2025年江苏省扬州市梅岭中学教育集团中考数学二模试卷

2025年江苏省扬州市梅岭中学教育集团中考数学二模试卷一.选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）﹣2025的绝对值是（）A．﹣2025 B．2025 C．-12025 D2．（3分）下列运算正确的是（）A．a2⋅a3＝a6 B．a6÷a＝a3 C．（a2b）2＝a4b2 D．（a2）3＝a53．（3分）如图是一个几何体的平面展开图，则这个几何体是（）A． B． C． D．4．（3分）图中的“双鱼”图案是中心对称图形，其中一条“鱼”经过怎样的变换可以与另一条“鱼”重合？下列结论：①1次旋转；②2次平移；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号是（）A．① B．①② C．②③ D．①③5．（3分）一组数据：31，32，35，37，35，这组数据的平均数和中位数分别是（）A．34，34 B．35，35 C．34，35 D．35，346．（3分）如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B在直线n上，连接AB，过点A作AC⊥AB，交直线n于点C．若∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°7．（3分）△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是（）A．54 B．36 C．27 D．218．（3分）已知A（a，b），B（b，c），将线段AB平移得到线段CD，其中，点A的对应点为点C，若C（a+2，n），D（m，c﹣3），则m﹣n的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5二.填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）9．（3分）某种流感病毒的直径大约为0.00000008米，用科学记数法表示为米．10．（3分）分解因式：2x2﹣2＝．11．（3分）若二次根式3-x有意义，则x的取值范围是12．（3分）若a，b为连续整数，且a＜30＜b，则a+b＝13．（3分）一个圆锥的母线长为6，底面圆的半径为4，那么这个圆锥的侧面积是．14．（3分）一只不透明的袋子中装有5个红球和1个黄球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸出红球的概率等于．15．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是．16．（3分）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两个实数根，则（x1﹣1）（x2﹣1）的值为．17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（﹣2，3），AD＝5，若反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为18．（3分）如图，∠ACB＝60°，⊙O的半径为3且与∠ACB两边都相切，点P为圆上一动点，分别作PM⊥CA，PN⊥CB，令s＝PM+2PN，则s的最大值与最小值的差为．三.解答题（本大题共10小题，共96分）19．计算：（1）π0（2）a220．解不等式组x-21．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某食品厂为了解市民对去年销量较好的A、B、C、D四种粽子的喜爱情况，在端午节前对某小区居民进行抽样调查（每人只选一种粽子），并将调查情况绘制成如下两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图，并在扇形统计图中标出D种粽子所占百分比；（2）扇形统计图中，D种粽子所在扇形的圆心角是°；（3）这个小区有2500人，估计爱吃B种粽子的人数为人．22．化学实验课上，张老师带来了Mg（镁）、Al（铝）、Zn（锌）、Cu（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：Mg、Al、Zn可以置换出氢气，而Cu不能置换出氢气）（1）小明从四种金属中随机选一种，则选到Al的概率为；（2）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属分别进行实验，求二人所选金属均能置换出氢气的概率．23．为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．24．【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积q（q＝mn）与较大数的和一定为较大数的平方．（1）举例验证：当m＝4，n＝5，则q+n＝4×5+5＝25＝52（2）推理证明：小明同学做了如下的证明：设m＜n，m、n是连续的正整数，∴n＝m+1；∵q＝mn，∴q+n＝mn+n＝n（m+1）＝n2．∴q+n一定是正数n的平方数．【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方．请你举例验证及推理证明；【深入思考】若p=q+2n+q-2m（m，n为两个连续奇数，0＜m25．如图，点P是⊙O的直径BA延长线上一点，AO＝AP，OP绕点P按逆时针方向旋转60°，点O旋转到点C，连接CO交⊙O于点D，连接DP．（1）判断直线PD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝2，求阴影部分的面积．26．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是CD边上的一点，点P在BC边上，且满足∠DEP+∠APB＝180°．（1）请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P；（要求：尺规作图，写出必要的文字说明，保留作图痕迹）（2）若CE＝1，试确定tan∠EPC的值．27．综合与探究：如图，四边形OABC为正方形，M为线段OA上一动点，且OM＝a，连接BM．（1）如图1，若OA＝8，将正方形OABC沿BM折叠，使得点A的对应点A′落在正方形内．①A′M＝；（用含字母a的代数式表示）②当M为OA中点时，如图2，连接MA′并延长交OC于D，求证OD＝2CD．（2）如图3，作BN⊥BM，交射线OC于点N，猜想并证明OM，ON，AB的数量关系．（3）当点M在射线AO上时，作BN⊥BM交射线OC于点N，射线NM与射线BO相交于点E，若ON＝3OM，请直接写出NEME28．如图1，抛物线y=12x2与一次函数y＝kx+b（k＞0，b＞0）交于A、B（1）当k=32，b＝2时，求A、（2）若b＝2，作OP⊥AB，则点P到y轴距离的最大值为．（3）如图2，若k＝1，设直线AB与y轴交于点C，过点B作x轴垂线交AO延长线于点E，交x轴于点D．①求证：CO＝DE；②连接CE，交OD于点F，请判断直线BF与抛物线的公共点个数，并说明理由．

2025年江苏省扬州市梅岭中学教育集团中考数学二模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BCADCBCD一.选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）﹣2025的绝对值是（）A．﹣2025 B．2025 C．-12025 D【分析】根据绝对值的定义即可解决问题．【解答】解：由题知，﹣2025的绝对值是2025．故选：B．【点评】本题主要考查了绝对值，熟知绝对值的定义是解题的关键．2．（3分）下列运算正确的是（）A．a2⋅a3＝a6 B．a6÷a＝a3 C．（a2b）2＝a4b2 D．（a2）3＝a5【分析】利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A、a2⋅a3＝a5，故A不符合题意；B、a6÷a＝a5，故B不符合题意；C、（a2b）2＝a4b2，故C符合题意；D、（a2）3＝a6，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．3．（3分）如图是一个几何体的平面展开图，则这个几何体是（）A． B． C． D．【分析】观察所给平面展开图即可选择．【解答】解：由题图知，该平面展开图是由一个扇形和一个圆组成，由圆锥的侧面展开图是扇形，地面是一个圆，可知该几何体是圆锥．故选：A．【点评】本题主要考查几何体的展开图，熟记几何体展开图的形状是解题关键．4．（3分）图中的“双鱼”图案是中心对称图形，其中一条“鱼”经过怎样的变换可以与另一条“鱼”重合？下列结论：①1次旋转；②2次平移；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号是（）A．① B．①② C．②③ D．①③【分析】根据旋转变换、平移变换和轴对称变换逐项判断即可求解．【解答】解：根据旋转变换、平移变换和轴对称变换逐项分析判断如下：一条“鱼”可以通过绕图案中心旋转180°与另一条“鱼”重合，故①正确；通过平移变换无法使一条“鱼”与另一条“鱼”重合，故②错误；将一条“鱼”沿一条通过图案中心的直线进行轴对称变换，然后沿另一条垂直于第一条直线的通过图案中心的直线进行轴对称变换，可以与另一条“鱼”重合，故③正确；∴正确的结论为①③，故选：D．【点评】本题考查了旋转变换，平移变换和轴对称变换，掌握以上知识点是解题的关键．5．（3分）一组数据：31，32，35，37，35，这组数据的平均数和中位数分别是（）A．34，34 B．35，35 C．34，35 D．35，34【分析】根据平均数与中位数的定义求解即可．【解答】解：这组数据的平均数是：15这组数据从小大到大排序为：31，32，35，35，37，∵一共有5个数据，∴中位数为第3位数，即35，故选：C．【点评】本题主要考查了平均数与中位数的定义，熟练掌握平均数与中位数的求解方法是解答本题的关键．6．（3分）如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B在直线n上，连接AB，过点A作AC⊥AB，交直线n于点C．若∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】根据平行线的性质可得∠ACB＝∠1＝50°，进而根据∠BAC＝90°，即可求解．【解答】解：∵m∥n，∠1＝50°，∴∠ACB＝∠1＝50°，∵AC⊥AB，∴∠BAC＝90°，∴∠2＝90°﹣∠ACB＝40°，故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．7．（3分）△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是（）A．54 B．36 C．27 D．21【分析】（1）方法一：设2对应的边是x，3对应的边是y，根据相似三角形的对应边的比相等列等式，解出即可；方式二：根据相似三角形的周长的比等于相似比，列出等式计算．【解答】解：方法一：设2对应的边是x，3对应的边是y，∵△ABC∽△DEF，∴2x∴x＝6，y＝9，∴△DEF的周长是27；方式二：∵△ABC∽△DEF，∴C△∴2+3+4C∴C△DEF＝27；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质的应用是解题关键．8．（3分）已知A（a，b），B（b，c），将线段AB平移得到线段CD，其中，点A的对应点为点C，若C（a+2，n），D（m，c﹣3），则m﹣n的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5【分析】根据平移的性质，用含b的代数式表示出m和n即可解决问题．【解答】解：因为点A（a，b）平移后的对应点为C（a+2，n），点B（b，c）平移后的对应点为D（m，c﹣3），所以a+2﹣a＝m﹣b，n﹣b＝c﹣3﹣c，则m＝b+2，n＝b﹣3，所以m﹣n＝b+2﹣（b﹣3）＝5．故选：D．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，熟知图形平移的性质是解题的关键．二.填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）9．（3分）某种流感病毒的直径大约为0.00000008米，用科学记数法表示为8×10﹣8米．【分析】确定所有零的个数n，省略所有的零，把小数点点在第一个非零数字的右边，得到a，把小数写成a×10﹣n即可．【解答】解：∵0.00000008＝8×10﹣8．故答案为：8×10﹣8．【点评】本题考查了小于1的数的科学记数法，熟练掌握a，指数的确定方法是解题的关键．10．（3分）分解因式：2x2﹣2＝2（x﹣1）（x+1）．【分析】先提公因式再利用平方差公式法进行因式分解即可．【解答】解：2x2﹣2＝2（x2﹣1）＝2（x2﹣12）＝2（x+1）（x﹣1）．故答案为：2（x+1）（x﹣1）．【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．11．（3分）若二次根式3-x有意义，则x的取值范围是x≤3【分析】直接利用二次根式的性质得出3﹣x的取值范围，进而求出答案．【解答】解：∵二次根式3-x∴3﹣x≥0，解得：x≤3．故答案为：x≤3．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的性质是解题关键．12．（3分）若a，b为连续整数，且a＜30＜b，则a+b＝【分析】根据25＜30＜36，可得5＜30＜6，即可得出a＝5，b＝6，因此a+【解答】解：∵25＜∴5＜30＜∴a＝5，b＝6，∴a+b＝5+6＝11，故答案为：11．【点评】本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握其估算方法是解题的关键．13．（3分）一个圆锥的母线长为6，底面圆的半径为4，那么这个圆锥的侧面积是24π．【分析】根据圆锥的侧面积公式进行计算即可．【解答】解：由题知，因为圆锥的母线长为6，底面圆的半径为4，所以圆锥的侧面积为：4×6×π＝24π．故答案为：24π．【点评】本题主要考查了圆锥的计算，熟知圆锥的侧面积公式是解题的关键．14．（3分）一只不透明的袋子中装有5个红球和1个黄球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸出红球的概率等于56【分析】用红球的个数除以球的总个数即可得．【解答】解：∵袋子中共有5+1＝6个小球，其中红球有5个，∴搅匀后从中任意摸出1个球，摸出红球的概率等于56故答案为：56【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．15．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是36°．【分析】根据∠ACB＝54°，可以得到∠AOB的度数，再根据OA＝OB，三角形内角和是180﹣°，即可得到∠ABO的度数．【解答】解：∵∠ACB＝54°，∴∠AOB＝108°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO，∵∠ABO+∠BAO+∠AOB＝180°，∴∠ABO＝36°，故答案为：36°．【点评】本题考查圆周角定理、三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．16．（3分）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两个实数根，则（x1﹣1）（x2﹣1）的值为﹣3．【分析】由x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两个实数根，得x1+x2＝2，x1•x2＝﹣2，而（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1•x2﹣（x1+x2）+1，再代入求值即可．【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两个实数根，∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣2，∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1•x2﹣（x1+x2）+1＝﹣2﹣2+1＝﹣3；故答案为：﹣3．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是把所求式子变形后整体代入求值．17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（﹣2，3），AD＝5，若反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为323【分析】过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，得到∠BHC＝90°，根据勾股定理得到AE＝4，根据矩形的性质得到AD＝BC，根据全等三角形的性质得到BH＝AE＝4，求得AF＝2，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，∴∠BHC＝90°，∵点D（﹣2，3），AD＝5，∴DE＝3，∴AE=AD∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∴∠BCD＝∠ADC＝90°，∴∠DCP+∠BCH＝∠BCH+∠CBH＝90°，∴∠CBH＝∠DCH，∵∠DCP+∠CPD＝∠APO+∠DAE＝90°，∠CPD＝∠APO，∴∠DCP＝∠DAE，∴∠CBH＝∠DAE，∵∠AED＝∠BHC＝90°，∴△ADE≌△BCH（AAS），∴BH＝AE＝4，∵OE＝2，∴OA＝2，∴AF＝2，∵∠APO+∠PAO＝∠BAF+∠PAO＝90°，∴∠APO＝∠BAF，∴△APO∽△BAF，∴OPAF∴12∴BF=8∴B（4，83∴k=32故答案为：323【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．18．（3分）如图，∠ACB＝60°，⊙O的半径为3且与∠ACB两边都相切，点P为圆上一动点，分别作PM⊥CA，PN⊥CB，令s＝PM+2PN，则s的最大值与最小值的差为63【分析】先证明PM+2PN=2(12PM+PN)，作MH⊥PN，从而可利用三角函数证得HP=12PM，进而证明【解答】解：作MH⊥NB于H，作MF⊥BC于F，∵PM⊥AC，PN⊥CB，∴∠PMC＝∠PNC＝90°，∴∠MPN＝360°﹣∠PMC﹣∠PNC﹣∠C＝120°，∴∠MPH＝180°﹣∠MPN＝60°，∴HP=∴PN+∵MH⊥HN，MF⊥FN，FH⊥HN，∴四边形MFNH是矩形，∴MF＝NH，∴当MP与⊙O相切时，MF取得最大和最小，如图1，连接OP，OG，OC，∵MP与⊙O相切，MG与⊙O相切，PM⊥CA，GO＝OP，∴四边形OPMG是正方形，∴MG＝OP＝3，∵⊙O的半径为3且与∠ACB两边都相切，∴OC平分∠MCN，∵∠ACB＝60°，∴∠OCG∴在Rt△COG中，∠COG＝90﹣∠OCG＝60°，∴CG＝OG•tan∠COG＝OG•tan60°＝33，∴CM=在Rt△CMF中，MF=∴HN=∴PM+2如图2，∴CG=33，MG＝∴CM=3∴HM=(3∴PM+2∴9-33∵S＝PM+2PN，∴S的最大值为9+33与最小值为9-3∴S的最大值与最小值的差为(9+33故答案为：63【点评】本题考查了解直角三角形的相关计算，切线的性质定理，正方形的性质与判定，三角形内角和定理等知识点，解题关键是熟悉上述知识并能熟练运用求解．三.解答题（本大题共10小题，共96分）19．计算：（1）π0（2）a2【分析】（1）先根据零指数幂的运算法则，绝对值的性质及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可；（2）先算括号里面的，再算除法即可．【解答】解：（1）π＝1+2-1﹣=2＝0；（2）a=(=(a+2)(＝a+2．【点评】本题考查的是分式的混合运算，实数的运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．20．解不等式组x-【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后表示出来即可．【解答】解：∵解不等式x﹣6≤0得：x≤6，解不等式12（x﹣4）+3＞0得：x＞﹣2∴不等式组的解集为﹣2＜x≤6，在数轴上表示不等式组的解集为．整数解为﹣1，0，1，2，3，4，5，6．【点评】本题考查了解一元一次不等式（组）的应用，关键是能求出不等式组的解集．21．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某食品厂为了解市民对去年销量较好的A、B、C、D四种粽子的喜爱情况，在端午节前对某小区居民进行抽样调查（每人只选一种粽子），并将调查情况绘制成如下两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图，并在扇形统计图中标出D种粽子所占百分比；（2）扇形统计图中，D种粽子所在扇形的圆心角是108°；（3）这个小区有2500人，估计爱吃B种粽子的人数为500人．【分析】（1）先计算出抽样调查的总人数，用总人数减去喜欢A，C，D种粽子的人数的和即可得到喜欢B种粽子的人数，从而补全统计图，在求出D种粽子所占百分比；（2）用360°×百分比即可求出D种粽子所在扇形的圆心角；（3）根据样本估计总体即可．【解答】解：（1）抽样调查的总人数：240÷40%＝600（人），喜欢B种粽子的人数为：600﹣240﹣60﹣180＝120（人），补全条形统计图，如图所示：∵180÷600＝30%，∴D种粽子所占百分比为30%；（2）D种粽子所在扇形的圆心角是360°×30%＝108°，故答案为：108；（3）2500×120600爱吃B种粽子的人数为500人．故答案为：500．【点评】本题考查了条形统计图与扇形统计图，体现了用样本估计总体的思想，计算出D种粽子所占的百分比是解题的关键．22．化学实验课上，张老师带来了Mg（镁）、Al（铝）、Zn（锌）、Cu（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：Mg、Al、Zn可以置换出氢气，而Cu不能置换出氢气）（1）小明从四种金属中随机选一种，则选到Al的概率为14（2）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属分别进行实验，求二人所选金属均能置换出氢气的概率．【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．（2）列表可得出所有等可能的结果数以及二人所选金属均能置换出氢气的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）由题意得，选到Al的概率为14故答案为：14（2）列表如下：MgAlZnCuMg（Mg，Mg）（Mg，Al）（Mg，Zn）（Mg，Cu）Al（Al，Mg）（Al，Al）（Al，Zn）（Al，Cu）Zn（Zn，Mg）（Zn，Al）（Zn，Zn）（Zn，Cu）Cu（Cu，Mg）（Cu，Al）（Cu，Zn）（Cu，Cu）共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的结果有：（Mg，Mg），（Mg，Al），（Mg，Zn），（Al，Mg），（Al，Al），（Al，Zn），（Zn，Mg），（Zn，Al），（Zn，Zn），共9种，∴二人所选金属均能置换出氢气的概率为916【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．23．为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．【分析】设乙组同学平均每小时包x个粽子，则甲组同学平均每小时包（x+20）个粽子，根据“甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同”列出分式方程，求解即可．【解答】解：设乙组同学平均每小时包x个粽子，则甲组同学平均每小时包（x+20）个粽子，根据题意得150x解得x＝80，经检验，x＝80是原方程的解，x+20＝100．答：甲组同学平均每小时包100个粽子，乙组同学平均每小时包80个粽子．【点评】本题主要考查了分式方程的应用，正确找出等量关系是解决问题的关键．24．【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积q（q＝mn）与较大数的和一定为较大数的平方．（1）举例验证：当m＝4，n＝5，则q+n＝4×5+5＝25＝52（2）推理证明：小明同学做了如下的证明：设m＜n，m、n是连续的正整数，∴n＝m+1；∵q＝mn，∴q+n＝mn+n＝n（m+1）＝n2．∴q+n一定是正数n的平方数．【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方．请你举例验证及推理证明；【深入思考】若p=q+2n+q-2m（m，n为两个连续奇数，0＜m【分析】类比猜想：参考发现问题的举例和推理过程计算即可；深入思考：由m，n为两个连续奇数，0＜m＜n，可得n＝m+2，q＝mn＝m2+2m，然后代入计算即可．【解答】解：类比猜想：（1）举例验证：当m＝4，n＝5，则q﹣m＝4×5﹣4＝16＝42．（2）推理证明：小明同学做了如下的证明：设m＜n，m、n是连续的正整数，∴n＝m+1；∵q＝mn，∴q﹣m＝mn﹣m＝m（n﹣1）＝m2．∴q﹣m一定是正数m的平方数．深入思考：∵m，n为两个连续奇数，0＜m＜n，∴n＝m+2，∴q＝mn＝m2+2m，∴p=∴p一定是偶数．【点评】本题考查完全平方公式的应用，二次根式化简，理解题意、依照顺序逐次解答是解题的关键．25．如图，点P是⊙O的直径BA延长线上一点，AO＝AP，OP绕点P按逆时针方向旋转60°，点O旋转到点C，连接CO交⊙O于点D，连接DP．（1）判断直线PD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝2，求阴影部分的面积．【分析】（1）连接AD，根据题意推出△OCP是等边三角形，进而推出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠DAO＝∠ADO＝60°，AO＝AD，根据等腰三角形的性质、三角形外角性质求出∠ADP＝30°，则∠PDO＝90°，根据切线的判定定理即可得解；（2）根据阴影部分的面积＝S△ODP﹣S扇形OAD求解即可．【解答】（1）证明：如图，连接AD，根据题意得，∠OPC＝60°，PO＝PC，∴△OCP是等边三角形，∴∠AOD＝60°，∵AO＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠DAO＝∠ADO＝60°，AO＝AD，∵AO＝AP，∴AP＝AD，∴∠APD＝∠ADP，∵∠DAO＝∠APD+∠ADP，∴∠ADP＝30°，∴∠PDO＝∠ADP+∠ADO＝90°，∴PD⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DP是⊙O的切线；（2）解：∵AB＝2，∴AO＝DO＝1，∴OP＝2AO＝2，∴DP=O∴S△ODP=12DP•OD=1∵S扇形OAD=60⋅∴阴影部分的面积＝S△ODP﹣S扇形OAD=3【点评】此题考查了切线的判定与性质、扇形面积的计算，熟练切线的判定与性质、扇形面积的计算是解题的关键．26．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是CD边上的一点，点P在BC边上，且满足∠DEP+∠APB＝180°．（1）请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P；（要求：尺规作图，写出必要的文字说明，保留作图痕迹）（2）若CE＝1，试确定tan∠EPC的值．【分析】（1）连接AE，作AE的垂直平分线，以AE为直径画圆，交BC于点P′和P″，根据补角的定义、圆周角定理及四边形内角和可得∠PEC+∠PED＝180°，∠PAD+∠PED＝180°，即可得∠PEC＝∠DAP，则点P′和P″即为所求；（2）根据矩形性质和∠PEC＝∠DAP，可以证明△ABP∽△PCE，对应边成比例进而可得PC的长，根据正切的概念即可求解．【解答】解：（1）如图，点P，点P′即为所求；（2）∵矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAP＝∠APB，∵∠PEC＝∠DAP，∴∠APB＝∠PEC，∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABP∽△PCE，∴BPCE设PC＝x，AB＝4，BC＝5，∴BP＝5﹣x，∴5-x解得x1＝1，x2＝4，∴PC的长为1或4，当PC＝1时，tan∠EPC=CECP当PC＝4时，tan∠EPC=CE综上所述，tan∠EPC的值为1或14【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，圆内接四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，正切的概念，解决本题的关键是掌握矩形的性质．27．综合与探究：如图，四边形OABC为正方形，M为线段OA上一动点，且OM＝a，连接BM．（1）如图1，若OA＝8，将正方形OABC沿BM折叠，使得点A的对应点A′落在正方形内．①A′M＝8﹣a；（用含字母a的代数式表示）②当M为OA中点时，如图2，连接MA′并延长交OC于D，求证OD＝2CD．（2）如图3，作BN⊥BM，交射线OC于点N，猜想并证明OM，ON，AB的数量关系．（3）当点M在射线AO上时，作BN⊥BM交射线OC于点N，射线NM与射线BO相交于点E，若ON＝3OM，请直接写出NEME【分析】（1）①由M为线段OA上一动点，且OA＝8，OM＝a，得AM＝8﹣a，由折叠得A′M＝AM＝8﹣a，于是得到问题的答案；②连接BD，设CD＝m，因为M为OA中点，所以AM＝OM＝a，OC＝OA＝AB＝CB＝2a，则OD＝2a﹣m，由折叠得∠BA′M＝∠A＝90°，A′M＝AM＝a，A′B＝AB，可根据“HL”证明Rt△A′BD≌Rt△CBD，得A′D＝CD＝m，由勾股定理得a2+（2a﹣m）2＝（a+m）2，求得m=23a，则CD=23a，OD＝2×23a（2）由∠MBN＝∠BCN＝∠BAC＝90°，得∠BCN＝∠A，∠CBN＝∠ABM＝90°﹣∠CBM，可证明△CBN≌△ABM，得CN＝AM，则OM+ON＝OM+CN+OC＝OA+OC＝2AB；（3）分两种情况讨论，一是点M在线段AO上，作EQ⊥OA于点Q，可证明∠QEO＝∠QOE＝45°，则OQ＝QE，由QE∥ON，得NEME=OQQM=QEQM，由△MQE∽△MON，得QEON=QMOM，则NEME=QEQM=ONOM=3；二是点M在线段AO的延长线上，作ER⊥CO的CO的延长线于点R，可证明∠REO＝∠ROE＝45°，则RN＝RE，由【解答】解：（1）①如图1，∵M为线段OA上一动点，且OA＝8，OM＝a，∴AM＝8﹣a，∵将正方形OABC沿BM折叠，点A的对应点为点A′，∴A′M＝AM＝8﹣a，故答案为：8﹣a．②证明：如图2，连接BD，设CD＝m，∵四边形OABC为正方形，当M为OA中点时，OM＝a，∴∠A＝∠O＝∠BCD＝90°，AM＝OM＝a，OC＝OA＝AB＝CB＝2a，∴OD＝2a﹣m，由折叠得∠BA′M＝∠A＝90°，A′M＝AM＝a，A′B＝AB，∴∠BA′D＝∠BCD＝90°，A′B＝CB，∵BD＝BD，∴Rt△A′BD≌Rt△CBD（HL），∴A′D＝CD＝m，∵OM2+OD2＝MD2，且MD＝a+m，∴a2+（2a﹣m）2＝（a+m）2，∴m=23∴CD=23a，OD＝2a-23a＝∴OD＝2CD．（2）OM+ON＝2AB，证明：如图3，∵BN⊥BM，交射线OC于点N，∴∠MBN＝∠BCN＝∠BAC＝90°，∴∠BCN＝∠A，∠CBN＝∠ABM＝90°﹣∠CBM，∵AB＝CB，OC＝OA＝AB，∴△CBN≌△ABM（ASA），∴CN＝AM，∴OM+ON＝OM+CN+OC＝OM+AM+OC＝OA+OC，∵OA+OC＝2AB，∴OM+ON＝2AB．（3）NEME的值