湖北省随州市第二高级中学2025年数学高二下期末检测试题含解析

湖北省随州市第二高级中学2025年数学高二下期末检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数f(x)=sin(ωx+πA．关于直线x=π12对称 B．关于直线C．关于点π12，0对称 D．2．的二项展开式中，项的系数是（）A． B． C． D．2703．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（）A． B． C． D．4．已知a>0，b>－1，且a＋b＝1，则的最小值为()A． B． C． D．5．已知函数，则不等式的解集是（）A． B． C． D．6．用数学归纳法证明过程中，假设时，不等式成立，则需证当时，也成立，则（）A． B．C． D．7．在等差数列{an}中，若a2=4，A．-1 B．0 C．1 D．68．若函数f(x)＝(a＞0且a≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则g(x)＝的图象是()A． B． C． D．9．设i是虚数单位，复数a+i1+i为纯虚数，则实数a的值为A．-1B．1C．-2D．210．“”是“圆：与圆：外切”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件11．已知函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．12．已知一列数按如下规律排列：,则第9个数是()A．-50 B．50 C．42 D．—42二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若函数，且在上有最大值，则最大值为_____．14．若存在两个正实数，使得不等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是__________.15．已知，则_________.16．一名同学想要报考某大学，他必须从该校的7个不同专业中选出5个，并按第一志愿、第二志愿、…、第五志愿的顺序填写志愿表，若专业不能作为第一、第二志愿，则他共有____种不同的填法。(用数字作答)三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，有一块半径为的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形游泳池和其附属设施，附属设施占地形状是等腰，其中为圆心，在圆的直径上，在圆周上．（1）设，征地面积记为，求的表达式；（2）当为何值时，征地面积最大？18．（12分）如图，在多面体中，四边形是菱形，⊥平面且.(1)求证：平面⊥平面；(2)若设与平面所成夹角为，且，求二面角的余弦值.19．（12分）某大型高端制造公司为响应《中国制造2025》中提出的坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针,准备加大产品研发投资,下表是该公司2017年5~12月份研发费用(百万元)和产品销量(万台)的具体数据：月份56789101112研发费用x（百万元）2361021131518产品销量与（万台）1122.563.53.54.5（1)根据数据可知y与x之间存在线性相关关系(ⅰ)求出y关于x的线性回归方程(系数精确到0.001);(ⅱ)若2018年6月份研发投人为25百万元，根据所求的线性回归方程估计当月产品的销量；（2）为庆祝该公司9月份成立30周年,特制定以下奖励制度:以z(单位:万台)表示日销量,,则每位员工每日奖励200元；,则每位员工每日奖励300元；,则每位员工每日奖励400元现已知该公司9月份日销量z（万台）服从正态分布,请你计算每位员工当月(按30天计算)获得奖励金额总数大约多少元.参考数据:，.参考公式:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:，.若随机变量X服从正态分布,则，.20．（12分）已知为椭圆的右焦点，点在上，且轴．（1）求的方程（2）过的直线交于两点，交直线于点．证明：直线的斜率成等差数列．21．（12分）将编号为1、2、3、4的四个小球随机的放入编号为1、2、3、4的四个纸箱中，每个纸箱有且只有一个小球，称此为一轮“放球”．设一轮“放球”后编号为的纸箱放入的小球编号为，定义吻合度误差为(1)写出吻合度误差的可能值集合；(2)假设等可能地为1，2，3，4的各种排列，求吻合度误差的分布列；(3)某人连续进行了四轮“放球”，若都满足，试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率(假定各轮“放球”相互独立)；22．（10分）已知函数的定义域为；（1）求实数的取值范围；（2）设实数为的最大值，若实数，，满足，求的最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

求出函数的解析式，然后判断对称中心或对称轴即可．【详解】函数f（x）＝2sin（ωx+π3）（ω＞0）的最小正周期为π2，可得ω函数f（x）＝2sin（4x+π由4x+π3=kπ+π2，可得x=kπ当k＝0时，函数的对称轴为：x=π故选：B．本题考查三角函数的性质的应用，周期的求法，考查计算能力，是基础题2、C【解析】分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于，且的幂指数等于，求得的值，即可求得结果详解：的展开式中，通项公式为令，且，求得项的系数是故选点睛：本题主要考查的是二项式定理，先求出其通项公式，即可得到其系数，本题较为简单。3、C【解析】

画出直观图，由球的表面积公式求解即可【详解】这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉个球而形成的，所以它的表面积为.故选：C本题考查三视图以及几何体的表面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力.4、A【解析】分析：由，且，变形可得利用导数求其最值；详解：，且a＋b＝1，∴．

令，解得，此时函数单调递增；令，解得此时函数单调递减．

∴当且仅当时，函数取得极小值即最小值，点睛：本题考查利用导数研究函数的最值，属中档题.5、C【解析】

先判断出函数为奇函数且在定义域内单调递增，然后把不等式变形为，再利用单调性求解即可．【详解】由题意得，函数的定义域为R．∵，∴函数为奇函数．又根据复合函数的单调性可得，函数在定义域上单调递增．由得，∴，解得，∴不等式的解集为．故选C．解答本题的关键是挖掘题意、由条件得到函数的奇偶性和单调性，最后根据函数的单调性求解，这是解答抽象不等式（即不知表达式的不等式）问题的常用方法，考查理解和应用能力，具有一定的难度和灵活性．6、C【解析】故选7、B【解析】在等差数列an中，若a2=4,a4=2，则8、C【解析】本题考查指数型函数的奇偶性，单调性；对数函数的图像及图像的平移变换.因为是奇函数，所以恒成立，整理得：恒成立，所以则又函数在R上是增函数，所以于是函数的图像是由函数性质平移1个单位得到.故选C9、A【解析】a+i1+i=(a+i)(1-i)10、B【解析】

由圆：与圆：外切可得，圆心到圆心的距离是求出的值，然后判断两个命题之间的关系。【详解】由圆：与圆：外切可得，圆心到圆心的距离是即可得所以“”是“圆：与圆：外切”的充分不必要条件。本题考查了两个圆的位置关系及两个命题之间的关系，考查计算能力，转化思想。属于中档题。11、B【解析】

首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．【详解】由题意，函数，令，所以，在区间上恰有一个最大值点和最小值点，则函数恰有一个最大值点和一个最小值点在区间，则，解答，即，故选B．本题主要考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．12、A【解析】分析：根据规律从第3个数起，每一个数等于前两个数之差，确定第9个数.详解：因为从第3个数起，每一个数等于前两个数之差，所以第9个数是，选A.点睛：由前几项归纳数列通项的常用方法为：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解析】

先对函数求导，求出，再由导数的方法研究函数单调性，进而可求出结果.【详解】因为，所以，因此，解得，所以，由得或；由得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；所以当时，取极大值，由得或；又在上有最大值，所以只需.故答案为3本题主要考查导数的应用，由函数在给定区间有最大值求参数，只需利用导数的方法研究函数单调性，即可求解，属于常考题型.14、【解析】由题意得，令m=(t−2e)lnt,(t>0)，则，当x>e时,m′>m′(e)=0，当0<x<e时,m′<m′(e)=0，∴m⩾m(e)=−e，∴，解得a<0或.∴实数a的取值范围是(−∞,0)∪[,+∞).15、【解析】

根据二项式定理，，推导出，由，能求出．【详解】解：，，，由，解．故答案为1．本题考查实数值的求法，考查组合数公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查函数与方程思想，是基础题．16、【解析】根据题意，分2步进行分析：①、由于A专业不能作为第一、第二志愿，需要在除A之外的6个专业中,任选2个,作为第一、二志愿,有种填法，②、第一二志愿填好后，在剩下的5个专业中任选3个，作为第三四五志愿，有种填法，则该学生有30×60=1800种不同的填法；故答案为：1800.点睛：（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）时，征地面积最大．【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用梯形面积公式建立函数关系求解；(2)依据题设运用导数与函数的单调性的关系进行探求.试题解析：（1）连接，可得，，，，所以，．（2），令，∴（舍）或者．因为，所以时，，时，，所以当时，取得最大，故时，征地面积最大．考点：梯形面积公式、导数与函数单调性的关系等有关知识的综合运用．18、(1)见解析;(2).【解析】

（1）根据已知可得和，由线面垂直判定定理可证平面，再由面面垂直判定定理证得平面⊥平面.（2）解法一：向量法，设，以为原点，作，以的方向分别为轴，轴的正方向，建空间直角坐标系，求得的坐标，运用向量的坐标表示和向量的垂直条件，求得平面和平面的的法向量，再由向量的夹角公式，计算即可得到所求的值.解法二：三垂线法，连接AC交BD于O，连接EO、FO，过点F做FM⊥EC于M，连OM，由已知可以证明FO⊥面AEC，∠FMO即为二面角A-EC-F的平面角，通过菱形的性质、勾股定理和等面积法求得cos∠FMO，得到答案.解法三：射影面积法，连接AC交BD于O，连接EO、FO，根据已知条件计算，，二面角的余弦值cosθ=，即可求得答案.【详解】（1）证明：连结四边形是菱形，，⊥平面，平面，，，平面，平面，平面，平面⊥平面.（2）解：解法一：设，四边形是菱形，，、为等边三角形，，是的中点，，⊥平面，，在中有，，，以为原点，作，以的方向分别为轴，轴的正方向，建空间直角坐标系如图所示，则所以，，设平面的法向量为，由得设，解得.设平面的法向量为，由得设，解得.设二面角的为，则结合图可知，二面角的余弦值为.解法二：∵EB⊥面ABCD，∴∠EAB即为EA与平面ABCD所成的角在Rt△EAB中，cos∠EAB=又AB=2,∴AE=∴EB=DF=1连接AC交BD于O，连接EO、FO菱形ABCD中，∠BAD=60°，∴BD=AB=2矩形BEFD中，FO=EO=,EF=2,EO²+FO²=EF²,∴FO⊥EO又AC⊥面BEFD,FO⊆面BEFD,∴FO⊥AC,AC∩EO=O，AC、EO⊆面AEC,∴FO⊥面AEC又EC⊆面AEC,∴FO⊥EC过点F做FM⊥EC于M，连OM，又FO⊥EC,FM∩FO=F,FM、FO⊆面FMO,∴EC⊥面FMOOM⊆面FMO,∴EC⊥MO∴∠FMO即为二面角A-EC-F的平面角AC⊥面BEFD,EO⊆面BEFD，∴AC⊥EO又O为AC的中点，∴EC=AE=Rt△OEC中，OC=,EC=,∴OE=,∴OM=Rt△OFM中，OF=,OM=,∴FM=∴cos∠FMO=即二面角A-EC-F的余弦值为解法三：连接AC交BD于O，连接EO、FO菱形ABCD中，∠BAD=60°，∴BD=AB=2矩形BEFD中，FO=EO=,EF=2,EO²+FO²=EF²,∴FO⊥EO又AC⊥面BEFD,FO⊆面BEFD,∴FO⊥AC,AC∩EO=O，AC、EO⊆面AEC,∴FO⊥面AEC又∵EB⊥面ABCD，∴∠EAB即为EA与平面ABCD所成的角在Rt△EAB中，cos∠EAB=又AB=2,∴AE=∴EB=DF=1在Rt△EBC、Rt△FDC中可得FC=EC=在△EFC中，FC=EC=，EF=2,∴在△AEC中,AE=EC=,O为AC中点，∴OE⊥OC在Rt△OEC,OE=,OC=,∴设△EFC、△OEC在EC边上的高分别为h、m,二面角A-EC-F的平面角设为θ，则cosθ=即二面角A-EC-F的余弦值为.本题考查平面垂直的证明和二面角的计算，属于中档题.19、(1)(i);(ii)6.415万台；(2)7839.3元.【解析】分析：（1）（i)根据平均数公式可求出与的值，从而可得样本中心点的坐标，从而求可得公式中所需数据，求出，再结合样本中心点的性质可得，进而可得关于的回归方程；（ii）将代入所求回归方程，即可的结果；（2）由题知9月份日销量（万台)服从正态分布，则，根据正态曲线的对称性求出各区间上的概率，进而可得结果.详解：（1）（i)因为所以，所以关于的线性回归方程为（ii）当时，（万台）（注：若，当时，（万台）第（1）小问共得5分，即扣1分）（2）由题知9月份日销量（万台)服从正态分布.则.日销量的概率为.日销量的概率为.日销量的概率为.所以每位员工当月的奖励金额总数为元点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20、（1）；（2）证明见解析.【解析】

（1）运用椭圆的定义和勾股定理，可得a，b，进而得到椭圆方程；

（2）由题意可设直线AB的方程为y=k（x-2），求得M的坐标，联立椭圆方程，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，结合等差数列的中项性质，化简整理，即可得证．【详解】解：（1）因为点在上，且轴，所以，设椭圆左焦点为，则，，中，，所以．所以，，又，故椭圆的方程为；（2）证明：由题意可设直线的方程为，令得，的坐标为，由得，，设，，，，则有，①．记直线，，的斜率分别为，，，从而，，．因为直线的方程为，所以，，所以②．①代入②得，又，所以，故直线，，的斜率成等差数列．本题考查椭圆方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查直线的斜率成等差数列，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21、(1).(2)见解析(3)【解析】

试题分析：（1）根据题意知与的奇偶性相同，误差只能是偶数，由此写出的可能取值；（2）用列举法求出基本事件数，