高考数学易错题总结与试题及答案

高考数学易错题总结与试题及答案姓名：____________________

一、多项选择题（每题2分，共10题）

1.下列函数中，在其定义域内具有反函数的是

A.$y=x^3+3x$

B.$y=\sqrt[3]{x}$

C.$y=\sinx$

D.$y=x^2-1$

2.若向量$\vec{a}=(1,-1,2)$，$\vec{b}=(2,-1,1)$，则向量$\vec{a}+\vec{b}$的模长是

A.$\sqrt{6}$

B.$\sqrt{10}$

C.$\sqrt{2}$

D.$\sqrt{8}$

3.在平面直角坐标系中，点P（1，3）关于直线y=x的对称点是

A.（3，1）

B.（1，3）

C.（3，-1）

D.（-1，3）

4.已知函数$f(x)=\frac{1}{x+2}+1$，则函数$f(x)$的定义域为

A.$\{x|x\neq-2\}$

B.$\{x|x>-2\}$

C.$\{x|x\neq0\}$

D.$\{x|x<-2\}$

5.在三角形ABC中，$\angleA=\frac{\pi}{3}$，$\angleB=\frac{\pi}{6}$，则三角形ABC的面积为

A.$3\sqrt{3}$

B.$3\sqrt{2}$

C.$6\sqrt{3}$

D.$6\sqrt{2}$

6.下列不等式中，正确的是

A.$2x-3<3x-2$

B.$x^2+x+1>0$

C.$|x|-x>0$

D.$\frac{1}{x}<x$

7.已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$在x=1处有极值，则

A.$a+b+c=0$

B.$2a+b=0$

C.$a-b=0$

D.$a=0$

8.若$\sinx+\cosx=1$，则$\sinx\cosx$的值为

A.$-\frac{1}{2}$

B.$0$

C.$\frac{1}{2}$

D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

9.在数列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n$，则数列$\{a_n\}$的通项公式是

A.$a_n=2^{n-1}$

B.$a_n=2^n$

C.$a_n=n$

D.$a_n=n-1$

10.在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1=2$，$d=3$，则第10项与第7项之和为

A.18

B.24

C.27

D.30

二、判断题（每题2分，共10题）

1.如果一个函数在其定义域内连续，那么它一定在其定义域内可导。（）

2.向量$\vec{a}=(1,2,3)$与向量$\vec{b}=(2,4,6)$垂直。（）

3.在平面直角坐标系中，点P（-1，0）到直线y=2x的距离等于2。（）

4.函数$f(x)=x^3-3x$在x=0处取得极小值。（）

5.对于任意实数x，不等式$x^2-4x+3>0$恒成立。（）

6.如果一个数列的前n项和为$S_n=3n^2-2n$，那么这个数列的通项公式为$a_n=3n-2$。（）

7.在三角形ABC中，如果$\angleA=\angleB$，那么三角形ABC是等腰三角形。（）

8.函数$f(x)=\frac{1}{x}$在x=0处有定义。（）

9.在直角坐标系中，点A（1，2）关于原点的对称点是B（-1，-2）。（）

10.如果一个二次方程的判别式小于0，那么这个方程没有实数根。（）

三、简答题（每题5分，共4题）

1.简述函数$y=\sqrt{x^2-1}$的图像特征，并说明其定义域和值域。

2.已知等差数列$\{a_n\}$的前n项和为$S_n=4n+1$，求该数列的通项公式。

3.解不等式$2x-3<5$，并写出解集。

4.已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec{b}=(4,-1)$，求向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的点积。

四、论述题（每题10分，共2题）

1.论述等差数列和等比数列的通项公式及其求和公式，并举例说明如何应用这些公式解决实际问题。

2.讨论函数的极值和最值的概念，并说明如何利用导数判断函数的单调性和极值点。同时，举例说明如何通过求解导数来找出函数的最大值或最小值。

五、单项选择题（每题2分，共10题）

1.若函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$的定义域为A，则A是

A.$\{x|x\neq1\}$

B.$\{x|x>1\}$

C.$\{x|x<1\}$

D.$\{x|x\neq0\}$

2.已知等差数列$\{a_n\}$的首项为2，公差为3，则第10项的值是

A.27

B.30

C.33

D.36

3.在平面直角坐标系中，点P（3，4）到直线2x+y-10=0的距离是

A.1

B.2

C.3

D.4

4.函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-12$的零点是

A.1

B.2

C.3

D.4

5.若$\sin^2x+\cos^2x=\frac{3}{4}$，则$\tanx$的值为

A.$\frac{1}{2}$

B.$\frac{2}{1}$

C.$-\frac{1}{2}$

D.$-\frac{2}{1}$

6.在数列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2$，则数列$\{a_n\}$的第5项是

A.9

B.10

C.11

D.12

7.已知函数$f(x)=x^2-4x+3$，则$f(2)$的值为

A.1

B.3

C.5

D.7

8.在三角形ABC中，$\angleA=60^\circ$，$\angleB=45^\circ$，则$\angleC$的度数是

A.75^\circ

B.90^\circ

C.105^\circ

D.120^\circ

9.若$\log_2(3x-1)=2$，则x的值为

A.$\frac{1}{3}$

B.1

C.3

D.9

10.在等比数列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，公比为$\frac{1}{2}$，则第4项的值是

A.1

B.2

C.4

D.8

试卷答案如下

一、多项选择题

1.AB

解析思路：选项A、B的函数在其定义域内是单调的，具有反函数；选项C和D在其定义域内不单调，不具有反函数。

2.A

解析思路：向量$\vec{a}+\vec{b}=(3,2,3)$，模长为$\sqrt{3^2+2^2+3^2}=\sqrt{22}$，对应选项A。

3.A

解析思路：点P（1，3）关于直线y=x的对称点坐标为（3，1）。

4.A

解析思路：函数$f(x)$的定义域为所有使得分母不为零的x值，即$x\neq-2$。

5.C

解析思路：利用正弦定理和面积公式计算三角形ABC的面积。

6.B

解析思路：选项B中的函数对所有实数x都大于0，其他选项中的不等式在某些x值下不成立。

7.B

解析思路：根据函数在x=1处有极值，导数$f'(x)$在x=1处为0，即$2a+b=0$。

8.C

解析思路：由$\sinx+\cosx=1$，可得$\sinx=1-\cosx$，进而得到$\sinx\cosx=\frac{1}{2}\sin2x$，由于$\sin2x=\pm1$，所以$\sinx\cosx=\pm\frac{1}{2}$，选项C正确。

9.A

解析思路：根据等比数列的定义和通项公式直接计算。

10.B

解析思路：利用等差数列的性质和公式计算第10项与第7项之和。

二、判断题

1.×

解析思路：连续不一定可导，例如函数$f(x)=|x|$在x=0处连续，但在x=0处不可导。

2.√

解析思路：两个向量的点积为零表示它们垂直。

3.×

解析思路：点P到直线的距离为$\frac{|2\cdot3+1\cdot4-10|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{|0|}{\sqrt{5}}=0$。

4.×

解析思路：函数在x=0处取得极大值。

5.√

解析思路：对于任意实数x，$x^2-4x+3=(x-2)^2-1$，由于平方项总是非负的，所以整个表达式大于0。

6.√

解析思路：根据等差数列前n项和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，代入已知条件得到通项公式。

7.√

解析思路：等腰三角形的定义是两边相等，所以如果两个角相等，则对应的边也相等。

8.×

解析思路：函数$f(x)=\frac{1}{x}$在x=0处没有定义。

9.√

解析思路：点A关于原点的对称点坐标为（-x，-y）。

10.√

解析思路：判别式小于0意味着二次方程的根是复数，因此没有实数根。

三、简答题

1.函数$y=\sqrt{x^2-1}$的图像特征：图像是一个开口向右的抛物线，顶点在原点，与x轴相交于点（-1，0）和（1，0），与y轴不相交。定义域为$\{x|x\geq1\text{或}x\leq-1\}$，值域为$[0,+\infty)$。

2.等差数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差。根据题意，$a_1=2$，$d=3$，所以$a_n=2+(n-1)\cdot3=3n-1$。

3.解不等式$2x-3<5$，移项得$2x<8$，再除以2得$x<4$，解集为$\{x|x<4\}$。

4.向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的点积为$\vec{a}\cdot\vec{b}=2\cdot4+3\cdot(-1)=8-3=5$。

四、论述题

1.等差数列和等比数列的通项公式分别为：

-等差数列：$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差。

-等比数列：$a_n=a_1r^{n-1}$，其中$a_1$是首项，$r$是公比。

等差数列的前n项和公式为$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，等比数列的前n项和公式为$S_n=\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$（$r\neq1$）。

应用实例：计算等差数列或等比数列的前n项和，找出数列的通项公式等。

2.函数的极值和最值概念：

-极值：函数在某个点附近的局部最大值或最小值。

-最值：函数在整个定义域内的最大