广东省-北京师范大学东莞石竹附属学校2024-2025学年数学高二下期末调研模拟试题含解析

广东省-北京师范大学东莞石竹附属学校2024-2025学年数学高二下期末调研模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知命题，则为A． B．C． D．2．若点P在抛物线上，点Q（0,3），则|PQ|的最小值是（）A． B． C． D．3．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“⊥”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知，，，若>恒成立，则实数m的取值范围是A．或 B．或C． D．5．在某次高三联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为0.75，则任意选取一名学生，该生成绩高于115的概率为（）A．0.25 B．0.1 C．0.125 D．0.56．若，，如果与为共线向量，则（）A．， B．，C．， D．，7．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A． B． C． D．8．已知命题，命题，则（）A．命题是假命题 B．命题是真命题C．命题是真命题 D．命题是假命题9．若函数f(x)＝(a＞0且a≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则g(x)＝的图象是()A． B． C． D．10．设集合A＝{x|x2－3x＜0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则A∩B＝()A．{x|2≤x＜3}B．{x|－2≤x＜0}C．{x|0＜x≤2}D．{x|－2≤x＜3}11．若，则（）A．8 B．7 C．6 D．512．在复平面内复数z对应的点在第四象限，对应向量的模为3，且实部为，则复数等于（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．执行如图所示的伪代码，最后输出的S值为______．14．若从甲乙丙丁4位同学中选出3位同学参加某个活动，则甲被选中的概率为__________．15．若随机变量，则，.已知随机变量，则__________．16．是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知在的展开式中，第6项为常数项．求n的值；求展开式的所有项的系数之和；求展开式中所有的有理项．18．（12分）已知的三个顶点为，为的中点.求：(1)所在直线的方程；(2)边上中线所在直线的方程；(3)边上的垂直平分线的方程．19．（12分）盒子中放有大小形状完全相同的个球，其中个红球，个白球.（1）某人从这盒子中有放回地随机抽取个球，求至少抽到个红球的概率；（2）某人从这盒子中不放回地从随机抽取个球，记每抽到个红球得红包奖励元，每抽到个白球得到红包奖励元，求该人所得奖励的分布列和数学期望.20．（12分）设函数，其中实数是自然对数的底数.(1)若在上无极值点，求的值；(2)若存在，使得是在上的最大或最小值，求的取值范围.21．（12分））已知.（I）试猜想与的大小关系；（II）证明（I）中你的结论.22．（10分）设抛物线Γ的方程为y2＝4x，点P的坐标为（1，1）．（1）过点P，斜率为﹣1的直线l交抛物线Γ于U，V两点，求线段UV的长；（2）设Q是抛物线Γ上的动点，R是线段PQ上的一点，满足2，求动点R的轨迹方程；（3）设AB，CD是抛物线Γ的两条经过点P的动弦，满足AB⊥CD．点M，N分别是弦AB与CD的中点，是否存在一个定点T，使得M，N，T三点总是共线？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】分析：把全称改为特称，大于改为小于等于。详解：，故选C点睛：带全称、特称量词的否定，命题“，则成立”的否定：，则成立命题“，则成立”的否定：，则成立2、B【解析】试题分析：如图所示，设，其中，则，故选B.考点：抛物线.3、B【解析】当α⊥β时，平面α内的直线m不一定和平面β垂直，但当直线m垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．4、C【解析】分析：用“1”的替换先解的最小值，再解的取值范围。详解：，所以的解集为，故选C点睛：已知二元一次方程，求二元一次分式结构的最值，用“1”的替换是均值不等式的应用，构造出的模型，再验证条件。5、C【解析】

根据正态曲线的对称性求解即可得到所求概率．【详解】由题意得，区间关于对称，所以，即该生成绩高于115的概率为．故选C．本题考查根据正态曲线的对称性求在给定区间上的概率，求解的关键是把所给区间用已知区间表示，并根据曲线的对称性进行求解，考查数形结合的应用，属于基础题．6、B【解析】

利用向量共线的充要条件即可求出．【详解】解：与为共线向量，存在实数使得，，解得．故选：．本题考查空间向量共线定理的应用，属于基础题.7、C【解析】

求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线，再由点到直线的距离公式求出结果.【详解】依题意，抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为，其中一条为，由点到直线的距离公式得.故选C.本小题主要考查抛物线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式，属于基础题.8、C【解析】试题分析：先判断出命题p与q的真假，再由复合命题真假性的判断法则，即可得到正确结论．解：由于x=10时，x﹣2=8，lgx=lg10=1，故命题p为真命题，令x=0，则x2=0，故命题q为假命题，依据复合命题真假性的判断法则，得到命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，￢q是真命题，进而得到命题p∧（￢q）是真命题，命题p∨（￢q）是真命题．故答案为C．考点：全称命题；复合命题的真假．9、C【解析】本题考查指数型函数的奇偶性，单调性；对数函数的图像及图像的平移变换.因为是奇函数，所以恒成立，整理得：恒成立，所以则又函数在R上是增函数，所以于是函数的图像是由函数性质平移1个单位得到.故选C10、C【解析】

求出集合A中不等式的解集，结合集合B，得到两个集合的交集．【详解】A={x|x2﹣3x＜0}={x|0＜x＜3}，∵B={x|﹣2≤x≤2}，∴A∩B={x|0＜x≤2}，故选：C．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．11、D【解析】

由得，即，然后即可求出答案【详解】因为，所以所以即，即解得故选：D本题考查的是排列数和组合数的计算，较简单.12、C【解析】

设复数，根据向量的模为3列方程求解即可.【详解】根据题意，复平面内复数z对应的点在第四象限，对应向量的模为3，且实部为.设复数，∵，∴，复数.故.故选：C.本题考查复数的代数表示及模的运算，是基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、10.【解析】分析：根据流程图进行计算即可直到计算S大于等于9为止.详解：由题可得：故输出的S=10点睛：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．14、【解析】分析：先确定4位同学中选出3位同学事件数，再确定甲被选中事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：因为4位同学中选出3位同学共有种，甲被选中事件数有,所以甲被选中的概率为.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.15、0.8185【解析】分析：根据正态曲线的对称性和特殊区间上的概率可求出和，然后求出这两个概率的和即可．详解：由题意得，∴，，∴．点睛：本题考查正态分布，考查正态曲线的对称性和三个特殊区间上的概率，解题的关键是将所求概率合理地转化为特殊区间上的概率求解．16、2【解析】

化简复数，实部为0，计算得到答案.【详解】为纯虚数故答案为2本题考查了复数的计算，属于简单题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（I）；（II）；（III）有理项分别为，；.【解析】

在二项展开式的第六项的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值；在二项展开式中，令，可得展开式的所有项的系数之和；二项式的展开式的通项公式为，令为整数，可求出的值，即可求得展开式中所有的有理项．【详解】在的展开式中，第6项为

为常数项，，．在的展开式中，令，可得展开式的所有项的系数之和为．二项式的展开式的通项公式为，令为整数，可得，5，8，故有理项分别为，；．本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.18、（1）x+1y-4=2；（1）1x-3y+6=2；（3）y=1x+1．【解析】

（1）直线方程的两点式，求出所在直线的方程；（1）先求BC的中点D坐标为（2,1），由直线方程的截距式求出AD所在直线方程；（3）求出直线BC的斜率，由两直线垂直的条件求出直线DE的斜率，再由斜截式求出DE的方程【详解】(1)因为直线BC经过B(1，1)和C(-1，3)两点，由两点式得BC的方程为，即x+1y-4=2．(1)设BC中点D的坐标为(x，y)，则x==2，y==1．BC边的中线AD过点A(-3，2)，D(2，1)两点，由截距式得AD所在直线方程为，即1x-3y+6=2．(3)BC的斜率，则BC的垂直平分线DE的斜率k1=1，由斜截式得直线DE的方程为y=1x+1．19、（1）；（2）42元.【解析】

（1）分为三种情况，即抽到个红球，抽到个红球和抽到个红球，概率相加得到答案.（2）随机变量可能的取值为，计算每个数对应概率，得到分布列，计算数学期望得到答案.【详解】(1)记至少抽到个红球的事件为,法1：至少抽到个红球的事件，分为三种情况，即抽到个红球，抽到个红球和抽到个红球，每次是否取得红球是相互独立的，且每次取到红球的概率均为，所以，答：至少抽到个红球的概率为.法2：至少抽到个红球的事件的对立事件为次均没有取到红球（或次均取到白球），每次取到红球的概率均为（每次取到白球的概率均为），所以答：至少抽到个红球的概率为.(2)由题意,随机变量可能的取值为，，，，所以随机变量的分布表为：所以随机变量的数学期望为（元）.本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力.20、（1）（2）【解析】试题分析：(1)结合的导函数与极值的关系可得；(2)结合的解析式分类讨论①或；②两种情况可得的取值范围是.试题解析：(1)，∵在上无极值点，∴(2)∵，故①当或，即或（舍弃）时，取时适合题意，∴②当时，有，∴在上单调调增，在上单调递减，∴或即或，解得综上可知21、(1).(2)证明见解析.【解析】分析：（I）由题意，可取，则，，即可猜想；（II）令，则，得到函数的单调性，利用单调性即可证明猜想.详解：（I）取，则，，则有；再取，则，，则有.故猜想.（II）令，则，当时，，即函数在上单调递减，又因为，所以，即，故.点睛：本题主要考查了归纳猜想和利用函数的单调性证明不等关系式，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理论证能力.22、（1）4（2）（3y﹣1）2＝8（3x﹣1）（3）存在，T（3，0）【解析】

（1）根据条件可知直线l方程为x+y﹣2＝0，联立直线与抛物线，根据弦长公式可得结果；（2）设R（x0，y0），Q（x，y），根据2可得x，y，将其代入抛物线方程即可得到结果；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），设AB的方程为y＝k（x﹣1）+1，联立，根据韦