江苏省泗阳县2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（解析）

第页，共页2024～2025学年第二学期期中调研试卷高一数学（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列命题正确的是（）A.单位向量均相等 B.任一向量与它的相反向量不相等C.模为零的向量与任一向量平行 D.模相等的两个共线向量是相同的向量【答案】C【解析】【分析】根据单位向量、零向量、共线向量的定义判断即可.【详解】对于A：单位向量大小相等都是，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误；对于B：零向量与它的相反向量相等，故B错误．对于C：模为的向量为零向量，零向量与任非零意向量共线，故C正确；对于D：模相等的两个共线向量可能是相同的向量也可能是相反向量，故D错误.故选：C．2.在△ABC中，若，则A. B. C. D.或【答案】A【解析】【详解】由正弦定理有，所以，，又因为,故，选A.点睛：本题主要考查了用正弦定理解三角形，属于易错题．本题运用大边对大角定理是解题的关键．3.已知，，若，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由结合题意，正弦差角公式可得答案.【详解】.因，，则，又，则，又.则.故选：B4.被誉为“苏北黄鹤楼”的泗水阁位于泗阳运河风光带上，建成于2012年，建筑面积约5800平方米，是四面五层仿唐汉风格的建筑.某同学为测量泗水阁的高度，在泗水阁旁边找到一座建筑物，高约为，在底面上的点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，泗水阁顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则泗水阁的高度约为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在中求得，然后在中，利用正弦定理求得即可求解.【详解】中，，所以，在中，，则，由正弦定理得，即，解得，在中，.故选：C.5.四边形是正方形，是的中点，是边上的一点，且，连接与交于点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设正方形的边长为3，写出点的坐标，利用向量夹角余弦公式进行求解.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平间直角坐标系，设正方形的边长为3，则，故，所以.故选：B6.在中，是边上的点，，，，，则的长为（）A.5 B.7 C.9 D.11【答案】B【解析】【分析】在中，由正弦定理求得，再在中，由余弦定理，即可求得的长.【详解】如图所示，在中，由正弦定理得，即，因为，可得，且，在中，由余弦定理得：，所以.故选：B7.图中正方形的边长为2，圆的半径为5，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的值为（）A.23 B.29 C.21 D.24【答案】A【解析】【分析】利用可求解.【详解】因为正方形的中心与圆的圆心重合，所以是的中点，又正方形的边长为2，所以，所以，所以.故选：A.8.在中，角的对边分别为且，若，则的周长的最大值为（）A. B. C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】根据题意，求得，得到周长为，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】由且，可得，又由，即，所以的周长为，当时，即时，周长取得最大值，最大值为.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.以下正确的有（）A.B.C.函数的最大值为2D.【答案】BCD【解析】分析】利用三角恒等变换公式逐项计算可得结论.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故函数的最大值为2，故C正确；对于D，，故D正确.故选：BCD.10.的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的有（）A.若，则B.，则为等腰三角形C.，，，则有两解D.若，则可以是钝角三角形【答案】AC【解析】【分析】对于A，由正弦定理，大边对大角可判断选项正误；对于B，利用余弦定理统一成边的形式，化简后可判断三角形的形状；对于C，过作于点，求出后与比较即可；对于D，由诱导公式，两角和的正切公式可得，据此可判断选项正误.【详解】对于A，因为，所以由正弦定理可得，又大边对大角，则，故A正确；对于B，由，得，所以由余弦定理得，所以，得，所以，所以，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C，过作于点，则，因为，所以有两解，故C正确；对于D，因为，，所以，因为，且不可能有两个钝角，所以，所以三个内角均为锐角，故D错误.故选：AC11.下列说法正确的有（）A.若，则或B.已知不共线，若向量与向量共线，则实数C.设，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为D.已知向量与的夹角为，，，则在方向上的投影向量为【答案】BCD【解析】【分析】对于A，由向量模长定义可判断选项正误；对于B，由向量共线定义可判断选项正误；对于C，由题可得，据此可判断选项正误；对于D，由投影向量计算公式可判断选项正误.【详解】对于A，，则只能得到两向量模相等，不能得到向量共线，故A错误；对于B，因向量与向量共线，则，故B正确；对于C，因与的夹角为锐角，则且不平行于，则，故C正确；对于D，在方向上的投影向量为，因，，则，故D正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则_________【答案】【解析】【分析】原式两边平方后，即可计算的值.【详解】因为，两边平方后，，所以.故答案为：13.为所在平面内的点，，若，则______.【答案】##【解析】【分析】根据，化简得到，结合，求得的值，即可求解.【详解】由，可得，因为，所以，可得.故答案：.14.在中，，若，则实数的值为______.【答案】【解析】【分析】先利用正弦定理化简得，再根据余弦定理得出为钝角，最后利用正弦定理和余弦定理化简即可.【详解】利用正弦定理则可化简为，则，因，则，则，因，则利用正弦定理和余弦定理有.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量.（1）若，求实数的值；（2）若，且为非零实数，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，得到，由，结合向量的数量积的坐标表示，列出方程，即可求解；（2）根据题意，得到，由，结合共线向量的坐标表示，列出方程，求得的关系式，即可求解.【小问1详解】解：因为，可得，因为，所以，解得.【小问2详解】解：因，可得，又因为，所以，可得，因为为非零实数，所以.16.已知，，，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的关系以及二倍角的余弦公式即可求值；（2）先求出，再利用即可求解.【小问1详解】因为，，所以又因为，所以，所以.【小问2详解】因为，，所以，所以又因为，所以，，因为所以因为，所以17.设的内角，，的对边分别为，，，是边的中点，的面积为1，且.（1）求；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理可求得，进而可求；（2）由三角形的面积利用三角形的面积可求，利用向量数量积的运算律把化简计算可求解.【小问1详解】因为，所以由正弦定理得，所以，所以，因为，；【小问2详解】因为，，，.18.某校为拓展学生社会实践活动，拟建造一个四边形的实践基地，如图，在四边形区域中，将区域设立成烧烤区，区域设立成花卉观赏区，边，，，修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，.烧烤区是一个占地面积为40000平方米的实践性区域.（1）需要修建多长的隔离防护栏？（2）若要使花卉观赏区的面积最大，应如何设计观赏步道？【答案】（1）米（2）应使观赏步道米【解析】【分析】（1）由三角形面积公式可求得，进而可求得；（2）法一：由正弦定理可得，，进而可得，可求解.法二，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，进而可求解.【小问1详解】因为，，三角形面积为，所以，，而，，，所以需要修建多长的隔离防护栏米.【小问2详解】解法一：由（1）知，设，，在中，由正弦定理得：，所以，，花卉观赏区的面积为：因，则，则当，即时，取值最大，最大值，此时故为了使花卉观赏区域的面积最大，应使观赏步道米.解法二：令，，由余弦定理得：，，，当且仅当时取等号，则最大值，故为了使花卉观赏区域的面积最大，应使观赏步道米.19.设的内角，，的对边分别为，，，是边的中点，.（1）若，求面积的最大值；（2）若的面积为，且，求的值；（3）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由题可得，由向量模长公式可得，然后由基本不等式可得答案；（2）由题可得，再在中运用正弦定理与余弦定理可得答案；（