高三数学大题规范训练(7)(教师版)

高三数学大题规范训练（7）15.有个型号和形状完全相同的纳米芯片，已知其中有两件是次品，现对产品随机地逐一检测.（1）求检测过程中两件次品不相邻的概率；（2）设检测完后两件次品中间相隔正品的个数为，求的分布列和数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解答，【解答】【分析】（1）用插空法求出符合条件的事件数，再由古典概型计算可得；（2）依题意的可能取值为、、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.【小问1详解】记检测过程中两件次品不相邻为事件，依题意即将个芯片排列，其中两件次品不相邻的概率，所以.小问2详解】依题意的可能取值为、、、，所以，，，，所以的分布列为：所以.16.已知函数，，.（1）求函数的单调区间；（2）若且恒成立，求的最小值.【答案】（1）答案见解答（2）.【解答】【分析】（1）求导后，利用导数与函数单调性的关系，对与分类讨论即可得；（2）结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解.【小问1详解】（），当时，由于，所以恒成立，从而在上递增；当时，，；，，从而在上递增，在递减；综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.【小问2详解】令，要使恒成立，只要使恒成立，也只要使.，由于，，所以恒成立，当时，，当时，，所以，解得：，所以的最小值为.17.如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为.（1）若为棱的中点，求证：平面；（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成夹角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解答（2）存在，【解答】【分析】（1）合理构造图形，利用线线平行证明线面平行即可.（2）建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法处理即可.【小问1详解】取中点，连接分别为的中点，，底面四边形是矩形，为棱的中点，，故四边形是平行四边形，，又平面平面，//平面.【小问2详解】假设在棱上存在点满足题意，如图：连接，，，在等边中，为的中点，所以，又平面平面，平面平面平面，平面，则是四棱锥的高，设，则，∴，所以，以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，设，．设平面的一个法向量为，则所以可取.易知平面的一个法向量为，，，故存在点满足题意.18.已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线．（1）求的方程，并说明轨迹的形状；（2）设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点．①当时，求证：的值及的周长均为定值；②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由．【答案】（1）答案见解答（2）①证明见解答；②存在；【解答】【分析】（1）设，由题意可得，结合椭圆、双曲线的标准方程即可求解；（2）设点，其中且.（ⅰ）由可知三点共且，设：，联立的方程，利用韦达定理表示，进而表示出，结合（1）化简计算即可；由椭圆的定义，由得，，进而表示出，化简计算即可；（ii）由（ⅰ）可知三点共线，且，设：，联立的方程，利用韦达定理表示，计算化简可得，结合由内切圆性质计算即可求解.【小问1详解】设点，由题意可知，即，经化简，得的方程为，当时，曲线是焦点在轴上的椭圆；当时，曲线是焦点在轴上的双曲线．【小问2详解】设点，其中且，（ⅰ）由（1）可知的方程为，因，所以，因此，三点共线，且，（法一）设直线的方程为，联立的方程，得，则，由（1）可知，所以，所以为定值1；（法二）设，则有，解得，同理由，解得，所以，所以为定值1；由椭圆定义，得，，解得，同理可得，所以．因为，所以的周长为定值．（ⅱ）当时，曲线方程为，轨迹为双曲线，根据（ⅰ）的证明，同理可得三点共线，且，（法一）设直线的方程为，联立的方程，得，，（*）因为，所以，将（*）代入上式，化简得，（法二）设，依条件有，解得，同理由，解得，所以．由双曲线的定义，得，根据，解得，同理根据，解得，所以，由内切圆性质可知，，当时，（常数）．因此，存在常数使得恒成立，且．【小结】方法小结：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．19.无穷数列，，…，，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是﹔如果n是奇数，就对尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是．（1）写出这个数列的前7项；（2）如果且，求m，n的值；（3）记，，求一个正整数n，满足．【答案】（1），，，，，，；（2）；（3）（答案不唯一，满足即可）【解答】【分析】（1）根据数列的定义，逐一求解；（2）根据数列的定义，分和分别求解；（3）根据数列的定义，写出的值，即可求解.【小问1详解】根据题意，，，，，，，．【小问2详解】由已知，m，n均为奇数，不妨设．当时，因为，所以，故；当时，因为，而n为奇数，，所以．又m为奇数，，所以存在，使得为奇数．所以．而，所以