湖北省部分学校2025届高三下学期新高考信息卷（二）数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页湖北省部分学校2025届高三下学期新高考信息卷（二）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A={xx2−xA．{0,1} B．{−22．已知z+zi=πA．π2+πC．−π2+3．向量a=0,2,b=A．1,1 B．22,224．若cos(α−π2A．11−512 B．5+5125．已知m,n是不同的直线，α,A．若α⊥β,m⊥α,C．若α∥β,m∥α,6．德国心理学家赫尔曼·艾宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中的记忆率y随时间t（小时）的变化趋势可由函数y=1−0.6t0.27近似描述，则记忆率由50%A．1小时 B．0.5小时 C．0.8小时 D．0.4小时7．设函数fx=2sinωx+φω>0,φA．53,+∞ B．116,8．已知函数fx，gx的定义域为R，g′x是gx的导数，且fx+g′A．80 B．75 C．70 D．65二、多选题9．已知随机变量X∼N5A．EX=5C．EX=E10．对于两个无限集合A,B，如果存在函数f:A↦B及其反函数f−1:B↦A，那么可以判断集合A．fx=eC．fx=211．已知点Px0,y0A．曲线C关于原点对称B．曲线C关于y轴对称C．x0D．存在无数个与曲线C恰有三个切点的圆三、填空题12．已知双曲线x2a2−y213．已知偶函数fx=x+1x+14．某班同学在操场上进行集体游戏，张老师随机从1,2,3,4,5,6中取三个数四、解答题15．已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B(1)求∠A(2)若B=π3,△16．已知椭圆G:x29+y2=1(1)求椭圆G的离心率.(2)若PA1⊥(3)若直线PA1和直线PA2分别交椭圆G于B，17．在如图所示的三棱锥A−BC(1)求证：AC(2)若AC⊥AB,BD18．已知f′x是fx=xex的导函数，点P(1)求fx的单调区间及x(2)试问：是否存在以Px0,y0为圆心的圆与y19．若无穷数列{an}满足：存在正整数T，使得an+T=(1)若an=sinπnm+(2)若an+1(3)设{bn}是无穷数列，已知an+1=答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《湖北省部分学校2025届高三下学期新高考信息卷（二）数学试题》参考答案题号12345678910答案ABADABBBABCAD题号11答案AD1．A【分析】解一元二次不等式求出集合A，根据集合的交集运算即得答案.【详解】解不等式x2−x即A=又B={−故选：A2．B【分析】根据复数的除法运算可得结果.【详解】由题意，z=故选：B.3．A【分析】由投影向量计算公式即可求解.【详解】a在b上的投影向量为a⋅故选：A.4．D【分析】根据题意，由二倍角公式化简可得cosα=5【详解】cos(α−则cos2α=故sin4故选：D．5．A【分析】根据空间中直线与平面以及平面与平面的位置关系，即可结合选项逐一求解.【详解】A中，α⊥β,B中，α∥β,C中，α∥β,m∥α,n∥β,则D中，α⊥β,m∥α,n∥β，则故选：A．6．B【分析】分别求出记忆率变为50%和记忆率变为40【详解】设经历时间t1记忆率变为50%，则12两边取以10为底的对数，得到lg56=又lg2≈0.30，lg3≈设经历时间t2记忆率变为40%，则0.4=1−所以记忆率由50%变为40%时需要经历的时间约为故选：B.7．B【分析】根据fx的图象经过的点及φ范围求出φ=π6，再根据x的范围得【详解】因为fx的图象经过点0,1，所以sinφ=12则函数fx=2sinω因为fx在0所以2π≤ωπ+π6故选：B.8．B【分析】根据偶函数的定义结合导数可得g′x=−g′−x，结合题意可得【详解】因为gx为偶函数，则gx=因为fx+g则f4−x且fx−1−g即fx+4+f且k=对于fx=f令x=0，可得f0=f所以k=故选：B.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．9．ABC【分析】由正态分布的概念及二项分布期望、方差的计算公式即可判断.【详解】因为X∼N5因为Y∼B10DY故选：ABC.10．AD【分析】选项B是偶函数，不满足；选项C在−1,1【详解】对于选项A，ex的定义域是R，ex当x→当x→+∞,ef由于ex>0对所有的x∈R，f作出图像满足题意，故A正确；对于B，fx对于C，fx的定义域为R，令f′x当x∈−∞,−1,当x∈−1,1时，f因此fx对于选项D，fx的定义域为R，当x→−∞时，fx→−1，当当x>0,f'当x<0,f'x综上fx在R上单调递增，并且f0=由于fx是单射的且其值域是−1,1，即对任意y∈作出图像故D正确.故选：AD.11．AD【分析】先由两角和与差的正弦公式将题设条件转化为sinx+y2sinx2【详解】由曲线C:sinx故sinx+y化简得sinx+y2sinx2于是x+y2=k即x+y=2k曲线C是由直线组成的“网”，如图所示：由图可知，曲线C关于原点对称，曲线C不关于y轴对称，且存在无数个与曲线C恰有三个切点的圆，故选项AD正确，选项B错误.对于选项C，x0−2其中x=0,y=0,所以最小距离为2π故选：AD.12．2【分析】由题意可得ab=t【详解】由ab=tan故答案为2【点睛】本题考查双曲线的渐近线，考查运算求解能力.13．2【分析】利用偶函数的定义确定a=【详解】因fx则f(因x不恒为0，故a=−1，即fx=x2故fx在x=1处的切线方程为y故答案为：2x14．35【分析】根据题设规则可知三个组之间人数的差要么不变，要么是3的倍数，进而得到经过有限轮活动可以使三个组合成一大组”等价于事件“a,【详解】经过一轮活动使得a,b,若最终变为0,当开始时有两组的人数之差被3整除时，记为a=进行操作f:这相当于把一个组的2位同学分到另外两个组；反向操作f−由a=b+3m得a−2m=再对a−2m,b于是事件“经过有限轮活动可以使三个组合成一大组”等价于事件“a,按照2个数的差被3整除分类：1,4,故答案为：315．(1)∠ADC(2)3−【分析】（1）根据给定条件，逆用和角公式及二倍角的正弦，结合正弦定理求解即可.（2）由（1）信息结合三角形面积公式、正弦定理求出AB【详解】（1）由2sinA=在△ABC中，B+C=π而C∈(0,π)，则于是sinCsin∠而∠ADC∈(（2）由（1）知∠ADC当∠ADC=π3时，B=当∠ADC=2π3时，在△由△ABD的面积为3，得S在△ABC在△ACD由余弦定理得AC即6=4+CD2−所以CD的长为316．(1)2(2)2,5(3)9【分析】（1）直接由定义求出即可；（2）设出坐标，结合已知条件由射影定理求出即可；（3）两次利用直曲联立，表示出点B,C的坐标和直线BC【详解】（1）椭圆G的离心率为e（2）

设P2,p，直线x=2交x轴于点∴P2,（3）

P2,p，A1∴lA1P9pΔ设Bx1∴−3x1=∴B−lA2p9pΔ∴3x2=81∴C∴kBC∴yy即直线BC方程为：恒过定点为917．(1)证明见解析；(2)44270【分析】（1）先由题意得到AB2+（2）建立适当空间直角坐标系，求出平面ADE和平面BD【详解】（1）因为AB所以AB2+所以AB即DB⋅A即DB⋅A（2）因为AC⊥AB,AC所以AC⊥平面如图所示，在平面ABD内过点A作AB以A为原点，分别以AB,AF,AC在Rt△ABC中，于是A0则AE设α=x,则α⊥AEα⊥AD，x同理得平面BDE的一个法向量为故cos〈设二面角A−DE故二面角A−DE18．(1)单调递增区间为−∞,1，单调递减区间为1(2)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用导数研究函数的单调区间及其极值求参数；（2）应用反证法，假设存在以P2,2e2为圆心的圆，则点A,B关于P【详解】（1）由题设f′x=1−xex，由故fx单调递增区间为−∞,设gx=f由g′x>0得x>故gx在2,+从而gx在x=2处取得极小值，即f′x（2）不存在，理由如下：假设存在以P2,2e2为圆心的圆，A设Ax1,y1即存在x∈0,设hx=fh′设lx=1设mx=1−2xe又mx<m0=0，即故lx<l0=0，即从而hx<h19．(1){an}(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据题设定义，利用y=（2）分a1=kπ(k∈Z)与a1≠kπ（3）根据条件，利用充要条件的证明方法，即可证明结果.【详解】（1）因为an所以{an}（2）①当a1=a2时，所以当a1=k②当a1≠kπ(f′(x即f′(x)=若a1<a2，则f(a1同理，若a1>a综上，当