高考数学 创新融合3　数列与概率

创新融合3数列与概率1.(2024·菏泽模拟)已知A,B两个盒子中各有一个黑球,一个白球.每次从两个盒子中各随机取出一个小球交换后放回.记n次交换后,B盒子中有一黑一白两个小球的概率为Pn,A盒子中黑球的个数为Xn.(1)求Pn;(2)求Xn的数学期望E(Xn).【解析】(1)依题意,每次交换共有4种情况,其中有2种情况交换后B盒子中仍为一黑一白两个小球,另外2种情况交换后,B盒子中有两个黑球或两个白球,再次交换后,B盒子中必为一黑一白两个小球,则P0=1,P1=12,Pn+1=12Pn+(1-Pn)=1-12Pn,即有Pn+1-23=-12(Pn-23),因此数列{Pn-23}是以P1-23=-16为首项,-12为公比的等比数列,即Pn-2所以Pn=23+13×(-12(2)依题意,Xn的可能取值为0,1,2,P(Xn=0)=14Pn-1P(Xn=1)=12Pn-1+1-Pn-1=1-12PnP(Xn=2)=14Pn-1,所以E(Xn)=0×14Pn-1+1×(1-12Pn-1)+2×14P2.(2024·盐城模拟)某学校有A,B两个餐厅,经统计发现,学生在第一天就餐时会随机地选择一个餐厅用餐.此后,如果某同学某天去A餐厅,那么该同学下一天还去A餐厅的概率为0.4;如果某同学某天去B餐厅,那么该同学下一天去A餐厅的概率为0.8.(1)记甲、乙、丙3位同学中第2天选择A餐厅的人数为X,求随机变量X的分布列和期望;(2)甲同学第几天去A餐厅就餐的可能性最大?并说明理由.【解析】(1)设一位同学第2天选择去A餐厅就餐的概率为P,则P=12×25+12×45=35.则X~B所以P(X=0)=C30(35)0(1-35)P(X=1)=C31(35)1(1-35)P(X=2)=C32(35)2(1-35)P(X=3)=C33(35)3(1-35)0=27125X0123P8365427则X的期望为E(X)=3×35=9(2)设甲同学第n天去A餐厅的概率为Pn,则P1=12当n≥2时,Pn=25Pn-1+45(1-Pn-1)=-25Pn-1所以Pn-47=-25(Pn-1-47),又P1-4所以{Pn-47}是以-114为首项,-2所以Pn-47=-114×(-25)所以Pn=47-114×(-25)当n是奇数时,Pn=47-114×(25)n-1当n是偶数时,Pn=47+114×(25)n-1>47,则P2>P4>P6>…>P2k>47,所以甲同学第2天去A餐厅就餐的可能性最大.3.(2024·荆州三模)宜昌市是长江三峡起始地,素有“三峡门户”、“川鄂咽喉”之称.为了合理配置旅游资源,管理部门对首次来宜昌旅游的游客进行了问卷调查,据统计,其中14的人计划只参观三峡大坝,另外34的人计划既参观三峡大坝又游览三峡人家.每位游客若只参观三峡大坝,则记1分;若既参观三峡大坝又游览三峡人家,则记2分.假设每位首次来宜昌旅游的游客计划是否游览三峡人家相互独立,(1)从游客中随机抽取2人,记这2人的合计得分为X,求X的分布列和数学期望;(2)从游客中随机抽取n人(n∈N*),记这n人的合计得分恰为n+1分的概率为Pn,求∑i=1n(3)从游客中随机抽取若干人,记这些人的合计得分恰为n分的概率为an,随着抽取人数的无限增加,an是否趋近于某个常数?若是,求出这个常数;若不是,请说明理由.【解析】(1)由题意得,随机变量X的可能取值为2,3,4,可得P(X=2)=(14)2=116,P(X=3)=C21×14×34=38,P(X=4)=所以X的分布列如表所示:X234P139所以,数学期望为E(X)=2×116+3×38+4×916(2)由这n人的合计得分为n+1分,则其中只有1人计划既参观三峡大坝又游览三峡人家,所以Pn=Cn1·34·(14)n-1=3n4n,∑i=1nPi=34+3×242+3×343+…+3n由两式相减,可得34×∑i=1nPi=34+342+343+…+3所以∑i=1nPi=43(1-(3)在随机抽取的若干人的合计得分为n-1分的基础上再抽取1人,则这些人的合计得分可能为n分或n+1分,记“合计得n分”为事件A,“合计得n+1分”为事件B,A与B是对立事件,因为P(A)=an,P(B)=34an-1,所以an+34an-1=1(即an-47=-34(an-1-47因为a1=14,则数列{an-47}是首项为-928,公比为-34所以an-47=-928(-34)n-1所以an=47-928(-34)n-1所以随着抽取人数的无限增加,an趋近于常数474.(2024·新高考Ⅰ卷)设m为正整数,数列a1,a2,…,a4m+2是公差不为0的等差数列,若从中删去两项ai和aj(i<j)后剩余的4m项可被平均分为m组,且每组的4个数都能构成等差数列,则称数列a1,a2,…,a4m+2是(i,j)——可分数列.(1)写出所有的(i,j),1≤i<j≤6,使数列a1,a2,…,a6是(i,j)——可分数列;(2)当m≥3时,证明:数列a1,a2,…,a4m+2是(2,13)——可分数列;(3)从1,2,…,4m+2中一次任取两个数i和j(i<j),记数列a1,a2,…,a4m+2是(i,j)——可分数列的概率为Pm,证明:Pm>18【解析】(1)(i,j)∈{(1,2),(1,6),(5,6)}.(2)当m=3时,注意到a1,a4,a7,a10;a3,a6,a9,a12;a5,a8,a11,a14是(2,13)——可分数列;当m>3时,对于a14后面的每相邻四项分为一组,即a15,a16,a17,a18;…,均构成等差数列,所以,当m≥3时,数列a1,a2,…,a4m+2是(2,13)——可分数列.(3)当m=1时,P1=3C62=1当m=2时,数列共10项:a1,a2,…,a10,(i,j)∈{(1,2),(1,6),(1,10),(5,6),(5,10),(9,10),(2,9)},P2=7C102=7当m≥3时,去掉ai,aj后,余下的4m个数分成m组,每组4个数,①形成公差是d的等差数列的(i,j)有:(1,2),(1,6),(1,10),…,(1,4m+2),m+1个;(5,6),(5,10),(5,14),…,(5,4m+2),m个;……(4m+1,4m+2),1个;总数为1+2+…+(m+1)=12(m+1)(m+2)个②形成公差不小于2d的等差数列的(i,j)有:(2,9),(2,13),(2,17),…,(2,4m+1),m-1个;(6,13),(6,17