空间向量及其线性运算精讲

1.1.1空间向量及其线性运算重点：空间向量的加减、数乘运算在空间几何体中的应用难点：空间几何中向量的运算。一、空间向量的概念及几类特殊向量1、空间向量的有关概念（1）空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。（2）空间向量的长度（模）：空间向量的大小叫做向量的长度或模。（3）表示法：=1\*GB3①几何表示法：空间向量用有向线段表示；=2\*GB3②字母表示法：用字母a、b、c，…表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作AB，其模记为a或AB2、几类特殊向量（1）零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行。（2）单位向量：长度为1的空间向量，即.（3）相等向量：方向相同且模相等的向量。（4）相反向量：方向相反但模相等的向量。（5）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．（6）共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。二、空间向量的线性运算1、空间向量的加减法空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）．2、空间向量加减法运算律交换律：结合律：小结：空间向量加法的运算的小技巧（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：；3、空间向量的数乘运算（1）定义：实数λ与空间向量a的乘积λa当λ>0时，λa与a方向相同；当λ<0时，λa与a当λ=0时，λaλa的长度是a的长度的|λ|（2）运算律：分配律：λa结合律：λμ三、向量共线定理1、空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b2、直线的方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，存在实数λ，使得OP=λ与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.这样，直线l任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定。3、证明空间三点共线的三种思路：对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线（1）存在实数λ，使PA=λPB（2）对空间任一点O，有OP=（3）对空间任一点O，有OP=x四、空间向量共面定理1、定义：如图，如果表示向量a的有向线段OA所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行与直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。2、向量共面的充要条件：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y)，使p3、向量共面证明：（1）证明点P在平面ABC内，可以用AP=xAB+y若用OP=xOA+y（2）判断三个向量共面一般用p=x证明三线共面常用AP=x证明四点共面常用OP=xOA+y题型一空间向量的概念理解【例1】（2022秋·山西·高二校联考期中）下列关于空间向量的说法中错误的是（）A．零向量与任意向量平行B．任意两个空间向量一定共面C．零向量是任意向量的方向向量D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量【答案】C【解析】由已知，选项A，零向量方向是任意的，所以零向量任意向量平行，该选项正确；选项B，平面由两个不平行的向量确定，任意两个向量可通过平移形成相交，故一定可以确定一个平面，该选项正确；选项C，在直线上取非零向量，把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量，该选项错误；选项D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，该选项正确.故选：C.【变式11】（2022秋·山东济南·高二校考期中）下列关于空间向量的说法中正确的是（）A．方向相反的两个向量是相反向量B．空间中任意两个单位向量必相等C．若向量满足，则D．相等向量其方向必相同【答案】D【解析】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误；单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B错误；向量不能比较大小，故C错误；相等向量其方向必相同，故D正确；故选：D.【变式12】（2022秋·广东阳江·高二校联考期中）（多选）以下关于向量的说法正确的有（）A．若＝，则＝B．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆C．若＝－且＝－，则=D．若与共线，与共线，则与共线【答案】AC【解析】若＝，则和的大小相等，方向相同，故A正确；将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球，故B错误；若＝－，＝－，则＝－=，故C正确；若与共线，与共线，则当时，无法判断与的关系，故D错误.故选：AC.【变式13】（2022秋·浙江杭州·高二杭州四中校考期中）（多选）如图正四棱柱，则下列向量相等的是（）A．与B．与C．与D．与【答案】CD【解析】由正四棱柱可知，A：，但与方向相反，故A不符题意；B：，但与方向不同，故B不符题意；C：，且与方向相同，故C符题意；D：，且与方向相同，故D符题意.故选：CD.题型二空间向量的线性运算【例2】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）正方体中，化简（）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故选：C.【变式21】（2023秋·河北石家庄·高二石家庄二十三中校考期末）如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】G是CD的中点，所以故选：A.【变式22】（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，是的中点，设，，，用，，表示，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为是的中点，，分别是，的中点，所以.故选：A【变式23】（2022秋·广东佛山·高二校联考阶段练习）如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，，设，，，则下列等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因，所以选项错误；因.所以选项错误；因为，所以选项错误.因为，所以选项正确；故选：.题型三向量共线的判定与应用【例3】（2023·江苏·高二专题练习）若向量与不共线且，，，则（）A．，，共线B．与共线C．与共线D．，，共面【答案】D【解析】因为，即，即，又与不共线，所以共面，故D正确A错误；因为，所以与不共线，与不共线，故BC错误；故选：D【变式31】（2022·高二课时练习）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线．【答案】证明见解析【解析】，而，所以，故B，C，D三点共线．【变式32】（2023春·福建莆田·高二校考阶段练习）已知不共线向量，，，，，，则一定共线的三个点是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】若，则存在唯一实数使得，即，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，若，则存在唯一实数使得，即，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，，若，则存在唯一实数使得，即，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，，所以，又点为两向量的公共端点，所以三点共线.故选：D.【变式33】（2023春·高二课时练习）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A，B，D三点共线，求实数k的值．【答案】.【解析】因为，，则有，又A，B，D三点共线，于是，即，而不共线，因此，解得，所以实数k的值是.题型四四点共面的判定与应【例4】（2022秋·山东菏泽·高二校考期末）对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有，则（）A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面【答案】B【解析】由，得，即，故共面.又因为三个向量有同一公共点，所以共面.故选：B.【变式41】（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）已知是空间中不共线的三个点，若点满足，则下列说法正确的一项是（）A．点是唯一的，且一定与共面B．点不唯一，但一定与共面C．点是唯一的，但不一定与共面D．点不唯一，也不一定与共面【答案】A【解析】由空间向量的知识可知共面的充要条件为存在实数，使，因为，所以，所以共面，所以四点共面，因为，所以，所以点唯一.故选：A.【变式42】（2023秋·湖北黄冈·高二统考期末）是空间向量的一组基底，，，，已知点在平面内，则______.【答案】3【解析】因为点在平面内，所以，，共面，所以存在与使得,即，所以，解得.