高中数学试题：祖暅原理

1.2祖眼原理

一、牟合方盖

取每边为1寸的正方体棋子八枚，拼成一个边长为2寸的正方体，在正方体内画内切圆

柱体，再在横向画一个同样的内切圆柱体。这样两个圆柱所包含的立体共同部分像两把上下

对称的伞，刘徽将其取名为“牟合方盖"。（古时人称伞为"盖"，"牟"同侔，意即相合。）牟合

方盖是一种几何体，是两个等半径圆柱躺在平面上垂直相交的公共部分，因为像是两个方形

的盖子合在一起，所以被称作"牟合方盖"。根据计算得出球体积是牟合方盖体的体积的四分

之三，可是圆柱体又比牟合方盖大，但是《九章算术》中得出球的体积是圆柱体体积的四分

之三，显然《九章算术》中的球体积计算公式是错误的。刘徽认为只要求出牟合方盖的体积，

就可以求出球的体积。可怎么也找不出求导牟合方盖体积的途径。

刘徽等了200多年，终于等到了“能言者"，祖冲之和他儿子祖胞终于解决了牟合方盖的

163

体积，祖冲之使用的方法正是通过计算出牟合方盖的体积为彳7,从而推出了球体体积的

计算公式。

祖瞄沿用了刘徽的思想，利用刘徽“牟合方盖"的理论去进行体积计算，并发现了祖唯原

理：“嘉势既同,则积不容异"。"势"即是高，"暴"是面积。][

二、祖瞄原理

祖眼，字景烁，范阳郡蓟县（今河北省谏源县）人。中国南北朝时期数学家、天文学家，

祖冲之之子。同父亲祖冲之一起圆满解决了球面积的计算问题，得到正确的体积公式，并据

此提出了著名的“祖胞原理"。

祖冲之父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出"鼎势既同则积不容异",

即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等，这就是著名的祖

晒公理（或刘祖原理）。祖胞应用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。该原理在

西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利（BonaventuraCavalier）发现，比祖睢j晚一千

一百多年。祖昭是我国古代最伟大的数学家之一。

祖瞄原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所

截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。祖晒之《缀术》有云：

"缘寨势既同，则积不容异。

这个原理浅显易懂，例如:

三、祖瞄原理应用

1.利用祖陶原理推导球的体积公式

将半径为d的半球置于平面a上，用平行于aH,与a相比做吟目的平面去截半球，则截面的面枳

为江(「一力，令SS户人(户即S(力)=/—jc/f(0<//<r).

观察函数表达式SW的结构特点：函数SW是133)=”?和9仇尸加两部分组成,其中函数公)

是常函数,g(K)是关于的二次函数.

构造符合函数S(/n代数结构特点的几何图形：

(|加人)=羯/与gS)=it/J均具有圆的面枳公式的结构特点，于是联想到两个圈形，前者半径为

常数广，后者半径为变量机

(2)这两个圆沿着平面a的法向量运动形成怎样的图形？函数助)是常函数，所以半径为HEJI划形成

一个底面半径为「，禹为人的圆柱，后者形成一个网锥；

⑶这两个几何体之间的关系如何?由于函数SW是/W=/与gW=M词差，即在圆柱中挖去一

个假1惟，如图I所示.根据祖啪原理半球的体枳等于圆柱的体积诚去圜惟的体积，即半球的体积二仃？

1.柱体、锥体的体积

2.球体的体积

3.利用祖随原理推导椭球的体积公式

2.利用祖瞄原理推导椭球的体积公式

求将方程为马+4=1的椭圆绕对由旋转一周后得到的几何体的体枳(用含有，，、b的代数式表示).

a-b"

分析：为了研究问题方便，只需取半个椭球，置于平面a上，与a平行，且距离为力(0”)的平

>2r2_r2>2

血,滩帏球所得的技血血枳$=皿2=92(1-t),令SS)="b?(l--=--.

a-a~a'

.212

观察SS)的结构特点：函数S(%)是/(/I)=疝2与g(/»)=Rl的差，其中函数/")是常函数,

a

函数g(x)是关于/，的二次函数，其中归WG根据/(/，)=”/,构造一个底面半径为6的问；

g(h)=2中的结构仍然具TH如面积公式的结构特征，可构造一个半径为丝的例.函数SS)是

/(/1)=疝)与。(无)=丝二的差，且处<八进而构造了一个圆环(外圆固定，内圆变化),将此网环

a*a

平面a的法向量反向平移，于是形成的图形如图2.根据祖晒原理,圆柱的体枳与物锥的体积之差即

为半个桶圆的体积，于是所求的体积为v=:万“%.

/、

4.利用祖眼原理探求“圈体”体积公式

题目

2013年上海卷理13题

在xQy平面上，将两个半圆弧(％-1)2+产=1(%加)和

(x-3>+/=1(x23)、两条直线歹=1和歹=-1围成的

封闭图形记为。，如图中阴影部分.记。绕y轴旋

转一周而成的几何体为Q,过(0))(|歹区1)作Q的水

平截面，所得截面面积为所正了+肺，试利用祖

瞄原理、一个平放的圆柱和一个长方