湖北省武汉市外国语学校2025届数学高二下期末综合测试试题含解析

湖北省武汉市外国语学校2025届数学高二下期末综合测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．等差数列{an}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为A．1 B．2 C．3 D．42．已知集合，，则（）A． B． C． D．3．曲线的图像（）A．关于轴对称B．关于原点对称,但不关于直线对称C．关于轴对称D．关于直线对称，关于直线对称4．设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（）A． B． C． D．5．周末，某高校一学生宿舍有甲乙丙丁四位同学分别在做不同的四件事情，看书、写信、听音乐、玩游戏，下面是关于他们各自所做事情的一些判断：①甲不在看书，也不在写信；②乙不在写信，也不在听音乐；③如果甲不在听音乐，那么丁也不在写信；④丙不在看书，也不在写信.已知这些判断都是正确的，依据以上判断，乙同学正在做的事情是（）A．玩游戏 B．写信 C．听音乐 D．看书6．箱子中有标号为1，2，3，4，5，6且大小、形状完全相同的6个球，从箱子中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．若有4人参与摸奖，则恰好有3人获奖的概率为()A．16625 B．96625 C．6247．在平面四边形，，，则四边形的面积为（）A． B． C．15 D．8．从一批产品中取出三件产品，设事件为“三件产品全不是次品”，事件为“三件产品全是次品”，事件为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）A．事件与互斥 B．事件与互斥C．任何两个事件均互斥 D．任何两个事件均不互斥9．中，，是的中点，若，则（）.A． B． C． D．10．如图所示为底面积为2的某三棱锥的三视图，则该三棱锥的侧面积为（）A． B．C． D．11．已知随机变量X的分布列：02若，，则（）A． B． C． D．12．已知向量||=，且,则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在平面直角坐标系中，己知直线与圆相切，则k的值为________.14．，，，，……则根据以上四个等式，猜想第个等式是__________．15．已知，且，则的最小值是______________．16．某校从7名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案共有____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，证明：．18．（12分）2017年10月18日上午9:00,中国共产党第十九次全国代表大会在人民大会堂开幕.代表第十八届中央委员会向大会作了题为《决胜全面建成小康社会夺取新时代中国特色社会主义伟大胜利》的报告.人们通过手机、电视等方式关注十九大盛况.某调査网站从观看十九大的观众中随机选出200人,经统计这200人中通过传统的传媒方式电视端口观看的人数与通过新型的传媒方式PC端口观看的人数之比为4:1.将这200人按年龄分组:第1组[15,25),第2组[25,35),第3组[35,45),第4组[45,55),第5组[55,65),其中统计通过传统的传媒方式电视端口观看的观众得到的频率分布直方图如图所示(1）求a的值及通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄（2）把年龄在第1,2,3组的观众称为青少年组,年龄在第4,5组的观众称为中老年组,若选出的200人中通过新型的传媒方式PC端口观看的中老年人有12人,请完成下面2×2列联表,则能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为观看十九大的方式与年龄有关?通过PC端口观看十九大通过电视端口观看十九大合计青少年中老年合计附:(其中样本容量)19．（12分）《厉害了，我的国》这部电影记录：到2017年底，我国高铁营运里程达2.5万公里，位居世界第一位，超过第二名至第十名的总和，约占世界高铁总量的三分之二.如图是我国2009年至2017年高铁营运里程（单位：万公里）的折线图.根据这9年的高铁营运里程，甲、乙两位同学分别选择了与时间变量的两个回归模型①：；②.（1）求，（精确到0.01）；（2）乙求得模型②的回归方程为，你认为哪个模型的拟合效果更好？并说明理由.附：参考公式：，，.参考数据：1.3976.942850.220.093.7220．（12分）已知曲线上的最高点为，该最高点到相邻的最低点间曲线与轴交于一点,求函数解析式,并求函数在上的值域.21．（12分）已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）设，若不等式对任意恒成立，求的取值范围.22．（10分）将个不同的红球和个不同的白球，放入同一个袋中，现从中取出个球.（1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少种不同的取法；（2）取出一个红球记分，取出一个白球记分，若取出个球的总分不少于分，则有多少种不同的取法；（3）若将取出的个球放入一箱子中，记“从箱子中任意取出个球，然后放回箱子中”为一次操作，如果操作三次，求恰有一次取到个红球并且恰有一次取到个白球的概率.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】∵a1＋a5＝10，a4＝7，∴2a1＋2、B【解析】

先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【详解】因为所以.故选：B本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3、D【解析】

构造二元函数，分别考虑与、、、、的关系，即可判断出相应的对称情况.【详解】A．，所以不关于轴对称；B．，，所以关于原点对称，也关于直线对称；C．，所以不关于轴对称；D．，所以关于直线对称，同时也关于直线对称.故选：D.本题考查曲线与方程的综合应用，难度一般.若曲线关于轴对称，则将曲线中的换成，此时曲线的方程不变；若曲线关于轴对称，则将曲线中的换成，此时曲线的方程不变；若曲线关于对称，则将曲线中的换成、换成，此时曲线的方程不变；若曲线关于原点对称，则将曲线中的换成、换成，此时曲线的方程不变.4、B【解析】

由题意知函数y＝ex与y＝ln(2x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，两曲线上点之间的最小距离就是y＝x与y＝ex上点的最小距离的2倍．设y＝ex上点(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行．则，∴x0＝ln2，y0＝1，∴点(x0，y0)到y＝x的距离为＝(1－ln2)，则|PQ|的最小值为(1－ln2)×2＝(1－ln2)．5、D【解析】

根据事情判断其对应关系进行合情推理进而得以正确分析【详解】由于判断都是正确的，那么由①知甲在听音乐或玩游戏；由②知乙在看书或玩游戏；由③知甲听音乐时丁在写信；由④知丙在听音乐或玩游戏，那么甲在听音乐，丙在玩游戏，丁在写信，由此可知乙肯定在看书故选：D．本题考查了合情推理，考查分类讨论思想，属于基础题．6、B【解析】获奖的概率为p=6C62=25，记获奖的人数为ξ，ξ~B(4,7、C【解析】

首先根据得到，再求四边形的面积即可.【详解】因为，所以，所以四边形的面积.故选：C本题主要考查平面向量的数量积运算，属于简单题.8、B【解析】

根据互斥事件的定义，逐个判断，即可得出正确选项．【详解】为三件产品全不是次品，指的是三件产品都是正品，为三件产品全是次品，为三件产品不全是次品，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件由此知：与是互斥事件；与是包含关系，不是互斥事件；与是互斥事件，故选B．本题主要考查互斥事件定义的应用．9、D【解析】

作出图象，设出未知量，在中，由正弦定理可得，进而可得，在中，还可得，建立等式后可得，再由勾股定理可得，即可得出结论．【详解】解：如图，设，，，，在中，由正弦定理可得，代入数据解得，故，而在中，，故可得，化简可得，解之可得，再由勾股定理可得，联立可得，故在中，，故选：D．本题考查正弦定理的应用，涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用，属于中档题．10、B【解析】

由三视图可以看出有多个直角，将该三棱锥放入正方体中，依次求各面面积即可【详解】由三视图可知该几何体是三棱锥（放在棱长为2的正方体中），则侧面是边长为的等边三角形，面积为；侧面和都是直角三角形，面积均为，因此，此几何体的侧面积为，故选B本题考查三视图、几何体侧面积，将棱锥放入棱柱中分析是解题的关键.11、B【解析】

由，可得，由随机变量分布列的期望、方差公式，联立即得解.【详解】由题意，且，又联立可得：故选：B本题考查了随机变量分布列的期望和方差，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.12、C【解析】

由平面向量模的运算可得：0，得，求解即可．【详解】因为向量||，所以0，又，所以2，故选C．本题考查了平面向量模的运算，熟记运算性质是关键，属基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

通过圆心到直线的距离等于半径构建等式，于是得到答案.【详解】根据题意，可知圆心为，半径为2，于是圆心到直线的距离，而直线与圆相切，故，因此解得.本题主要考查直线与圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力，难度不大.14、.【解析】分析：根据已知的四个等式知；等式左边自然对数的指数都是从开始，连续个正整数的和，右边都是．详解：，，，，……由上边的式子，我们可以发现：等式左边自然对数的指数都是从开始，连续个正整数的和，右边都是，可猜想，.故答案为.点睛：本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.15、【解析】

有错，可以接着利用基本不等式解得最小值.【详解】∵，∴，，当且仅当时不等式取等号，∴，故的最小值是．本题主要考查利用基本不等式求最值的问题，巧用“”，是解决本题的关键.16、264【解析】根据题意，分两步进行，第一步,先选四名老师,又分两类：①甲去,则丙一定去,乙一定不去,有种不同选法，②甲不去,则丙一定不去,乙可能去也可能不去,有种不同选法，则不同的选法有6+5=11种第二步,四名老师去4个边远地区支教,有最后，由分步计数原理，可得共有11×24=264种方法.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）见解析【解析】

(1)根据前n项和与通项间的关系得到，，，两式做差即可得到数列，数列为常数列，，即；（2）根据第一问得到，裂项求和即可.【详解】（1）当时，，即，当时，①，②，得，即，所以，且，所以数列为常数列，，即．（2）由（1）得，所以，所以，．这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等．18、见解析；（2）见解析【解析】分析：（1）由频率分布直方图的性质，可得，进而可求得通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄；（2）由题意得列联表，利用公式计算的值，即可作出判断.详解：（1）由频率分布直方图可得:解得所以通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄为:（2）由题意得2×2列联表:通过PC端口观看十九大通过电视端口观看十九大合计青少年2896124中老年126476合计40160200计算得的观测值为,所以不能在犯错误的概率不超过的前提下认为观看十九大的方式与年龄有关.点睛：本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及独立性检验的应用问题，其中熟记频率发布直方图的性质和准确计算的值是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.19、（1）（2）模型②的拟合效果较好【解析】分析：（1）求出，代入最小二乘法公式即可求得，（2）利用公式求得，比较大小可得结论.详解：（1），，．（2），，因为，所以模型②的拟合效果较好．点睛：本小题主要考查回归直线、回归分析等基础知识；考查运算求解能力和应用意识；考查数形结合思想、概率与统计思想．20、，值域为【解析】

根据已知得到周期，由此求得，根据最值求得，根据函数的最高点求得，由此求得函数的解析式.由的取值范围,求得的取值范围，进而求得函数在给定区间上的值域.【详解】依题意知,由最大值得.由函数最高点得，故,由，得，故.当时，，所以，即函数的值域为本小题主要考查三角函数解析式的求法，考查三角函数值域的求法，属于中档题.21、（1）；（2）．【解析】

(1)把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；(2)设,即h(x)>0恒成立，对函数求导，分，，三种情况得到函数单调性，进而得到结果.【详解】（1）当时，，，切点为，，，曲线在点处的切线方程为，即.（2）设，，不等式对任意恒成立，即函数在上的最小值大于零.①当，即时，在上单调递减，的最小值为，由可得，，.②当，即时，在上单调递增，最小值为，由可得，即.③当，即时，可得最小值为，，，故.即，综上可得，的取值范围是.导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据