安徽省庐巢七校2024-2025学年数学高二下期末考试试题含解析

安徽省庐巢七校2024-2025学年数学高二下期末考试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若（是虚数单位），则复数的模为（）A． B． C． D．2．“因为指数函数是增函数(大前提)，而是指数函数(小前提)，所以函数是增函数(结论)”，上面推理的错误在于A．大前提错误导致结论错 B．小前提错误导致结论错C．推理形式错误导致结论错 D．大前提和小前提错误导致结论错3．已知复数满足,则复数在复平面内对应点所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．直线y=x与曲线y=xA．52 B．32 C．25．函数导数是()A． B． C． D．6．椭圆为参数)的离心率是()A． B． C． D．7．若的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（）A． B．C． D．8．恩格尔系数,国际上常用恩格尔系数来衡量一个地区家庭的富裕程度，某地区家庭2018年底恩格尔系数为，刚达到小康，预计从2019年起该地区家庭每年消费支出总额增加，食品消费支出总额增加，依据以上数据，预计该地区家庭恩格尔系数满足达到富裕水平至少经过（）（参考数据：，,，）A．年 B．年 C．年 D．年9．已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）A．变量之间呈现负相关关系B．的值等于5C．变量之间的相关系数D．由表格数据知，该回归直线必过点10．已知函数，若对于任意的，都有成立，则的最小值为（）A．4 B．1 C． D．211．如图，在正方形中，点E，F分别为边，的中点，将、分别沿、所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误是（）A．存在某个位置，使得直线与直线所成的角为B．存在某个位置，使得直线与直线所成的角为C．A、C两点都不可能重合D．存在某个位置，使得直线垂直于直线12．已知函数，其图象关于直线对称，为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点（）A．先向左平移个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变B．先向右平移个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变C．先向右平移个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变D．先向左平移个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则n等于_________.14．函数的定义域是_______.15．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：从中任取3球，恰有一个白球的概率是；从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为；从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为．其中所有正确结论的序号是______．16．若曲线在点处的切线斜率为1，则该切线方程为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知一次函数f(x)满足：f(1)=2,f(2x)=2f(x)-1.(1)求f(x)的解析式;(2)设,若|g(x)|－af(x)＋a≥0，求实数a的取值范围.18．（12分）已知椭圆C：与圆M：的一个公共点为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M的直线l与椭圆C交于A、B两点，且A是线段MB的中点，求的面积．19．（12分）设点为坐标原点，椭圆：的右顶点为，上顶点为，过点且斜率为的直线与直线相交于点，且.（1）求椭圆的离心率；（2）是圆：的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程.20．（12分）已知二项式的展开式中各项的系数和为.（1）求；（2）求展开式中的常数项．21．（12分）数列满足）.（1）计算，并由此猜想通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.22．（10分）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）将直线：（为参数）化为极坐标方程；（2）设是（1）中的直线上的动点，定点，是曲线上的动点，求的最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

利用复数的乘法、除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的求模公式计算出复数的模.【详解】因为，所以，所以，故选D.本题考查复数的乘法、除法法则以及复数模的计算，对于复数相关问题，常利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式进行求解，考查计算能力，属于基础题.2、A【解析】试题分析：大前提：指数函数是增函数错误，只有在时才是增函数考点：推理三段论3、A【解析】

把已知变形等式，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】由，得，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限．故选：A．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.4、D【解析】

利用定积分的几何意义，首先利用定积分表示面积，然后计算即可．【详解】y=x与曲线y=xS=0故选：D．本题考查了定积分的几何意义的应用，关键是正确利用定积分表示面积，属于基础题．5、A【解析】

根据导数的基本公式和运算法则求导即可．【详解】，故选：A．本题考查了导数的基本公式和运算法则，属于基础题．6、A【解析】

先求出椭圆的普通方程，再求其离心率得解.【详解】椭圆的标准方程为，所以c=.所以e＝.故答案为A(1)本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)在椭圆中，7、C【解析】

计算，计算，，，根据系数的大小关系得到，解得答案.【详解】，，，，，第6项的系数最大，，则.故选：.本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.8、B【解析】

根据“每年消费支出总额增加，食品消费支出总额增加”以及列不等式，解不等式求得至少经过的年份.【详解】设经过的年份为年，依题意有，即，两边取以为底的对数得，即，故至少经过年，可使家庭恩格尔系数满足达到富裕水平.故选B.本小题主要考查指数不等式的解法，考查对数运算，考查实际生活中的函数运用，考查阅读与理解能力，属于中档题.9、C【解析】分析：根据线性回归方程的性质依次判断各选项即可．详解：对于A：根据b的正负即可判断正负相关关系．线性回归方程为，b=﹣0.7＜0，负相关．对于B：根据表中数据：=1．可得=2．即，解得：m=3．对于C：相关系数和斜率不是一回事，只有当样本点都落在直线上是才满足两者相等，这个题目显然不满足，故不正确.对于D：由线性回归方程一定过（，），即（1，2）．故选：C．点睛：本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题，对于回归方程，一定要注意隐含条件，样本中心满足回归方程，再者计算精准，正确理解题意，应用回归方程对总体进行估计.10、D【解析】

由题意得出的一个最大值为，一个最小值为，于此得出的最小值为函数的半个周期，于此得出答案．【详解】对任意的，成立.所以，，所以，故选D．本题考查正余弦型函数的周期性，根据题中条件得出函数的最值是解题的关键，另外就是灵活利用正余弦型函数的周期公式，考查分析问题的能力，属于中等题．11、D【解析】

在A中，可找到当时，直线AF与直线CE垂直；在B中，由选项A可得线AF与直线CE所成的角可以从到，自然可取到；在C中，若A与C重合，则，推出矛盾；在D中，若AB⊥CD，可推出则，矛盾.【详解】解：将DE平移与BF重合，如图：在A中，若，又，则面，则，即当时，直线AF与直线CE垂直，故A正确；

在B中，由选项A可得线AF与直线CE所成的角可以从到，必然会存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为60°，故B正确；在C中，若A与C重合，则，不符合题意，则A与C恒不重合，故C正确；

在D中，，又CB⊥CD，则CD⊥面ACB，所以AC⊥CD，即，又，则，矛盾，故D不成立；

故选：D.本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题.12、D【解析】

由函数的图象关于直线对称，得，进而得再利用图像变换求解即可【详解】由函数的图象关于直线对称，得，即，解得，所以，，故只需将函数的图象上的所有点“先向左平移个单位长度，得再将横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变,得”即可.故选：D本题考查三角函数的图象与性质，考查图像变换，考查运算求解能力，是中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、8【解析】

由题意可知，，解得n，得到结果.【详解】因为的展开式中所有项的二项式系数之和为256，所以有，解得，故答案是8.这是一道考查二项式定理的题目，解题的关键是明确二项展开式的性质，由二项式定理可得，二项式所有项的二项式系数和为，从而求得结果.14、【解析】

被开方式大于或等于0，得求解【详解】由题知：，，定义域为.故答案为：本题考查函数的定义域.常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于.(3)一次函数、二次函数的定义域均为.(4)的定义域是．(5)且，的定义域均为.(6)且的定义域为．15、【解析】分析：①所求概率为，计算即得结论；

②利用取到红球次数可知其方差为；通过每次取到红球的概率可知所求概率为．详解：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是，故正确；

②从中有放回的取球6次，每次任取一球，

取到红球次数，其方差为，故正确；

③从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次取到红球的概率，

∴至少有一次取到红球的概率为，故正确．

故答案为：①②③．点睛：本题主要考查命题的真假判断，涉及概率的计算，考查学生的计算能力．16、【解析】

求得函数的导数，可得切线的斜率，解方程可得切点的横坐标，进而得到切点坐标，由点斜式方程可得切线的方程．【详解】的导数为，在点处的切线斜率为1，可得，所以，切点纵坐标为：，可得切点为，即有切线的方程为，即为．故答案为．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)f(x)=x+1.(2)a≤0.【解析】分析：（1）待定系数法即可求得f(x)的解析式；（2）分类讨论、分离参数、数形结合都可以解决.详解：(1)设f(x)=kx+b，则解得：k=b=1,故f(x)=x+1.(2)由(1)得:g(x)＝|g(x)|－af(x)＋a≥0可化为|g(x)|≥ax.∵|g(x)|＝∴由|g(x)|≥ax可分两种情况：(I)恒成立若x＝0，不等式显然成立；若x<0时，不等式等价于x－2≤a.∵x－2<－2，∴a≥－2.(II)恒成立方法一[分离参数]：可化为a≤在(0,＋∞)上恒成立。令h(x)=,则h′(x)==令t(x)=x－(x+1)ln(x+1),则由t′(x)=-ln(x+1)<0知t(x)在(0,＋∞)上单调递减,故t(x)<t(0)=0，于是h′(x)<0从而h(x)在(0,＋∞)上单调递减又当x>0时,恒有h(x)=>0于是a≤0.方法二[分类讨论]：ln(x+1)≥axln(x+1)－ax≥0令φ(x)=ln(x+1)－ax，则φ′(x)=－a=当a≤0时,φ(x)在(0,＋∞)上单调递增,故有φ(x)>φ(0)=0成立;当0<a<1时,φ(x)在(0,－1)上单调递增,在(－1＋∞)是递减.取x=－1,易知φ(－1)=-2lna+a－<0，故不合题意；当a≥1时,φ(x)在(0,＋∞)上单调递减，显然不合题意。所以a≤0.方法三[数形结合]：根据函数图象可知a≤0.综合(1)(2)得－2≤a≤0.点睛：本题主要考查不等式恒成立问题，一般常用方法是构造函数求导、分离参数、分类讨论是解决这种问题常用的方法.18、(1)；(2)【解析】

（1）将公共点代入椭圆和圆方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程；（2）设过点M（0，﹣2）的直线l的方程为y＝kx﹣2，联立椭圆方程，运用韦达定理，以及三角形的面积公式可得所求值．【详解】（1）由题意可得1，（b2﹣1）2，解得a2＝3，b2＝2，则椭圆方程为1；（2）设过点M（0，﹣2）的直线l的方程为y＝kx﹣2，联立椭圆方程2x2+3y2＝6，可得（2+3k2）x2﹣12kx+6＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2，x1x2，A是线段MB的中点，可得x2＝2x1，解得k2，x12，可得△OAB的面积为•2•|x1﹣x2|＝|x1|．本题考查了椭圆方程的求解，考查了直线与圆锥曲线位置关系，其中联立直线方程和圆锥曲线方程，运用韦达定理，是解题的常用方法．19、(1).（2）.【解析】分析：（1）运用向量的坐标运算，可得M的坐标，进而得到直线OM的斜率，进而得证；（2）由（1）知，椭圆方程设为，设PQ的方程，与椭圆联立，运用韦达定理和中点坐标公式，以及弦长公式，解方程即可得到a，b的值，进而得到椭圆方程.详解：（1）∵，，，所以.∴，解得，于是，∴椭圆的离心率为.（2）由（1）知，∴椭圆的方程为即①依题意，圆心是线段的中点，且.由对称性可知，与轴不垂直，设其直线方程为，代入①得：，设，，则，，由得，解得.于是.于是.解得：，，∴椭圆的方程为.点睛：本题考查椭圆的方程和性质，考查向量共线的坐标表示，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理以及弦长公式，化简整理的运算能力，属于中档题.20、（1）8；（2）.【解析】

⑴观察可知，展开式中各项系数