人教版八年级下册数学17.2（第2课时）勾股定理的逆定理的应用（同步课件）

17.2(第2课时)勾股定理的逆定理的应用第17章

勾股定理条件结论前面的学习让我们对勾股定理及其逆定理的知识有了一定的认识，你能说出它们的内容吗?a2+b2=c2(a,b为直角边，c为斜边)Rt△ABC,∠C是直角勾股定理勾股定理的逆定理a2+b2=c2(a,b为较短边，c为最长边）Rt△ABC，且∠C是直角.前面我们已经学会了用勾股定理解决生活中的很多问题，那么勾股定理的逆定理能解决哪些实际问题呢？你能举举例吗？例1如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10．（1）求四边形

ABCD的面积．ABC∴

．∴CD2＋AC2＝102＋102＝200，AD2＝

＝200，∴CD2＋AC2＝AD2，

∴△ACD是直角三角形，∵CD＝10，AD＝10，解：连接

AC，∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴四边形ABCD的面积是

＝74，例1（2）求对角线BD的长．解：作

DE⊥BC交

BC的延长线于点

E，则∠DEC＝90°，∵△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，∴∠DCE＋∠ACB＝90°．∵∠ABC＝90°，∴∠CAB＋∠ACB＝90°，∴∠DCE＝∠CAB．ABCDE如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10．例1（2）求对角线BD的长．ABCDE如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10．∴AB＝CE，BC＝ED．∴

．

在△ABC和△CED中，∴△ABC≌△CED（AAS）．∵AB＝6，BC＝8，∴CE＝6，ED＝8，∴BE＝BC＋CE＝8＋6＝14，实际问题抽象数学模型勾股定理及其逆定理解答实际意义例2教育部大力倡导新时代中小学生劳动教育，旨在塑造学生正确劳动价值观与优秀劳动品质、某学校积极贯彻落实，把校内如图所示的四边形ABCD空地改造为“劳动乐园”．经测量，AB=6m,BC=8m,CD=24m,AD=26m,∠B=90°．该“劳动乐园”即将迎来盛大的劳动成果展示活动．(1)为增添活动氛围，学校打算用一条装饰彩带将“劳动乐园”内的A、C两点连接起来，求至少需要多少米装饰彩带？例2(2)学校计划在“劳动乐园”内播撒缤纷色彩，在三角形ABC区域种植玫瑰，每平方米种植5株，在三角形ABC区域种植郁金香，每平方米种植3株．求总共需要种植多少株花卉．例3YC市在创建“全国文明城市”期间积极开展生态环境整治．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地ABCD（如图）进行绿化．经测量∠ABC=90°，AB=7m,BC=24m,CD=20m,AD=15m，求空地的面积．例3YC市在创建“全国文明城市”期间积极开展生态环境整治．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地ABCD（如图）进行绿化．经测量∠ABC=90°，AB=7m,BC=24m,CD=20m,AD=15m，求空地的面积．例4

例4

例5如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？12NEP

QR思考1：认真审题，弄清已知是什么？要解决的问题是什么？思考2：由于我们现在所能得到的都是线段长，

要求角，由此你联想到了什么？实质是要求出两艘船航向所成角.勾股定理逆定理例5解：根据题意得PQ=16×1.5=24(海里),PR=12×1.5=18(海里),QR=30海里.∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°.

由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°.∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.

NEP

QR12例6大型工程车行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台大型工程车沿公路

AB由点

A向点

B行驶，已知点C为一所学校，且点

C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，AB＝250m，大型工程车周围130m以内为受噪声影响区域．（1）学校会受到大型工程车的影响吗？BAC（2）若大型工程车的行驶速度为50m/min，

大型工程车噪声影响该学校持续的时间

有多少分钟？

解：学校

C会受噪声影响．

理由：如图，过点C作

CD⊥AB于

D，

∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，

∴AC2＋BC2＝AB2，

∴△ABC是直角三角形．

∴S△ABC＝

AC·BC＝

CD·AB，

∴150×200＝250CD，

∴CD＝

＝120（m），

∵大型工程车周围130m以内为受噪声影响区域，

∴学校

C会受噪声影响．ABCD例6例6

∴EF＝100（m）．（2）如图，取

EC＝130m，FC＝130m，当大型工程车在

EF上时学校会受噪声影响．

∵ED2＝EC2－CD2＝1302－1202＝502，

∴ED＝50（m），

∵大型工程车的行驶速度为50m/min，

∴100÷50＝2（min），

即大型工程车噪声影响该学校持续的时间有2min．EFABCD例7锐角钝角＞＜例7应用方法面积问题航海问题不规则图形面积认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题勾股定理的逆定理的应用A2.据说古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结．两个助手分别握住第4个和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形．但由于粗心大意将原本的等长12段分成了等长13段（共14个结），工匠依然握住第1个和最后一个结，两个助手分别握住第4个和第8个结，拉紧绳子，此时形成的三角形是（

）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形B1.如图，一架25m的云梯AB斜靠在竖直的墙AO上，这时AO为24m.如果梯子AB的低端向墙一侧移动了2m,那么梯子的顶端向上滑动的距离是（

）

3.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（）D

4.如图，某中学为迎接校庆50周年，拟对学校校园中的一块空地进行美化施工，已知AB＝3m，BC＝4m，∠ABC＝90°，AD＝12m，CD＝13m，学校欲在此空地上铺草坪，已知每平方米草坪80元，试问用草坪铺满这块空地共需花费多少元．解：如图，连接AC，在Rt△ABC中，∵AC2＝AB2＋BC2＝32＋42＝25，∴AC＝5m．∵AC2＋AD2＝52＋122＝169，CD2＝132＝169，∴AC2＋AD2＝CD2，∴∠CAD＝90°，该区域面积＝S△ACD－S△ABC＝30－6＝24（m2），铺满这块空地共需花费24×80＝1920（元）．答：用草坪铺满这块空地共需花费1920元．ABCDMN北东5.一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．（1）若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA方向返回A港所需的时间；

∴

（km）．解：（1）由题意

AD＝60km，

在Rt△ABD中，由

AD2＋BD2＝AB2得602＋BD2＝1002．

∴BD＝80（km）．

∴CD＝BC－BD＝125－80＝45（km）．

75÷25＝3（h）．

答：从

C岛沿

CA方向返回A港所需的时间为3h．（2）C岛在A港的什么方向？解：（2）∵AB2＋AC2＝1002＋752＝15625，BC2＝1252＝15625，

∴AB2＋AC2＝BC2，

∴∠BAC＝90°．

∴∠NAC＝180°－90°－48°＝42°．

∴C岛在

A港的北偏西42°方向上．

ABCDMN北东6.为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形ABCD进行改建，将四边形ABCD全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米200元．经测量∠ABC=90°，AB=9m,BC=12m,CD=8m