河南天一大联考2025届高二数学第二学期期末达标测试试题含解析

河南天一大联考2025届高二数学第二学期期末达标测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．展开式中的所有项系数和是（）A．0 B．1 C．256 D．5122．已知集合，，且，则实数的值是（）A． B． C． D．3．已知集合，若，则实数的值为（）A．或 B．或 C．或 D．或或4．已知随机变量，若，则，分别为（）A．和 B．和 C．和 D．和5．已知函数，则A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数6．小赵、小钱、小孙、小李到个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“个人去的景点彼此互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则（）A． B． C． D．7．已知函数，若且，则n-m的最小值为()A．2ln2-1 B．2-ln2 C．1+ln2 D．28．在正方体中，点，分别是，的中点，则下列说法正确的是（）A． B．与所成角为C．平面 D．与平面所成角的余弦值为9．设，则二项式展开式的所有项系数和为（）A．1 B．32 C．243 D．102410．已知tan=4,cot=,则tan（+）=（）A． B． C． D．11．如图所示的电路有a，b，c，d四个开关，每个开关断开与闭合的概率均为且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为（）A． B． C． D．12．已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则在上，的解集是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，分别是椭圆：短轴上的两个顶点，点是椭圆上异于，的任意一点，若直线与直线的斜率之积为，则__________．14．已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为_________.15．执行如图所示的程序框图，则输出的i的值为.16．在某班举行的“庆五一”联欢晚会开幕前已排好有8个不同节目的节目单，如果保持原来的节目相对顺序不变，临时再插进去三个不同的新节目，且插进的三个新节目按顺序出场，那么共有__________种不同的插入方法（用数字作答）．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（其中，为自然对数的底数）．（Ⅰ）若函数无极值，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，证明：．18．（12分）已知函数.（Ⅰ）求的值及函数的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数的最大值.19．（12分）已知椭圆：与抛物线有公共的焦点，且公共弦长为，（1）求，的值.（2）过的直线交于，两点，交于，两点，且，求.20．（12分）在平面直角坐标系中，曲线（是参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程：.（1）写出曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；（2）设，直线与曲线交于、两点，求的值.21．（12分）已知函数．（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；（2）已知当时恒成立，求的最大值．22．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的极坐标方程为ρcos＝2.(1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)求曲线C上的点到直线l的最大距离．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

令，可求出展开式中的所有项系数和.【详解】令，则，即展开式中的所有项系数和是1，故选B.本题考查了二项式定理的应用，考查了展开式的系数和的求法，属于基础题.2、B【解析】

根据已知，将选项代入验证即可.【详解】由，知且，经检验符合题意，所以.故选：B本题考查集合间的关系，要注意特殊方法的应用，减少计算量，属于基础题.3、D【解析】

就和分类讨论即可.【详解】因为当时，，满足；当时，，若，所以或.综上，的值为0或1或2.故选D.本题考查集合的包含关系，属于基础题，解题时注意利用集合中元素的性质（如互异性、确定性、无序性）合理分类讨论.4、C【解析】

利用二项分布的数学期望和方差公式求出和，然后利用期望和方差的性质可求出和的值.【详解】，，.，，由期望和方差的性质可得，.故选：C.本题考查均值和方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．5、A【解析】分析：讨论函数的性质，可得答案.详解：函数的定义域为，且即函数是奇函数，又在都是单调递增函数，故函数在R上是增函数．故选A.点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.6、D【解析】分析：这是求小赵独自去一个景点的前提下，4

个人去的景点不相同的概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论．详解：小赵独自去一个景点，则有3个景点可选，其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，可能性为种

所以小赵独自去一个景点的可能性为种

因为4

个人去的景点不相同的可能性为种，

所以．

故选：D．点睛：本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键．7、C【解析】

作出函数的图象，由题意可得，求得，可得，，求出导数和单调区间，可得极小值，且为最小值，即可得解．【详解】解：作出函数的图象如下，，且，可得，，即为，可得，，，令，则当时，，递减；当时，，递增．则在处取得极小值，也为最小值，故选C．本题考查分段函数及应用，注意运用转化思想和数形结合思想，运用导数求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．8、C【解析】

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【详解】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（2，0，2），E（2，1，0），B（2，2，0），F（0，2，1），（0，1，﹣2），（﹣2，0，1），2≠0，∴A1E与BF不垂直，故A错误；（﹣2，2，﹣1），（﹣2，﹣2，0），cos，0，∴A1F与BD所成角为90°，故B错误；（2，0，0），（0，2，1），（0，1，﹣2），•0，0，∴A1E⊥DA，A1E⊥DF，∴A1E⊥平面ADF，故C正确；（﹣2，2，﹣1），平面ABCD的法向量（0，0，1），设A1F与平面ABCD所成角为θ，则sinθ，∴cosθ．∴A1F与平面ABCD所成角的余弦值为，故D错误．故选：C．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9、C【解析】

根据定积分求得，得出二项式，再令，即可求得展开式的所有项的系数和，得到答案.【详解】由题意，可得，所以二项式为，令，可得二项式展开式的所有项系数和为，故选C.本题主要考查了微积分基本定理的应用，以及二项展开式的系数问题，其中解答中熟记定积分的计算，以及二项式的系数的求解方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10、B【解析】

试题分析：由题意得，，故选B．考点：两角和的正切函数．11、C【解析】

由独立事件同时发生的概率公式计算．把组成一个事整体，先计算它通路的概率．【详解】记通路为事件，则，所以灯泡亮的概率为．故选：C.本题考查相互独立事件同时发生的概率，由独立事件的概率公式计算即可．12、C【解析】

首先结合函数的对称性和函数的奇偶性绘制函数图像，原问题等价于求解函数位于直线下方点的横坐标，数形结合确定不等式的解集即可.【详解】函数满足，则函数关于直线对称，结合函数为奇函数绘制函数的图像如图所示：的解集即函数位于直线下方点的横坐标，当时，由可得，结合可得函数与函数交点的横坐标为，据此可得：的解集是.本题选择C选项.本题主要考查函数的奇偶性，函数的对称性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】

设点坐标为，则．由题意得，解得．答案：2点睛：求椭圆离心率或其范围的方法（1）根据题意求出的值，再由离心率的定义直接求解．（2）由题意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标等．14、【解析】

求导根据导数判断函数是单调递增的，再利用解得答案.【详解】当时，是定义在上的奇函数是在上单调递增故答案为本题考查了函数的奇偶性，单调性，判断函数在上单调递增是解题的关键.15、1【解析】

由程序框图知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟执行如图所示的程序框图如下，判断，第1次执行循环体后，，，；判断，第2次执行循环体后，，，；判断，第3次执行循环体后，，，；判断，退出循环，输出的值为1．本题主要考查对含有循环结构的程序框图的理解，模拟程序运算可以较好地帮助理解程序的算法功能．16、1【解析】分析：根据题意，先由分步计数原理计算ABC三个节目插到8个节目之间的排法，又由倍分法分析可得答案．详解：根据题意，原来有8个节目，有9个空位，在9个空位中任选1个，安排A节目，有9种情况，排好后有10个空位，在10个空位中任选1个，安排B节目，有10种情况，排好后有11个空位，在11个空位中任选1个，安排C节目，有11种情况，排好后有11个空位，在ABC的安排方法有9×10×11=990种，又由三个新节目按A，B，C顺序出场，则不同的安排方法有×990=1种；故答案为：1．点睛：本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）实数的取值范围是；（2）见解析.【解析】分析：（1）因为函数无极值，所以在上单调递增或单调递减.即或在时恒成立，求导分析整理即可得到答案；（2）由（Ⅰ）可知，当时，当时，，即.欲证，只需证即可，构造函数=（），求导分析整理即可.详解：（Ⅰ）函数无极值，在上单调递增或单调递减.即或在时恒成立；又，令，则；所以在上单调递减，在上单调递增；，当时，，即，当时，显然不成立；所以实数的取值范围是.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，当时，，即.欲证，只需证即可.构造函数=（），则恒成立，故在单调递增，从而.即，亦即.得证.点睛：可以从所证不等式的结构和特点出发，结合已有的知识利用转化与化归思想，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证明，其一般步骤是：构造可导函数→研究单调性或最值→得出不等关系→整理得出结论．18、（Ⅰ），最小正周期为；（Ⅱ）2.【解析】

（Ⅰ）整理，得，由周期公式可得解；（Ⅱ）由已知可得，所以，问题得解.【详解】（Ⅰ）∵，∴，∴，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∵，则，∴，∴的最大值为2.本题考查了辅助角公式和三角函数周期公式，考查了整体法求三角函数的值域，属于中档题.19、（1），；（2）.【解析】

(1)由椭圆以及抛物线的对称性可得到交点的纵坐标，代入，可得到交点的横坐标，再由有公共的焦点，即可得到，的值；(2)先设：，再由直线交于，两点，交于，两点，根据根与系数的关系可得横坐标之间的关系，再由已知条件可得，从而可求出.【详解】（1）∵，均关于轴对称，∴公共弦也关于轴对称，∵公共弦长为，将代入，中解得与，∴，.∵，有公共的焦点，∴，解得，.（2），设，，，，∵，∴，即，.当的斜率不存在时，显然不成立，∴设：，将方程代入整理得，，.将方程代入整理得，∴，.代入中解得，∵，∴.本题考查了椭圆以及抛物线的对称性，以及直线与椭圆和抛物线的关系，抛物线定义求弦长，考查了学生的计算能力，属于较难题.20、（1）曲线的普通方程是，直线的直角坐标方程为（2）【解析】

（1）直接利用参数方程公式得到曲线方程，三角函数展开代入公式得到答案.（2）写出直线的参数方程，代入曲线方程，利用韦达定理得到答案.【详解】解：（1）曲线的普通方程是，直线的