湖南省长沙市长郡湘府中学2025届高二数学第二学期期末综合测试试题含解析

湖南省长沙市长郡湘府中学2025届高二数学第二学期期末综合测试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若双曲线的一条渐近线为，则实数（）A． B．2 C．4 D．2．已知的展开式中的系数为5，则（）A．4 B．3 C．2 D．-13．已知样本数据点集合为，样本中心点为，且其回归直线方程为，则当时，的估计值为（）A． B． C． D．4．若在曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”.下列方程：①②；③④对应的曲线中存在的“自公切线”的是（）A．①③ B．②③ C．②③④ D．①②④5．函数为偶函数，且在单调递增，则的解集为A． B．或C． D．或6．已知复数z满足（i是虚数单位），若在复平面内复数z对应的点为Z，则点Z的轨迹为（）A．双曲线的一支 B．双曲线 C．一条射线 D．两条射线7．若函数在上可导，，则（）A．2 B．4 C．-2 D．-48．函数在点处的导数是（）．A．0 B．1 C．2 D．39．用反证法证明命题“平面四边形四个内角中至少有一个不大于时”，应假设（）A．四个内角都大于 B．四个内角都不大于C．四个内角至多有一个大于 D．四个内角至多有两个大于10．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是（）A． B． C． D．11．湖北省2019年新高考方案公布，实行“”模式，即“3”是指语文、数学、外语必考，“1”是指物理、历史两科中选考一门，“2”是指生物、化学、地理、政治四科中选考两门，在所有选科组合中某学生选择考历史和化学的概率为（）A． B． C． D．12．已知过点且与曲线相切的直线的条数有（）．A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．两个半径为1的铁球，熔化成一个球，这个球的半径是_______．14．已知（为常数），在上有最小值，那么在上的最大值是15．设向量，且，则实数的值是_______；16．已知，函数，若在区间上单调递减，则的取值范围是____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图,在一个水平面内,河流的两岸平行,河宽1(单位:千米)村庄A,B和供电站C恰位于一个边长为2(单位:千米)的等边三角形的三个顶点处,且A,C位于河流的两岸,村庄A侧的河岸所在直线恰经过BC的中点D.现欲在河岸上A,D之间取一点E,分别修建电缆CE和EA,EB.设∠DCE=θ,记电缆总长度为f(θ)(单位:千米).(1)求f(θ)的解析式；(2)当∠DCE为多大时,电缆的总长度f(θ)最小,并求出最小值.18．（12分）在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且.（1）求A的值；（2）若，求面积的最大值.19．（12分）已知函数.（1）判断的图象是否是中心对称图形？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由；（2）设，试讨论的零点个数情况.20．（12分）如图,在四棱锥中,四边形是直角梯形,，,，为等边三角形.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）已知不等式的解集为．（1）求集合；（2）设实数，证明：．22．（10分）已知函数，其中为常数．(1)若，求函数的极值；(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据双曲线的标准方程求出渐近线方程，根据双曲线的一条渐近线求得m的值．【详解】双曲线中，，令，得，所以；又双曲线的一条渐近线为，则，解得，所以实数．故选：C．本题考查了利用双曲线的标准方程求渐近线方程的应用问题，是基础题．2、D【解析】

将化简为：分别计算的系数，相加为5解得.【详解】中的系数为：的系数为：的系数为：故答案选D本题考查了二项式定理的计算，分成两种情况简化了计算.3、D【解析】

根据线性回归直线过样本中心点，可得，然后代值计算，可得结果.【详解】由题可知：所以回归直线方程为当当时，故选：D本题考查线性回归方程，掌握回归系数的求法以及回归直线必过样本中心点，属基础题.4、B【解析】

化简函数的解析式,结合函数的图象的特征,判断此函数是否有自公切线．【详解】①是一个等轴双曲线,没有自公切线;②,在和处的切线都是,故②有自公切线;③此函数是周期函数,过图象的最高点的切线都重合,故此函数有自公切线;④即结合图象可得,此曲线没有自公切线.故选:.本题考查命题的真假判断与应用,考查学生的数形结合的能力,难度一般.5、D【解析】

根据函数的奇偶性得到，在单调递增，得，再由二次函数的性质得到，【详解】函数为偶函数，则，故，因为在单调递增，所以.根据二次函数的性质可知，不等式，或者，的解集为，故选D.此题考查了函数的对称性和单调性的应用，对于抽象函数，且要求解不等式的题目，一般是研究函数的单调性和奇偶性，通过这些性质将要求的函数值转化为自变量的大小比较，直接比较括号内的自变量的大小即可.6、C【解析】分析：利用两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离，来分析已知等式的意义．详解：∵复数z满足（i是虚数单位），在复平面内复数z对应的点为Z，则点Z到点（1，2）的距离减去到点（﹣2，﹣1）的距离之差等于3，而点（1，2）与点（﹣2，﹣1）之间的距离为3，故点Z的轨迹是以点（1，2）为端点的经过点（﹣2，﹣1）的一条射线．故选C．点睛：本题考查两个复数的差的绝对值的意义，两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离．7、D【解析】由题设可得，令可得，所以，则，应选答案D．8、C【解析】

求导后代入即可.【详解】易得,故函数在点处的导数是.故选：C本题主要考查了导数的运算,属于基础题.9、A【解析】

对于“至少一个不大于”的否定为“全都大于”，由此得到结果.【详解】“平面四边形四个内角中至少有一个不大于”的否定形式为：“平面四边形四个内角中都大于”，即反证法时应假设：四个内角都大于本题正确选项：本题考查反证法的假设，关键是明确至少问题的否定的形式，属于基础题.10、D【解析】分析：根据题意，记甲击中目标为事件A，乙击中目标为事件B，目标被击中为事件C，由相互独立事件的概率公式，计算可得目标被击中的概率，进而由条件概率的公式，计算可得答案．详解：根据题意，记甲击中目标为事件A，乙击中目标为事件B，目标被击中为事件C，则P（C）=1﹣P（）P（）=1﹣（1﹣0.8）（1﹣0.5）=0.9；则目标是被甲击中的概率为P=.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查独立事件的概率和条件概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)条件概率的公式:，=.条件概率一般有“在已发生的条件下”这样的关键词，表明这个条件已经发生，发生了才能称为条件概率.但是有时也没有，要靠自己利用条件概率的定义识别.11、C【解析】

基本事件总数，在所有选项中某学生选择考历史和化学包含的基本事件总数，由此能求出在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率．【详解】湖北省2019年新高考方案公布，实行“”模式，即“3”是指语文、数学、外语必考，“1”是指物理、历史两科中选考一门，“2”是指生物、化学、地理、政治四科中选考两门，基本事件总数，在所有选项中某学生选择考历史和化学包含的基本事件总数，在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率为．故选．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12、C【解析】

设切点为，则，由于直线经过点，可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率，建立关于的方程，从而可求方程．【详解】若直线与曲线切于点，则，又∵，∴，∴，解得，，∴过点与曲线相切的直线方程为或，故选C．本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

等体积法【详解】等体积法14、57【解析】试题分析：单调增区间为减区间为，最大值为考点：函数导数与最值15、2【解析】

由条件利用两个向量共线的性质求得x的值．【详解】解：∵，，且，∴2x＝，即x＝2故答案为2本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．16、【解析】

根据已知可得，恒成立，根据二次函数的图像，列不等式组解决问题.【详解】,在区间上单调递减，，解得.故填：.本题考查了已知函数在某区间的单调性求参数的取值范围，根据函数是单调递减，转化为恒成立，根据二次函数的图像列不等式组，得到参数的取值范围，一般恒成立的问题也可转化为参变分离的方法，转化为求函数的最值问题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）f(θ)=2-sinθcosθ+3，0<θ<π3【解析】分析：易得CE=EB=1cosθ，ED=tanθ，AE=3-tanθ，f(θ)=2-sinθcosθ+3，0<θ<π3.(2)求导f'(θ)=-cos2详解：(1)易得AD垂直平分BC，CD=BD=1则CE=EB=1cosθ，ED=于是f(θ)=1cosθ因为E在CD之间,所以0<θ<π故f(θ)=2-sinθ(2)f'(θ)=-cos2令f'(θ)=0,得sinθ=故当0<θ<π6，f'(θ)<0，当π6<θ<π3.,所以,当θ=π6时,f(θ)答:当∠DCE=π6时,f(θ)最小值为点睛：此题为三角函数的实际应用题，解题时要注意分析题目中的条件，常常跟正余弦定理，三角函数比值关系等几何关系结合在一起考查，不难，但是综合性强；第二问求最值如果不能转化为三角函数求得最值，那就通过导数来分析.18、（1）；（2）【解析】

（1）由题意利用正弦定理可得，由余弦定理可得，结合范围，可得的值．（2）由基本不等式可求，利用三角形的面积公式即可求解．【详解】解:（1）由题知，由正弦定理有，即，由余弦定理得，因为则.（2），，即，当且仅当时等号成立，当时，，所以面积的最大值为.本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19、（1）的图象是中心对称图形，对称中心为：；（2）当或时，有个零点；当时，有个零点【解析】

（1）设，通过奇偶性的定义可求得为奇函数，关于原点对称，从而可得的对称中心，得到结论；（2），可知为一个解，从而将问题转化为解的个数的讨论，即的解的个数；根据的范围，分别讨论不同范围情况下方程解的个数，从而得到零点个数，综合得到结果.【详解】（1）设定义域为：为奇函数，图象关于对称的图象是中心对称图形，对称中心为：（2）令，可知为其中一个解，即为一个零点只需讨论的解的个数即可①当时，无解有且仅有一个零点②当时，为方程的解有，共个零点③当时，（i）若，即时，为方程的解有，共个零点（ii）若，即时，的解为：有且仅有一个零点（iii）若，即时，，方程无解有且仅有一个零点综上所述：当或时，有个零点；当时，有个零点本题考查函数对称性的判断、函数零点个数的讨论.解决本题中零点个数问题的关键是能够将问题转化为方程根的个数的讨论，从而根据的不同范围得到方程根的个数，进而得到零点个数，属于较难题.20、(1)略；(2)【解析】

（1）推导出，从而得到平面，由此可证得；（2）推导出，以B为原点为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）证明：在四棱锥中，四边形是直角梯形，，,，为等边三角形，所以，所以，,所以，又由，所以平面，又因为平面，所以；（2）因为，所以，以为原点为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，取，得，设平面的法向量为，则，取，得，由图形可知二面角的平面角是钝角，设二面角的平面角为，所以，即二面角的余弦值为.本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.21、（1）；（2）证明见解析.【解析】

（1）对分、、三种情况讨论，去绝对值，分别解出不等式，可得出不等式的解集；（2）证法一：由题意得出，，将不等式两边作差得出，由此可得出所证不等式成立；证法二：利用分析法得出所证不等式等价于，由题意得出，，判断出的符号，可得出所证不等式成立.