北师大版数学九年级上册 菱形的判定同步练习

菱形的判定

一、选择题

1.下列条件能判断四边形48co是菱形的条件是（）

A.对角线互相平分B.对角线互相垂直

C.邻边相等D.对角线互相垂直且平分

2.若平行四边形对角线的平方和等于它一边平方的四倍，则该平行四边形一定

为（）

A.矩形.B.菱形.C.矩形和菱形.D.正方形.

3.满足下列（）的是菱形.

A.两对角线相等

B.两对角线垂直

C.两条对•角线垂直且互相平分

D.两条对角线相等且互相垂直

4.顺次连结四边形各边中点得到的四边形是一个菱形，则原来的四边形必是

（）

A.等腰梯形B.矩形C.对角线相等D.菱形

5.将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两

部分，将①展开后得到的平面图形是（）

A.矩形B.三角形C.正方形D.菱形

6.已知四边形的两条对角线相等，那么顺次连结四边形各边中点，得到的四边

形是（）

A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形

7.用两根等宽的木条交叉重叠在一起，则重叠部分的图形一定是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.无法确定

8.已知四边形4BCO是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（）

A.AB=CD

B.AC=BD

C.ACJ.8O时，它是菱形

D.当乙48C=90时，它是矩形

二、填空题

9.依次连结等腰梯形各边中点所成的四边形是.

10.在四边形中，对角线AC、BD交于点O,从(1)AB=CD；(2)

AB//CD;(3)OA=OC;(4)OB=OD；(5)AC-LBD；(6)AC平分N8AD

这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形.如(1)(2)(5)=>ABCD

是菱形，再写出符合要求的两个：nABCO是菱形；

=>A8c。是菱形.

11.延长等腰△ABC顶角平分线4;到£使。E=AD,连结BE,CE,则四边形

ABEC是_________形.

12.对角线的四边形是菱形.

13.将矩形A8CD绕对角线交点逆时针方向旋转一角度后，使A与8重合，得

矩形BFDE,BF交AD于M,DE交BC于N,则四边形8MON是______(填特

殊四边形的名称).

三、证明题

14.已知I,如图，从菱形A8CD对角线的交点。分别向各边引垂线，垂线分别是

E,F,G,H.

求证：四边形及GH是矩形.

15.已知四边形A3CO的四边分别为a,b,c,d,n.满足

aA+b4+c4+d4=4abcd,求证：四边形A3CZ）是菱形.

16.已知口48CD是对角线AC、5力相交于0,如图，且4。=而AC=6,

80=4,你能说明四边形A8CQ是菱形吗？

17.如图所示，RtAABC中，ZACB=90,NABC的角平分线3。交AC于点Q,

CH上AB交BD于F,DE上AB于E,四边形CDM是菱形吗？

18.如图，在五边形ABCDE中，AB=BC=CD=DE=EA,ZABC=2NDBE.请

说明：四边形ACDE是菱形.

19.如图，在△ABC中，AO是N84。的平分线，所垂直平分A。交48于£,

交AC于尸，求证：四边形AEDF是菱形.

BD

23.如图所示，在四边形A8co中，对边AB=CQ,M,N,P,Q分别是A。,

BC,AC,8。的中点，求证：MNA.PQ.

24.如图，四边形A8CZ）中，点E在上，且△ADE与△BCE都是正三角形,

点尸，Q,M,N分别为边AB,BC,CD,的中点.求证：四边形PQMN

为菱形.

25.如图，四边形A8CD中，ZXBC=ZADC=90,M为AC中点，且

与MD的平行线8N交于N,求证：四边形8NDV;为菱形.

A

D

M

BN

C

26.如图RtZ\48C中，ZBAC=90,4O_L8C于。，CE平分NAC8交AO于G,

交AB于E,EFLBC于尸,求证：四边形AEFG为菱形.

27.DABCD的对角线的垂直平分线与边A£>,8C分别交于£F,求证：四边

形AFTE是菱形.

28.已知：如图，过口/WCD的对角线交点。作互相垂直的两条直线£GFH与

平行四边形A8CO各边分别相交于点EF,GH.

求证：四边形EPG”是菱形.

29.如图，在口48CD中，。是对角线AC的中点，过点。作AC的垂线与边AD,

BC分别交于E,F.

求证：四边形是菱形.

四、应用题

30.如图，在四边形A8CO中，£、F、G、H分别是A8、BC、CD、0A的中点,

请添加一个条件，使四边形E/G”为菱形，并说明理由.

参考答案

一、选择题

1.D

2.B

3.C

4.C

5.D

6.C

7.B

8.B

二、填空题

9.菱形

10.⑴⑵⑹⑶⑷(5)[或⑶(4)⑹]

11.菱

12.互相平分且垂直

13.菱形

三、证明题

14.先证四边形Z/E尸G为平行四边形，再证HF=EG.

15.解：因为"+；/+/+d4=4曲4,所以2/+2/?4+2/+2/一&活cd=0,所

以

(a4-2a2b2+//)+(//-2«2c2+c4)+(c4-2c2J2+J4)+(J4-2a2d24-a4)

+2(a2b?-2abcd+c2r)+2(a2d2-2abed+b?*)=Q

所以

2

伍2_12)2+(从-02)2+{c2一>y+(/_〃2)2+23b-Cdf+23d-be)=0由非负

数性质得，a2-b2=0,b2-c2=0,c2-J2=0,

d2-a2=0,ab-cd=0,acl-be=0.

所以a=〃=c=c/.

所以四边形ABC。是菱形.

16.解：•・•四边形A8CO是平行四边形，AC=6,BD=4.

：.OA=OC=3,OB=OD=2.

乂・.•AO=屈.

AD2=0^+002.

:.ZAOD=90,即:ACJ_8O

UM8c。是菱形.

17.解：四边形CO所是菱形.理由如下：

・.・OEJ_AACHLAB,

;.DE//CH.

即：DE//CF.

又•••3。是角平分线，

:.DE=DC,

且NBDE=NBDC.

•/DE//CH,

NBDE=NCFD.

/CDF=ZDFC.

:.CD=CF.

CF=DE.

四边形CO耳'是平行四边形，又因3c=OE.

四边形CDEr是菱形.

18.提示：只需证四边形EACD为平行四边形，只需证明4石〃CO,过B作

3加〃/1£经证用0〃。力即可.

19.•・,砂垂直平分AZ),:.AE=DE,AF=DF,

•・・AD平分N8AC,/.△AED^AAFD,：.AE=AF,：.AE=DE=AF=DF,

故四边形A以加是菱形.

20.(1)可证OA=」AC,OB=-BD,：.OA=OB.

22

;人/垂直平分。/?,：.OA=AB=OB,故△AO8为等边三角形.

(2)在等边△AQ4中，AFA.OB,：./：OAE=^BAE=30,

可证明NFC4=NZMC,ZFCA=ZEAO,：.AF=CF,

可证明四边形A”1〃是平行四边形，而Ab=b,故四边形是菱形.

21.(1)•・•在矩形A8C3中，AB//CD,:・ZE=/F,NEBO=NFDO,又

BO=OD，・MBOE部/\DOF.

(2)当E尸与AC垂直时，四边形AEb为菱形.

证明：•:ABOEmADOF,：.EO=FO.

又AO=OC,・••四边形AEb为平行四边形.

又MJLAC,・・・四边形AECF为菱形.

22.证明：设AN与ME交于点。，因为AO是R【Z\A8C斜边8c上的高，

所以N/W£>=N6O.

又BE,AN分别平分448。和NC4O,

所以NE4N=Z/WE.

所以在RtZXA5E中，乙4。3=90,△AWE是等腰三角形，AN平分ME,

又因为NABO=NNBO,OB=OB,

所以RtZXAOBgRtZXNOB,AO=ON,即ME'垂直平分AN,四边形AMNE是

菱形.

23.证明四边形MQV尸是菱形即可.

24.连结AC,BD,•.•△ADE与△BCE都是正三角形，.♦.A£=O