辽宁省东北育才、实验中学、大连八中、鞍山一中等2024-2025学年数学高二下期末考试试题含解析

辽宁省东北育才、实验中学、大连八中、鞍山一中等2024-2025学年数学高二下期末考试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．口袋中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球，从袋中一次摸出2个球，记下号码并放回，若这2个号码之和是4的倍数或这2个球号码之和是3的倍数，则获奖.某人从袋中一次摸出2个球，其获奖的概率为（）A． B． C． D．2．若随机变量服从正态分布，则（）参考数据：若，则,，A．0.84 B．0.9759 C．0.8185 D．0.68263．中，，则的值是（）A． B． C． D．或4．若函数没有极值，则实数a的取值范围是()A． B． C． D．5．已知函数，则（）A． B． C．1 D．76．我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，每天的正点率服从正态分布，且，则（）A．0.96 B．0.97 C．0.98 D．0.997．在正方体中，与平面所成角的正弦值为（）A． B． C． D．8．从名学生中选取名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从人中剔除人，剩下的人再按系统抽样的方法进行.则每人入选的概率()A．不全相等 B．均不相等 C．都相等，且为 D．都相等，且为9．“中国梦”的英文翻译为“”，其中又可以简写为，从“”中取6个不同的字母排成一排，含有“”字母组合（顺序不变）的不同排列共有（）A．360种 B．480种 C．600种 D．720种10．等于()A． B．2 C．-2 D．+211．甲、乙两支球队进行比赛，预定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.结束除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.则甲队以3：2获得比赛胜利的概率为（）A． B． C． D．12．甲、乙、丙三位同学独立的解决同一个间题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为、、，则有人能够解决这个问题的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数有两个零点，，则下列判断：①；②；③；④有极小值点，且.则正确判断的个数是__________.14．复数（i是虚数单位）的虚部是_______．15．在四面体中，，已知，，且，则四面体的体积的最大值为_______.16．如图，在中，，和分别是边和上一点，，将沿折起到点位置，则该四棱锥体积的最大值为_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：月份x12345y（万盒）44566（1）该同学为了求出关于的线性回归方程，根据表中数据已经正确计算出=0.6，试求出的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；（2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题，记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．18．（12分）已知函数．（1）求的单调区间和极值；（2）求曲线在点处的切线方程．19．（12分）给出下列不等式：，，，，（1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论；（2）用数学归纳法证明你的猜想.20．（12分）已知函数，其中为常数.（1）证明：函数的图象经过一个定点，并求图象在点处的切线方程；（2）若，求函数在上的值域.21．（12分）已知等比数列的前项和，其中为常数.（1）求；（2）设，求数列的前项和.22．（10分）已知椭圆的离心率为，一个焦点在直线上，直线与椭圆交于两点，其中直线的斜率为，直线的斜率为。（1）求椭圆方程；（2）若，试问⊿的面积是否为定值，若是求出这个定值，若不是请说明理由。

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】分析：先求出基本事件的总数，再求出这2个号码之和是4的倍数或这2个球号码之和是3的倍数的基本事件，再根据古典概型的概率计算公式求解即可.详解：从6个球中一次摸出2个球，共有种，2个号码之和是4的倍数或这2个球号码之和是3的倍数，共有：9种，获奖的概率为.故选A.点睛：求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择．2、A【解析】

根据题意可知，，所以，由公式即可求出．【详解】根据题意可知，，所以，故选A．本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，意在考查数形结合思想，化归与转化思想的应用．3、B【解析】

根据正弦定理求解.【详解】由正弦定理得，选B.本题考查正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.4、A【解析】

由已知函数解析式可得导函数解析式，根据导函数不变号，函数不存在极值点，对讨论，可得答案．【详解】∵，∴，①当时，则，在上为增函数，满足条件；②当时，则，即当时，恒成立，在上为增函数，满足条件综上，函数不存在极值点的充要条件是：．故选：A．本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，本题是一道基础题．5、C【解析】

根据题意，由函数的解析式可得，又由即得到答案。【详解】由函数的解析式可得，又由，则本题考查了分段函数，解答的关键是运用函数的周期性把转化有具体解析式的范围内。6、D【解析】

根据正态分布的对称性，求得指定区间的概率.【详解】由于，故，故选D.本小题主要考查正态分布的对称性，考查正态分布指定区间的概率的求法，属于基础题.7、B【解析】

证明与平面所成角为，再利用边的关系得到正弦值.【详解】如图所示：连接与交于点，连接，过点作与平面所成角等于与平面所成角正方体平面平面与平面所成角为设正方体边长为1在中故答案选B本题考查了线面夹角，判断与平面所成角为是解得的关键，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.8、C【解析】

按系统抽样的概念知应选C，可分两步：一是从2018人中剔除18留下的概率是，第二步从2000人中选50人选中的概率是，两者相乘即得．【详解】从2018人中剔除18人每一个留下的概率是，再从2000人中选50人被选中的概率是，∴每人入选的概率是．故选C．本题考查随机抽样的事件与概率，在这种抽样机制中，每个个体都是无差别的个体，被抽取的概率都相等．9、C【解析】从其他5个字母中任取4个,然后与“”进行全排列,共有,故选B.10、D【解析】∵.故选D11、B【解析】若是3:2获胜，那么第五局甲胜，前四局2:2，所以概率为，故选B.12、B【解析】试题分析：此题没有被解答的概率为，故能够将此题解答出的概率为．故选D．考点：相互独立事件的概率乘法公式．点评：本题考查相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率和公式、对立事件的概率公式；注意正难则反的原则，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】

对函数进行求导，然后分类讨论函数的单调性，由题意可以求出的取值范围，然后对四个判断逐一辨别真假即可.【详解】，.当时，，函数是单调递增函数，而，所以函数只有一个零点，不符合题意；当时，当时，，函数单调递增，当时，，函数递减，故函数的最小值为，要想函数有两个零点，则必有，故判断①不对；对于②：，取，，所以，故判断②不对；对于④：构造函数，，所以函数是上单调递增，故，而，所以，故本判断是正确的；对于③：因为，而，所以有，故本判断是错误的，故正确的判断的个数为1.本题考查了利用导数研究函数的零点、极值点，考查了推理论证能力.14、-1【解析】

由题意，根据复数的运算，化简得，即可得到复数的虚部．【详解】由题意，复数，所以复数的虚部为．本题主要考查了复数的四则运算及复数的分类，其中解答中熟记复数的四则运算，正确化简、运算复数，再利用复数的概念求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15、【解析】

作与，连接，说明与都在以为焦点的椭球上，且都垂直与焦距，，取BC的中点F，推出当是等腰直角三角形时几何体的体积最大，求解即可.【详解】解：作与，连接，则平面，，由题意，与都在以为焦点的椭球上，且都垂直与焦距且垂足为同一点E，显然与全等，所以，取BC的中点F，，要四面体ABCD的体积最大，因为AD是定值，只需三角形EBC面积最大，因为BC是定值，所以只需EF最大即可，当是等腰直角三角形时几何体的体积最大，，，，所以几何体的体积为：,故答案为：.本题考查棱锥的体积，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题.16、【解析】

根据题中条件，设，表示出四边形的面积，由题意得到平面时，四棱锥体积最大,此时，根据四棱锥的体积公式，表示出，用导数的方法求其最值即可.【详解】在中，由已知，，，所以设，四边形的面积为,当平面时，四棱锥体积最大,此时，且,故四棱锥体积为，，时，；时，,所以，当时，.故答案为本题主要考查求几何体的体积，熟记体积公式，以及导数的方法研究函数的最值即可，属于常考题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），6.1（2）见解析【解析】试题分析：（1）由线性回归方程过点（，）,可得,再求x=6时对应函数值即为6月份生产的甲胶囊产量数（2）先确定随机变量取法：ξ=0，1，2，3，再利用组合数求对应概率，列表可得分布列，最后根据公式求数学期望试题解析：解：（1）==3，（4+4+5+6+6）=5，因线性回归方程=x+过点（，），∴=﹣=5﹣0.6×3=3.2，∴6月份的生产甲胶囊的产量数：=0.6×6+3.2=6.1．（2）ξ=0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，其分布列为ξ0123P所以Eξ==．18、（1）极大值为，极小值为（2）【解析】

试题分析：（Ⅰ）由求导公式和法则求出f′（x），求出方程f′（x）=0的根，根据二次函数的图象求出f′（x）＜0、f′（x）＞0的解集，由导数与函数单调性关系求出f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）由导数的几何意义求出f′（0）：切线的斜率，由解析式求出f（0）的值，根据点斜式求出曲线在点（0，f（0））处的切线方程，再化为一般式方程试题解析：（1），，．①当时，；②当时，．当变化时，，的变化情况如下表：当时，有极大值，并且极大值为当时，有极小值，并且极小值为（2），．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值19、（1）（2）见解析【解析】

（1）猜想不等式左边最后一个数分母，对应各式右端为，即得解；（2）递推部分，利用时结论，替换括号内部分即得证.【详解】解：（1）观察不等式左边最后一个数分母的特点：，，，，猜想不等式左边最后一个数分母，对应各式右端为，所以，不等式的一般结论为：（2）证明：①当时显然成立；②假设时结论成立，即：成立，当时，即当时结论也成立.由①②可知对任意，结论都成立.本题考查了归纳推理和数学归纳法，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.20、（1）证明见解析，；（2）【解析】

（1）将函数解析式重新整理，解得定点，再求导数，根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式得切线方程，（2）先解出，再利用导数求函数值域.【详解】（1）因为，所以，所以函数的图像经过一个定点，因为，所以切线的斜率，.所以在点处的切线方程为，即；（2）因为，，所以，故，则，由得或，当变化时，，的变化情况如下表：1200单调减单调增从而在上有最小值，且最小值为，因为，，所以，因为在上单调减，，所以，所以，所以最大值为，所以函数在上的值域为.本题考查导数几何意义以及利用导数求函数值域，考查综合分析求解能力，属中档题.21、（1）（2）【解析】

（1）利用求出当时的通项，根据为等比数列得到的值后可得.（2）利用分组求和法可求的前项和.【详解】（1）因为，当时，，当时，，所以，因为数列是等比数列，所以对也成立，所以，即.（2）由（1）可得，因为，所以，所以，即.（1）数列的通项与前项和的关系是，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.（2）数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项