阜阳市重点中学2024-2025学年高二下数学期末预测试题含解析

阜阳市重点中学2024-2025学年高二下数学期末预测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在等差数列中，是函数的两个零点，则的前10项和等于（）A． B．15 C．30 D．2．已知函数，若存在区间D，使得该函数在区间D上为增函数，则的取值范围为（）A． B．C． D．3．如图是某年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是()A． B． C． D．4．已知函数的定义域是，则的展开式中的系数是（）A． B．192 C． D．2305．已知，、，则向量与的夹角是（）A． B． C． D．6．已知函数在区间内没有极值点，则的取值范围为A． B． C． D．7．如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．已知图中直角三角形两个直角边的长分别为2和1．若从图中任选一点，则该点恰在阴影区域的概率为（）A． B． C． D．8．已知m∈R，若函数f(x)=1x+1-mx-m-3(-1<x⩽0)A．-94,-2 B．（-99．设函数，若的值域为，则实数的取值范围是()A． B．C． D．10．在ΔABC中，cosA=sinB=12A．3 B．23 C．3 D．11．对于问题：“已知x,y,z是互不相同的正数，求证：三个数x+1A．x+1z,y+1C．x+1z,y+112．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，若记数据，，，，的标准差为，数据，，，，的标准差为，则________14．已知两不共线的非零向量满足,,则向量与夹角的最大值是__________.15．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：.记作数列，若数列的前项和为，则___.16．已知曲线F（x，y）=0关于x轴、y轴和直线y=x均对称，设集合S={（x，y）|F（x，y）=0，x∈Z，y∈Z}．下列命题：①若（1，2）∈S，则（-2，-1）∈S；②若（0，2）∈S，则S中至少有4个元素；③S中元素的个数一定为偶数；④若{（x，y）|y2=4x，x∈Z，y∈Z}⊆S，则{（x，y）|x2=-4y，x∈Z，y∈Z}⊆S．其中正确命题的序号为______．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，，，分别是，的中点.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.18．（12分）某校选择高一年级三个班进行为期二年的教学改革试验，为此需要为这三个班各购买某种设备1台.经市场调研，该种设备有甲乙两型产品，甲型价格是3000元/台，乙型价格是2000元/台，这两型产品使用寿命都至少是一年，甲型产品使用寿命低于2年的概率是，乙型产品使用寿命低于2年的概率是.若某班设备在试验期内使用寿命到期，则需要再购买乙型产品更换.(1)若该校购买甲型2台，乙型1台，求试验期内购买该种设备总费用恰好是10000元的概率；(2)该校有购买该种设备的两种方案，方案：购买甲型3台；方案：购买甲型2台乙型1台.若根据2年试验期内购买该设备总费用的期望值决定选择哪种方案，你认为该校应该选择哪种方案？19．（12分）已知定义在上的函数的图象关于原点对称，且函数在上为减函数．（1）证明：当时，；（2）若，求实数的取值范围．20．（12分）已知函数（为自然对数的底数）.（1）当时，求函数的极值；（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.21．（12分）某理财公司有两种理财产品A和B，这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：产品A投资结果获利40%不赔不赚亏损20%概率产品B投资结果获利20%不赔不赚亏损10%概率pq注：p＞0，q＞0（1）已知甲、乙两人分别选择了产品A和产品B投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求实数p的取值范围；（2）若丙要将家中闲置的10万元人民币进行投资，以一年后投资收益的期望值为决策依据，则选用哪种产品投资较理想？22．（10分）已知函数.（1）当时，求的解集；（2）若恒成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由题意得是方程的两根，∴，∴．选B．2、B【解析】

求出导函数，由题意说明不等式有解。【详解】由题意有解.当时，一定有解；当时，也一定有解.当时，需要，即,综上所述，，故选：B。本题考查用导数研究函数的单调性。函数有单调增区间，则有解，这样可结合二次函数或一次函数的性质得出结论。3、A【解析】

观察已知中的三个图形，得到每一次变化相当于“顺时针”旋转2个角，由此即可得到答案．【详解】由题意，观察已知的三个图象，每一次变化相当于“顺时针”旋转2个角，根据此规律观察四个答案，即可得到A项符合要求，故选A．本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中熟记归纳的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某项相同的性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），合理使用归纳推理是解得关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4、A【解析】

函数的定义域是可知，-1和2是方程的两根，代入可求得值，再根据二项式定理的通项公式进行求解即可【详解】因为的定义域，所以-1和2是方程的两根，将-1代入方程可得，则二项式定理为根据二项式定理的通项公式，，的系数答案选A本题考察了一元二次方程根与系数的关系，二项式定理通项公式的求法及二项式系数的求法，难度不大，但综合性强5、D【解析】

设向量与的夹角为，计算出向量与的坐标，然后由计算出的值，可得出的值.【详解】设向量与的夹角为，，，则，所以，，故选D.本题考查空间向量的坐标运算，考查利用向量的坐标计算向量的夹角，考查计算能力，属于中等题.6、D【解析】

利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的极值点，可得2kπ2ωπ4ωπ2kπ，或2kπ2ωπ4ωπ2kπ，k∈Z，由此求得ω的取值范围．【详解】∵函数＝sin2ωx﹣2•1＝sin2ωxcos2ωx+1＝2sin（2ωx）+1在区间（π，2π）内没有极值点，∴2kπ2ωπ4ωπ2kπ，或2kπ2ωπ4ωπ2kπ，k∈Z．解得kω，或kω，令k＝0，可得ω∈故选D．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的极值点，属于中档题．7、C【解析】

直接根据几何概型计算得到答案.【详解】，，故.故选：.本题考查了几何概型，意在考查学生的计算能力.8、B【解析】

通过参变分离、换元法，把函数f(x)的零点个数转化成直线y=m与抛物线的交点个数.【详解】∵-1<x≤0,∴0<x+1≤1，∵函数f(x)在-1<x≤0有两个不同零点⇔方程m=(1x+1)2∴m=t2-3t在t≥1有且仅有两个不同的根⇔y=m∴-通过换元把复杂的分式函数转化为熟知的二次函数，但要注意换元后新元的取值范围.9、B【解析】很明显，且应满足当时，类指数函数的函数值不大于一次函数的函数值，即，解得：，即实数的取值范围是.本题选择B选项.点睛：(1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．10、B【解析】

通过cosA=sinB=1【详解】由于cosA=12，A∈(0,π)，可知A=π3，而sinB=12，B=π本题主要考查解三角形的综合应用，难度不大.11、C【解析】

找到要证命题的否定即得解.【详解】“已知x，y，z是互不相同的正数，求证：三个数x+1z，y+1x，而它的反面为：三个数x+1z，y+1x，故选：C．本题主要考查用反证法证明数学命题，命题的否定，属于基础题．12、B【解析】分析：求出A（﹣3，0），B（0，﹣3），|AB|=，设P（1+，），点P到直线x+y+2=0的距离：d=，∈，由此能求出△ABP面积的取值范围．详解：∵直线x+y+3=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，∴令x=0，得y=﹣3，令y=0，得x=﹣3，∴A（﹣3，0），B（0，﹣3），|AB|=，∵点P在圆（x﹣1）2+y2=2上，∴设P（1+，），∴点P到直线x+y+3=0的距离：d=，∵sin∈[﹣1，1]，∴d=，∴△ABP面积的最小值为△ABP面积的最大值为故答案为：B．点睛：（1）本题主要考查直线与圆的位置关系和三角形的面积，考查圆的参数方程和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是设点P（1+，），利用圆的参数方程设点大大地提高了解题效率.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】

根据等差数列性质分析两组数据之间关系，再根据数据变化规律确定对应标准差变化规律，即得结果.【详解】因为数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，所以，因此，即故答案为：2本题考查等差数列和项性质以及数据变化对标准差的影响规律，考查综合分析求解能力，属中档题.14、【解析】

设向量夹角为，由余弦定理求得，再利用基本不等式求得取得最小值，即可求得的最大值，得到结果.【详解】因为两非零向量满足,,设向量夹角为，由于非零向量以及构成一个三角形，设，则由余弦定理可得，解得，当且仅当时，取得最小值，所以的最大值是，故答案是.该题考查的是有关向量夹角的大小问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，基本不等式，注意当什么情况下取得最值，再者就是需要明确角取最大值的时候其余弦值最小.15、2059【解析】

将数列排列成杨辉三角数阵，使得每行的项数与行的相等，并计算出每行的各项之和，然后确定数列第所处的行数与项的序数，然后利用规律将这些项全部相加可得答案。【详解】将数列中的项从上到下，从左到右排成杨辉三角形数阵，如下所示：使得每行的序数与该行的项数相等，则第行最后项在数列中的项数为，设位于第，则，所以，，且第行最后一项在数列中的项数为，所以，位于杨辉三角数阵的第行第个，第一行各项和为，第二行各项和为，第三行各项的和为，依此类推，第行各项的和为，因此，，故答案为：。本题考查合情推理，考查二项式系数与杨辉三角，解决这类问题关键在于确定所找的项所在杨辉三角所处的位置，并利用规律来解题，考查推理论证能力与计算能力，属于难题。16、①②④【解析】

结合曲线F（x，y）=0关于x轴、y轴和直线y=x均对称，利用对称性分别进行判断即可．【详解】①若（1，2）∈S，则（1，2）关于y=x对称的点（2，1）∈S，关于x轴对称的点（2，-1）∈S，关于y轴对称的点（-2，-1）∈S；故①正确，②若（0，2）∈S，关于x轴对称的点（0，-2）∈S，关于y=x对称的点（2，0）∈S，（-2，0）∈S，此时S中至少有4个元素；故②正确，③若（0，0）∈S，则（0，0）关于x轴，y轴，y=x对称的点是自身，此时S中元素的个数为奇数个，故③错误；④若{（x，y）|y2=4x，x∈Z，y∈Z}⊆S，则关于y对称的集合为{（x，y）|y2=-4x，x∈Z，y∈Z}⊆S，从而{（x，y）|y2=-4x，x∈Z，y∈Z}⊆S关于y=x对称的集合{（x，y）|x2=-4y，x∈Z，y∈Z}⊆S，故④正确，故答案为：①②④本题主要考查命题的真假判断，结合函数图象的对称性分别进行验证是解决本题的关键，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2).【解析】分析：解法一：依题意可知两两垂直，以点为原点建立空间直角坐标系，（1）利用直线的方向向量和平面的法向量垂直，即可证得线面平面；（2）求出两个平面的法向量，利用两个向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值.解法二：利用空间几何体的点线面位置关系的判定定理和二面角的定义求解：（1）设的中点为，连接，证明四边形为平行四边形，得出线线平行，利用线面平行的判定定理即可证得线面平面；（2）以及二面角的平面角，在直角三角形中求出其平面角的余弦值，即可得到二面角的余弦值.详解：解法一：依条件可知、、两两垂直，如图，以点为原点建立空间直角坐标系.根据条件容易求出如下各点坐标：，，，，，，，.（Ⅰ）证明：∵，，是平面的一个法向量，且，所以.又∵平面，∴平面；（Ⅱ）设是平面的法向量，因为，，由，得.解得平面的一个法向量，由已知，平面的一个法向量为，，∴二面角的余弦值是.解法二：（Ⅰ）证明：设的中点为，连接，，∵，分别是，的中点，∴，又∵，，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面；（Ⅱ）如图，设的中点为，连接，∴，∵底面，∵，，∴，，∴，∴底面，在平面内，过点做，垂足为，连接，，，，∴平面，则，∴是二面角的平面角，∵，由，得，所以，所以，∴二面角的余弦值是.点睛：本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.18、（1）（2）选择B方案【解析】【试题分析】（1）由于总费用为10000元，说明试验期内恰好有1台设备使用寿命到期，因此可运用独立事件的概率公式可求得；（2）可将问题转化为两类进行求解：（1）若选择方案，记试验期内更换该种设备台数为，总费用为元，则，所以，又，所以；（2）若选择B方案，记试验期内更换该种设备台数为，总费用元，则，，，，所以，又，所以因为，所以选择B方案．解：（1）总费用为10000元，说明试验期内恰好有1台设备使用寿命到期，概率为：；（2）若选择方案，记试验期内更换该种设备台数为，总费用为元，则，所以，又，所以；若选择B方案，记试验期内更换该种设备台数为，总费用元，则，，，，所以，又，所以因为，所以选择B方案．19、（1）证明见解析；（2）．【解析】

（1）由于是奇函数，，因此要证明的不等式可变形为要证明，因此只要说明与异号，即与的大小和与的大小关系正好相反即可，这由减函数的定义可得，证明时可分和分别证明即可；（2）这个函数不等式由奇函数的性质可化为，然后由单调性可去“”，并注意将和限制在定义域内，可得出关于的不等式组，就可解得范围．【详解】（1）∵定义在上的函数的图象关于原点对称，∴为奇函数．若，则，∴，∴，∴成立．若，则，∴．∴，∴成立．综上，对任意，当时，有恒成立．（2），得，解得，故所求实数的取值范围是．本题考查函数单调性的定义以及单调性与奇偶性解不不等式，解题的关键就是利用奇偶性将不等式进行变形，结合单调性转化，同时要注意自变量要限制在定义域内，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20、（1）极小值为（2）【解析】分析：（1）根据利用导数求函数极值的一般步骤求解即可；（2）,由于函数在区间上是增函数，所以，令，则即在上恒成立，由此可求的取值范围..详解：（1）当时，，，令，解得，当变化时，，的变化情况如下表0+单调递减1单调递增因此，当时，有极小值，并且极小值为（2）,由于函数在区间上是增函数所以，令，则即在上恒成立设，则在上为增函数，∴∴，即的取值范围是．点睛：本题考查利用到时研究函数的单调性，极值，考查分析问题解决问题的能力．是圣.21、（1）；（2）当时，E(X)＝E(Y)，选择产品A和产品B一年后投资收益的数学期望相同，可以在产品A和产品B中任选一个；当时，E(X)＞E(Y)，选择产品A一年后投资收益的数学期望较大