.23 B.13 C.3.若直线l:y=kx(k>0)与双曲线C:yA.(0,32) B.(34.已知a>0且a≠1，函数f(x)=−|x+3a−6|,x⩽0ax,x>0，满足对任意实数xA.(2,3) B.(2,3] C.(2,735.复数(1+i)2=A.2−2i B.2+2i C.−2i D.2i6.已知菱形ABCD的边长为1,∠DAB=60∘,E是BC的中点，AE与BD相交于点FA.23 B.56 C.1 7.已知cosα+β=19,A.19 B.29 C.−18.定义在[0,1]上的函数f(x)满足f(0)=0,f(x)+f(1−x)=1,fx5=12f(x)，且当A.1256 B.1128 C.164二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知点P在圆(x−5)2+(y−5)2=16上，点A(4,0)A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2

C.当∠PBA最小时，|PB|=32 D.当∠PBA10.已知函数f(x)=|x−a|+|x−a2|A.若f(0)=2，则a=±1

B.若f(x)为偶函数，则f(x)≥2

C.有且仅有2个a使得f(x)的最小值为0

D.若函数f(x)的图象与y=x的图象有且仅有两个交点，则a11.下列命题中，真命题的是(

)A.中位数就是第50百分位数

B.已知随机变量X∼Bn,12，若D(2X+1)=5，则n=5

C.已知随机变量ξ，η满足η=−ξ+8，若E(ξ)=6，D(ξ)=2.4，则E(η)=2，D(η)=10.4

D.已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知F1,F2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点，以13.若圆M:(x−1)2+(y−m)2=25被直线3x−4y−7=0所截得的弦长为10，过点P(−7,5)作圆M的切线，其中一个切点为A，则14.如图，由9个单位小方格组成的3×3方格表中共有16个格点，将每个格点染成灰色或黑色，满足：若任意4个格点构成矩形的4个顶点，则这4点中至多有2点被染成灰色.则被染为灰色的格点数目最多为

．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)在▵ABC中，a(1)求cosA(2)若a=210，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得▵ABC条件①：B=3π条件②：b=6；条件③：cosC=注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．16.(本小题15分)已知椭圆E:x2a2+y2(1)求椭圆C的方程；(2)已知点A0,−2，过点P0,−3且斜率为k(k>0)的直线l与椭圆E相交于不同两点B、C，直线AB、AC分别与直线y=−3交于点M、N，当∣PM∣+∣PN∣≤15时，求斜率k17.(本小题15分)如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，且▵ABD是等边三角形，(1)求证：BD⊥平面PAC(2)若▵PAB是等腰三角形，求异面直线PB与AC所成角的余弦值．18.(本小题17分)已知函数fx=kx(1)当k>2时，求函数fx(2)当k=2时，求fx(3)若函数fx图象上有三个点A，B，C，并且从左到右横坐标成等差数列，判断曲线fx在点B处的切线斜率与A，C19.(本小题17分)已知有限数列M:a1,a2,⋯,aN，其中ai∈[0,1),i=1,2,⋯N(N≥3).在M中选取若干项按照一定次序排列得到的数列称为M的一个子列，对某一给定正整数(1)判断M：12，13，14，34，15，4(2)若N=5，是否存在M具有性质G4？若存在，写出一个M(3)若N=7，且存在M具有性质Gt，求t的取值范围．

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：∵集合A={x|x>1}

B={x|x2−x⩾0}=x0⩽x<2

∴A∩B={x|1<x<2}2.【答案】C

【解析】∵剪下圆的直径为2，

∴圆锥底面圆的半径为1，周长为2π，

设剪下扇形所在圆的半径为R，

则扇形弧长为：2π=90π×R180，

∴R=4，即圆锥的母线长为4，

∴圆锥的高为16−1=3.【答案】B

【解析】双曲线C:y2直线l:y=kx(k>又直线l过原点，则k则k的取值范围是(故选：B．4.【答案】D

【解析】∵对任意实数x1，x2(∴f(x)函数f(x)=−|x+3a−6|y=ax在(0,+∞−3a+6解可得，1<故选：D．5.【答案】D

【解析】(1+i)2=1+2i+i26.【答案】B

【解析】因为AD//BE，则∠DAF=∠BEF所以AFEF=AD故AF=2故选：B7.【答案】D

【解析】因为cosα+βcos所以sinα故选：D．8.【答案】D

【解析】∵f(0)=0,f(x)+f(1−x)=1令x=1得：f(1)=1，又fx反复利用fxf1再令x=12，由f(x)+f(1−x)=1，可求得同理反复利用fxf1由①②可得：有f1∵0≤x1<所以f1f1故f1故选：D．9.【答案】ACD

【解析】∵A(4,0)，B(0,2)，

∴过点A、B的直线方程为x4+y2=1，即x+2y−4=0，

圆(x−5)2+(y−5)2=16的圆心坐标为(5,5)，半径为4，

则圆心到直线x+2y−4=0的距离d=|1×5+2×5−4|12+22=115=1155>4，

∴点P到直线AB的距离的范围为[1155−4,1155+4]，

∵1155<5，∴1155−4<1，1110.【答案】ACD

【解析】f(0)=a2+|a|=2，因此可解得a=±1，A对；

若f(x)为偶函数，其中a=0时f(x)=2|x|≥0，B错；

令f(x)的最小值|a2−a|=0，从而a=0或a=1，C对；

 ①当a>1时，f(x)=a+a2−2x,x<aa2−a,a≤x≤a22x−a−a2,x>a2，

可知若f(x)与y=x有且仅有两个交点，只需点(a2,a2−a)，在y=x的图象的下方，即a2>a2−a，可得1<a<2;

 ②当0<a≤1时，f(x)−a+a2−2x⋅x<a2a−a2,a2≤x≤a2x−a−a2,x>a11.【答案】AB

【解析】对于A选项，中位数就是第50百分位数，A选项正确．对于B选项，已知随机变量X～B(n,12)，根据二项分布的方差公式D(X)=np(1−p)(其中n是试验次数，p是每次试验成功的概率)又因为D(aX+b)=a2D(X)(a、b为常数)已知D(2X+1)=5，即4×n4=5，解得对于C选项，已知随机变量ξ，η满足η=−ξ+8，根据期望的性质E(aξ+b)=aE(ξ)+b(a、b为常数)，可得因为E(ξ)=6，所以E(η)=−再根据方差的性质D(aξ+b)=a2D(ξ)(a、b为常数)因为D(ξ)=2.4，所以D(η)=2.4≠10.4，C选项错误．对于D选项，设男生样本为x1,x2,⋯,x100，平均数为x=172，方差为总体样本平均数z=根据分层抽样样本方差公式s2=nxnx+s==132.25≠120，所以D选项错误．故选：AB．12.【答案】2

【解析】如图，设Q为PF由题意：OP=OF所以Q是线段F1所以∠F又直线OP，OQ是双曲线的渐近线，由双曲线对称性知∠POF所以∠POF2=∠所以ba所以离心率e=c故答案为：213.【答案】5【解析】圆M:(x−1)2+(y−m)2=25，半径为5，

被直线3x−4y−7=0所截得的弦长为10=2×5，可知直线3x−4y−7=0过圆心M(1,m)，

即3−4m−7=0，可得m=−1，即圆心为M(1,−1)，

则14.【答案】6

【解析】若其中一行4个格点均涂成灰色，则每一列均不能再涂灰色，此时灰色的格点数目为4；若其中一行有3个格点涂成灰色，则这三个灰色格点所在的列均不能再涂灰色，且剩余一列至多3个格点可以涂成灰色，此时灰色的格点数目最多为6；若每一行有2个格点可以涂成灰色，这两个灰色格点所在的列均不能再涂灰色，且剩余2列至多3个格点可以涂成灰色，此时灰色的格点数目最多为5；若每行4个格点均只有1个或0个涂成灰色，符合题意，但灰色的格点数目不为最多；

综上所述：染为灰色的格点数目最多为6．故答案为：6．15.【解析】(1)由正弦定理asinA=得sinAcosB+由A+B+C=π，得sin(A+B)=sin由0<C<π，得sin(2)选择条件①：因为0<cosA=14<故π4<A<π2，又因为选择条件②：由A∈0,π，且cos由余弦定理a2=b解得c=4或c=−1(舍设边BC上的高为ℎ，则三角形面积S=1所以ℎ=bc选择条件③：由A∈0,π，且cos由C∈0,π，且cos所以sinB=由正弦定理，得b=asinBsinA

16.【解析】(1)由椭圆E:x2a2+y2可得e=ca=5(2)设直线l:y=kx−3，联立方程组x25+则Δ=(−30k)2−45k2+4设Bx1则直线AB的方程为y=y1+2x1直线AC的方程为y=y2+2x2当PM+PN≤15时，且−将y1代入可得x1y1+2+所以斜率k的取值范围为1,3．

17.【解析】(1)因为底面ABCD是平行四边形，且▵ABD所以四边形ABCD是菱形，则有BD⊥又PA⊥平面ABCD，BD⊂平面所以PA⊥又PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC所以BD⊥平面PAC(2)设AC∩∵▵∴PA=AB=2，AO=OC=以O为坐标原点，射线OB，OC分别为x轴，y轴的正半轴建立空间直角坐标系O−xyz，如图，则P0,−3,2，A所以PB=1,设PB与AC所成角为θ，所以cos=1即PB与AC所成角的余弦值为6

18.【解析】(1)由f′x=2kx−k+2令f′x=0，得x=12或1k令f′x>0，解得0<x<1所以fx的单调增区间为0,1k(2)当k=2时，fx=2x又f′x=2x−12x所以fx>0的解集为(3)设Ax1,fx1，Bx2曲线fx在点B处切线斜率为kA,C两点连线斜率为k=kx∴=2令t=x3x令gt=2t−1则g′t=1−ln∴ℎ′t=−1t+∴ℎt<ℎ1所以gt在1,+∞上单调递减，故g∴2x3x1−1所以k1−k所以曲线fx在点B处切线斜率小于A,C