2025年中考数学二轮复习专题1 如何利用中点解决问题

专题1如何利用中点解决问题核心归纳编写说明：将此类难题的核心要点总结、结合例题加深理解，之后练综合题目易有解题思路.类型何时用辅助线解题通法联想“三线合一”遇到等腰三角形底边上的中点(或等腰三角形)联想“三线合一”的性质，作底边上的中线(或作底边上的高)、遇到等腰三角形底边上的中点或等腰三角形(或“中点+垂直”)，利用或构造等腰三角形“三线合一”(垂直平分线)得到等线段、等角、直角、2倍角、2倍线段，再与其他条件、结论组合来解决问题.构造“8字”全等遇到三角形一边上的中点考虑构造“8字”全等三角形：(1)倍长中线或一端点为中点的线段；(2)作平行线.用倍长法或作平行线法构造“8字”全等三角形，实现边、角位置的转换(如AC转换到BE,∠CAD转换到∠E),证明线段间的数量关系，该类型经常会与中位线定理一起综合应用.构造中位线遇到三角形中任意两边的中点或一边上的中点(1)遇到三角形中任意两边的中点，直接构中位线；(2)遇到三角形中一边上的中点，取中点构中位线.以(1)为例，利用三角形中位线定理，得线段的位置关系(DE∥BC)，12的数量关系(DE=构造直角三角形斜边中线遇到直角三角形斜边上的中点构造斜边上的中线.有时有直角无中点，要找(或取)中点，利用“斜边上的中线等于斜边的一半”，得线段2倍的数量关系、线段相等((CD=AD=BD=1类型突破编写说明：每类例题由浅入深设置，包含该类型的经典情况且在不同几何图形背景下，让学生先练透每个类型，抓住核心本质后再综合练习.类型1·联想“三线合一”例1.课堂上,老师出示了这样一道题:如图1,在△ABC中,∠A=90°-2∠C,AC=8,AB=4.D是BC的中点,过点D作DE⊥BC交AC于点E,求CE的长.小星分析题干信息，由“D是BC的中点，DE⊥BC”，得DE是BC的垂直平分线，于是连接BE，导角可得∠ABE=90°，再利用勾股定理即可求得CE的长.(1)请用小星的方法或自己的方法求CE的长；(2)如图2,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AC,AD=CD=2,BA=3,E是AC的中点,求BE的长;(3)如图3,在等腰△ABC中,AB=AC,过点B作BF⊥AC,垂足为D,以点B为圆心,BA长为半径画弧,交BF于点E,连接AE,CE.①若∠CBF=α,求∠CAE的度数;(用含α的代数式表示)难若BC=m，直接写出△BCE的面积.(用含m的代数式表示)类型2·构造“8字”全等例2.【问题初探】在数学活动课上，赵老师给同学们布置了以下问题:如图1,AD是△ABC的中线,BE交AC于点E,交AD于点F,且BF=AC.求证:AE=EF.遇到三角形一边上的中点，小徐、小吴两名同学都考虑用倍长中线法构造全等三角形，但从不同角度思考进行倍长；小徐同学:直接倍长△ABC的中线AD,如图2,延长AD至点G,使DG=AD,连接BG,构造全等三角形，将有已知信息的边AC以及与问题相关的∠CAD进行转换，得等腰三角形解决问题.小吴同学：倍长一个端点为中点的线段FD，如图3，延长FD至点G，使DG=DF，连接CG，构造全等三角形，将有已知信息的边BF以及与问题相关的∠BFD进行转换，得等腰三角形解决问题.(1)请你从两名同学中选择一名同学的解题思路或用自己的方法写出证明过程；【类比分析】(2)如图4,△ACB为直角三角形,且∠ACB=90°,AD是△ABC的中线,BE交AC于点E,交AD于点F,且BF=AC,若△ACB的面积为1254【学以致用】(3)如图5.在△ABC中,AD为BC边上的高,且BC=AD,延长△ADB的中线BF与AC相交于点E，若△ABD的面积为6,sin∠ABC=例3.|领跑改编|如图，E为正方形ABCD内一点，连接AE，将AE绕点A顺时针旋转90°，得到线段AF,连接DF,G是DF的中点,直线AG与直线BE相交于点H.求证:AH⊥BE.类型3·构造中位线例4小星遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且BD=AE.连接BE,AD,F,G分别是BE,AD的中点,直线FG与BC,AC分别相交于点M,N.求证:CM=CN.小星分析题目条件发现“F，G分别是BE，AD的中点”“BD=AE”，这四条有条件信息的线段在△ABE和ADB中,且这两个三角形有公共边AB,于是取AB的中点H,连接FH,GH,如图2，就可以得到两条中位线，再利用中位线的性质就可以得到∠CMN和∠CNM的数量关系,从而证得CM=CN.(1)请完成证明；用学过的知识或参考小星的思路方法解答下列问题：(2)如图3,在△ABC中,D,E分别是BC,AC上的点,且.BD=AE,,连接DE,G,H分别是DE,AB的中点,CF平分∠BCA,猜想GH与CF的位置关系,并证明;(3)如图4,在矩形ABCD中,AD=3,AB=2,E是直线CD上一点,连接AE,△AED与△AEF关于AE对称,点B关于AF的对称点是点G,连接FG,H是FG的中点,直接写出AH的最小值.类型4·构造直角三角形斜边中线例5.如图1,在△ABC中,BD,CE均是△ABC的高,F是BC边的中点,G是ED的中点，探究FG和ED的位置关系.小星同学由题目条件出现直角，结合“F是BC边的中点”想到直角三角形的斜边中线，于是连接EF，DF，得到△EFD是等腰三角形，从而探究出FG和ED的位置关系.(1)请完成上面的探究；(2)如图2、在▱ABCD中,DE⊥CD交AC于点E,若(CE=2BC,探究∠ACB与∠ACD的数量关系；(3)难如图3,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E是直线CD上一点,连接AE,过点A作AE的垂线交直线BC于点F,连接EF,G是EF的中点,点H在BC上,且CH=2,直接写出HG的最小值.2.综合提升练1.数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时发现：当题目中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题.(1)如图1,在△ABC中,AB=2,AC=6,AD为BC边上的中线,则AD的取值范围为;(2)如图2,在△ABC中,∠B=90°,AB=7,AD是△ABC的中线,CE⊥BC于点C,CE=11且∠ADE=90°.求AE的长;(3)如图3,在△ABC中,AF⊥BC于点F,将AB绕点A逆时针旋转90°得到AD,将AC绕点A顺时针旋转90°得到AE,连接DE,延长AF交DE于点O.求证:O为DE的中点.拓展——思维能力有提升1.1如图,在矩形ABCD中,.AB=2,BC=4,将矩形ABCD绕点C在平面内旋转得到矩形CEFG,连接AF,GE,H为AF的中点,点O在线段GE上,且(OE=2OG,，求OH的最大值.2.在Rt△ABC中,∠BCA=90°,BC=CA,D是射线CA上一点,O是AB的中点,CE是△BCD的中线.(1)如图1,当∠DBC=30°时,求OCCE(2)如图2,过点E作EG⊥BD交AB于点G,CO与BD相交于点F.求证:GA=CF+(3)射线CO,BD相交于点F,若CA=4,AD=1,求EF的长.3.(1)如图1，尺规作图：在△ABC的BC边上求作一点D，连接AD，使△ABD的面积与△ACD的面积相等；(保留作图痕迹，不写作法)(2)如图2,在等边△ABC中,D为AC边上一点,且△ABD的面积与△CBD的面积相等，E为BC的延长线上一点,且CD=CE,连接AE,取BD的中点F,连接AF,过点F作FG⊥AE.求证：EG=(3)如图3,在等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,E为BC边上一动点,以CE为边在CE上方构造等边△CED,连接AD,BD,F为BD的中点,若BC=12,AF=74.【问题提出】在专题复习课上，王老师组织同学们对下列问题进行探究：如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,F为△ABC内一点,连接AF,将AF绕点F顺时针旋转90°得到DF,连接BF并延长到点E,使EF=BF,连接AD,BD,CD,DE.求证:DE⊥CD,DE=CD.【思路探究】“神州”小组的解题思路：遇到三角形一边上的中点想到倍长中线构造全等三角形，如图2，延长DF至点G,使GF=DF,连接BG,这样可以将证明DE和CD的关系转化为BG和CD的关系;“智慧”小组的解题思路：结合F为BE的中点构造三角形的中位线，如图3，过点B作BH∥DF交ED的延长线于点H，连接CH，从而借助三角形中位线的性质，将DE和CD的关系转化为DH和CD的关系.(1)请你选择其中一个小组的思路，或者用你自己探究的思路写出证明过程；【思维训练】王老师为了进一步让学生体会中点问题的解决思路，又出示了下列问题：(2)如图4,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,D为AB上一点,将CD绕点C逆时针旋转60°得到CE,连接BE,DE,O为DE的中点,连接BO并延长交CD的延长线于点F,若∠EBO=2∠BCE,探究OF,OB与BE之间的数量关系;【能力提升】(3)“北斗”小组的同学在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接CE，若F为平面内一点,AD∥CE,CD=2,AC=3,其他条件不变,求AF的长.5.【问题初探】数学课上，数学王老师出示了一道中点问题：如图1，在△ABC中，CE为AB边上的中线，且AC=AE,D是线段AE的中点,连接CD.求证:BC=2CD.如图2，小星同学从“D是线段AE的中点”条件联想到倍长中线：延长CD至点F，使FD=CD，连接AF，这样将BC与2CD的数量关系转化成BC与CF的数量关系；如图3，小亮同学从结论联想到中位线：取AC的中点F，连接EF，将BC与2CD的数量关系转化成EF与CD的数量关系；(1)请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程；【迁移应用】(2)如图4,在等边△ABC中,D为BC边上一动点,连接AD,将AD绕点D顺时针旋转120°得到DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF，猜想CD与DF的数量关系，并证明你的猜想；【能力提升】(3)如图5,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90∘,D是斜边BC上一点,且BD<CD,连接AD,将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE,连接BE,F为线段BE的中点,连接DF.若∠CDE=1专题1如何利用中点解决问题例1.解:(1)如图1.连接BE.∵D是BC的中点,DE⊥BC,∴DE是BC的垂直平分线.∴BE=CE.∴∠C=∠CBE.∴∠AEB=∠C+∠CBE=2∠C.∵∠A=90°-2∠C.∴∠A+2∠C=∠A+∠AEB=90°.∴∠ABE=18设CE=x,则AE=8-x,BE=x.在Rt△ABE中.根据勾股定理,.A∴4(2)如图2,连接DE.∵AD=CD=2,E是AC的中点,∴DE⊥AC,AC=2AE.∵AB⊥AC,∴∠BAC=∠DEA=90°.∵AD∥BC,∴∠ACB=∠EAD.∴△BAC∽△DEA.∴∴DE=在Rt△ADE中,根据勾股定理,得A在Rt△ABE中，根据勾股定理，得BE=(3)①∵BF⊥AC,∴∠BDC=90°.∴∠ACB=9∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=90°-α.∴∠ABD=∠ABC-∠CBF=90°-2α.∴∠BAD=9∵BA=BE,∴∠BAE=∴∠CAE=∠BAE−∠BAD=4②1∴∠AGB=∠BHE=90°.由①，得∠EBH=∵AB=AC,AG⊥BC,∴∠BAG=又BA=EB,∠AGB=∠BHE,∴△ABG≌△BEH.∴BG=EH=∴例2.解：(1)选小徐同学.证明:如图1,延长AD至点G,使GD=AD,连接BG.∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD.又∠BDG=∠CDA,GD=AD,∴△BDG≌△CDA.∴∠G=∠CAD,GB=AC.∵BF=AC,∴GB=BF.∴∠G=∠BFD=∠CAD.又∠BFD=∠AFE,∴∠AFE=∠CAD.∴AE=EF.一题多解选小吴同学.证明:如图2,过点C作CG∥BF交AD的延长线于点G.∴∠AFE=∠BFD=∠G.∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD.又∠BDF=∠CDG,∴△BDF≌△CDG,∴BF=CG.∵BF=AC,∴CG=AC、∴∠G=∠FAE.∴∠AFE=∠FAE.∴AE=EF.(2)如图3,延长AD至点Q,使AD=QD,连接BQ.∵AD是△ABC的中线,∴CD=BD.又∠ADC=∠QDB、AD=QD、∴△ADC≌△QDB..∠Q=∠CAD,AC=BQ.∵AC=BF,∴BQ=BF.∴∠Q=∠BFQ=∠CAD.∵∠BFQ=∠AFE,∴∠AFE=∠CAD、∴AE=EF.在Rt△ABC中,∵∴设AC=5x、BC=8x、∵解得x=54负值已舍)、(设AE=EF=a、则CE=在Rt△BCE中,根据勾股定理,B∴10(3)如图4,过点A作AQ∥BC,交BE的延长线于点Q.∴∠Q=∠FBD,△AEQ∽△CEB.∵BF是△ADB的中线,∴FA=FD.又∠AFQ=∠DFB,∠Q=∠FBQ,∴△AFQ≌△DFB.∴AQ=DB,FQ=FB.在Rt△ABD中,.∵∴设AD=4x,AB=5x,根据勾股定理，得BD=∵∴1∴AQ=BD=3,BC=AD=4.∴DF=2.∴根据勾股定理，得.FB=∴BQ=2FB=2∵△AEQ△CEB,∴∴BE=例3.证明:如图;延长AG至点M,使AG=MG,连接FM,设FM交AB于点N,交BE于点K.∵四边形ABCD是正方形,∴∠DAB=90°,AD=AB.∵G是DF的中点,∴DG=FG.又∠AGD=∠MGF,AG=MG,∴△AGD≌△MGF.∴AD=MF,∠ADG=∠MFG.∴AB=FM,AD∥FM.∴∠ANM=180°-∠DAB=90°.∴∠FAN+∠AFN=90°,∴∠BNK=90°.∵AE绕点A顺时针旋转90°,得到线段AF,∴∠FAE=∠FAN+∠EAB=90°,AE=FA.∴∠AFN=∠EAB.又FM=AB,∴△AFM≌△EAB.∴∠M=∠ABE.又∠NKB=∠HKM,∴∠BNK=∠MHK=90°.∴AH⊥BE.例4.解:(1)证明:如图1,取AB的中点H,连接FH,GH.∵F,G分别是BE,AD的中点,.GH=∴∠CMN=∠HGF,∠CNM=∠HFG.∵BD=AE,∴GH=FH.∴∠HGF=∠HFG.∴∠CMN=∠CNM.∴CM=CN.(2)GH∥CF.证明:如图2,连接BE,取BE的中点K,连接GK,HK,设CF交DE于点J.∵G,H分别是DE,AB的中点,∴GK=∴∠EBC=∠F=90°.∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,∴AB=AC.∴∠ACB=45°、∴∠BEC=45°=∠ACB.∴BE=BC.∴AE=AC.在Rt△EBC中,cos∠ACB=BCEC∵∠BDC=135°,∴∠CDF=45°.∴∠DCF=45°=∠CDF.∴∠ECD=∠BCF、在Rt△CDF中、sin∠CDF=CFCD,即又∠BCF=∠ECD、∴△BCF∽△ECD、∴∠F=∠CDE=90°.∵AE=AC、∴AD=∵BC=2例3.解:(1)EF=BE+DF;∠AFD=∠AFE详解如图1,延长CB至点G,使BG=DF,连接AG.∵四边形ABCD是正方形,∴∠D=∠BAD=∠ABC=∠ABG=90°,AD=AB.又DF=BG,∴△ADF≌△ABG.∴AF=AG,∠1=∠3,∠AFD=∠G.∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,∴∠1+∠2=45°,∴∠3+∠2=45°,即∠EAG=45°.∴∠EAF=∠EAG.又AF=AG,AE=AE,∴△AEF≌△AEG.∴EF=EG,∠AFE=∠G.∴∠AFD=∠AFE.∵EG=BE+BG=BE+DF,∴EF=BE+DF.(2)如图2,过点A作AH⊥AF,且使AH=AN,连接BH,MH.∴∠HAN=90°,即∠3+∠BAF=90°.∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADB=∠ABD=45°,∠BAD=90°,AD=AB.∴∠1+∠BAF=90°.∴∠1=∠3.又AD=AB,AN=AH,∴△ADN≌△ABH.∴DN=BH,∠ADN=∠ABH=45°,∴∠HBM=90°.∵∠HAF=90°,∠EAF=45°,∴∠HAM=45°=∠NAM.又∧H=AN,AM=AM,∴△AHM≌△ANM.∴HM=NM.在Rt△HBM中,∵根据勾股定理,.BH2例4.解:例3(1)的结论发生改变,BE=DF+EF,∠AFD+∠AFE=180°.详解如图1,在BE上取一点H,使DF=BH,连接AH.∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠ADF=90°,AD=AB.∴△ADF≌△ABH.∴AF=AH,∠FAD=∠HAB,∠AFD=∠AHB.∵∠BAD=∠HAB+∠HAD=90°,∴∠FAD+∠HAD=∠HAF=90°.∵∠EAF=45°,∴∠EAH=45°=∠EAF.又AF=AH,AE=AE,∴△AEF≌△AEH.∴EF=EH,∠AFE=∠AHE.∵∠AHB+∠AHE=180°,∴∠AFD+∠AFE=180°.一:BE=EH+BH,∴BE=EF+DF.例3(2)的结论不发生改变，理由如下：如图2,过点A作AH⊥AF,且使AH=AN,连接BH,MH.∴∠HAN=90°,即∠HAD+∠DAN=90°.∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADB=∠ABD=45°,∠BAD=90°,AD=AB.∴∠BAH+∠HAD=90°.∴∠DAN=∠BAH.又AD=AB,AN=AH,∴△ADN≌△ABH.∴DN=BH,∠ADN=∠ABH=135°.∴∠MBH=∠ABH-∠ABD=90°,∵∠HAN=90°,∠EAF=45°,∴∠HAM=4又AH=AN,AM=AM,∴△AHM≌△ANM.∴HM=NM.在Rt△HBM中,∵根据勾股定理,BH2解:如图,以点B为顶点,作∠ABG=∠CBF,且BG=BF,连接AG,EG,过点G作GH⊥AE、交EA的延长线于点H.∵四边形ABCD是菱形、∴AD∥BC,AB=CB.∵∠BAD=120°,∴∠C=120°、∠ABC=60°.∵AB=CB,∠ABG=∠CBF,BG=BF,∴△ABG≌△CBF.∴∠BAG=∠C=120°,CF=AG=2.∴∠GAE=120°.∴∠GAH=60°.∵GH⊥AE,∴∠H=90°.∴AH=AG×cos∠GAH=2×∴EH=AH+AE=1+3=4.根据勾股定理、得EG=∵∠EBF=30°,∠ABC=60°、∴∠ABE+∠CBF=30°、∴∠ABE+∠ABG=∠EBG=30°.∴∠EBF=∠EBG.又BF=BG,BE=BE,∴△EBF≌△EBG、∴EF=EG=例6.解：(1)选择小星的思路.如图1.延长BD至点E,使得DE=CD,连接CE.∵∠BDC=120°.∴∠CDE=60°.∴△CDE是等边三角形.∴∠DCE=∠E=60°,CD=CE.∵△ABC是等边三角形.∴∠ACB=60°,AC=BC.∴∠ACB-∠BCD=∠DCE+∠BC