八年级初二数学第二学期平行四边形单元达标测试题

一、选择题

1.如图，在菱形ABCD中，点厂为边45的中点，OF与对角线AC交于点G,过点G

作GE_LA。于点E,若48=2,且N1=N2,则下列结论不正确的是（）

A.DFLABB.CG=2GAC.CG=DF+GED.而边形凹卬c=&T

2.如图，把正方形A8CD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MV,再过点B折

叠纸片，使点A格在MN上的点尸处，折痕为8E,若48长为2,则EN的长为（（）

A.2>/3-3B.3-2夜C.注D.在

23

3.平行四边形的一边长是12,那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（）

A.10和34B.18和20C.14和10D.10和12

4.如图，菱形A6C。中，过顶点。作CE_L6c交对角线6。于E点，己知

乙4二134。，则NBEC的大小为（）

A.23°B.28°C.62°D.67°

5.如图，正方形ABCD（四边相等、四内角相等）中，AD=5,点E、F是正方形ABCD内

的两点，且AE=FC=4,BE=DF=3,则EF的平方为（）

12

A.2B.—C.3D.4

5

6.矩形纸片ABCD中，AB=5,AD=4,将纸片折叠，使点B落在边CD上的点9处，折

痕为AE.延长交AB的延长线于点M,折痕AE上有点P,下列结论中：

①N例=NQA8'；②PB=PB'；③AE=^；④MB'=CD；⑤若3'P_LC。，贝！

2

EB'=B'P.正确的有（）个

7.如图，矩形48CD和矩形CEFG,48=1,BC=CG=2,CE=4,点P在边GF上，点Q在

边CE上，且PF=CQ,连结AC和PQ,M,N分别是4C,PQ的中点，则MN的长为

A3B6C回D如

22

8.如图，在菱形ABCD中，AB=AC=1,点E、F分别为选AB、BC上的点，且AE=BF,连接

CE、AF交于点H,连接DH交AC于点0,则下列结论：①△ABF0Z\CAE；②NFHC=/B：

©△ADO^AACH：®S&ABCD=y/3；其中正确的结论个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.如图，己知正方形ABCD的边长为4,P是对角线BD上一点，PE_LBC于点E,PF1CD

于点F,连接AP,EF,给出下列结论：①PD=J^EC；②四边形PECF的周长为8；

③4APD一定是等腰三角形；④AP=EF；⑤EF的最小值为2拉；@AP±EF,其中正确结论

的序号为（）

A.①②®@®B.①②④⑤C.②④⑤D.②④

10.如图，正方形A3CQ中，延长C3至石使。4=2£4,以E8为边作正方形

EFGB,延长尸G交。C于M,连接AM,A”，”为A。的中点，连接一”分别与

A8,AM交于点N,K.则下列说法：①4ANH冬4GNF；②NDAM=/NFG；

③FN=2NK；④S&F/S四边形OWK〃=2:7.其中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

二、填空题

11.如图，正方形ABC。的边长为4,点E为C。边上的一个动点，以CE为边向外作正

方形ECFG,连结BG,点、H为BG中点、,连结EH,则EH的最小值为

12.如图，正方形ABCD中，AB=4,E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则

PE+PB的最小值为

13.如图，RSABC中，ZC=90°,AC=2,BC=5,点D是BC边上一点且CD=1,点P是线段

DB上一动点，连接AP,以AP为斜边在AP的下方作等展RtZkAOP.当P从点D出发运动

至点B停止时，点0的运动路径长为.

c

D

O

14.如图，四边形488是菱形，/DA8=48°,对角线AC,8。相交于点。，0H_L4E于

H,连接。H,则/。"。=度.

15.如图，氏方形纸片ABCD中,AB=6cm,BC=8cm点E是BC边上一点，连接AE并将

△AEB沿AE折叠，得到△AEBI以C,E,为顶点的三角形是直角三角形时,BE的长为

____________cm.

16.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB.F是AD的中点，作CE_LAB,垂足E在线段

AB上，连接EF、CF,则卜列结论：（l）NDCF+gND=9（/；（2）ZAEF+ZECF=90°；

⑶SBEC=2SCEF；M）若NB=80。，则NAEF=50°.其中一定成立的是（把所有正确结

论的字号都填在横线上）.

17.如图，正方形A8c。的边长为6,点E、F分别在边AD、8c上.将该纸片沿EF折叠，

使点八的对应点G落在边。C上，折痕EF与AG交于点Q,点K为GH的中点，则随着折

痕EF位置的变化，aGQK周长的最小值为一.

18.如图，在矩形ABCD中，ZACB=30°,BC=26,点E是边BC上一动点（点E不与B,

C重合），连接AE,AE的中垂线FG分别交AE于点F,交AC于点G,连接DG,GE.设

AG=a,则点G到BC边的距离为（用含a的代数式表示），ADG的面积的最小值为

19.已知：如图，在ABC中，ADLBC,垂足为点D,BE1AC,垂足为点

M为A8边的中点，连给ME、MD、ED,设48=4,ND4C=30。则

EM=:EDM的面积为,

20.如图，点£、F分别在平行四边形488边8c和4D上（E、F都不与两端点重合），

A77

连结AE、DE、BF、CF,其中4E和8F交于点G,DE和CF交于点H.令一；=〃，

BC

EC

—=w.若机=〃，则图中有个平行四边形（不添加别的辅助线）；若

UX--

加+〃=1,且四边形A8C。的面积为28,则四边形FGE，的面积为.

三、解答题

21.综合与实践.

问题情境：

如图①，在纸片。ABC。中，AD=5,SABCD=\5,过点A作AE_LBC,垂足为点

E,沿AE剪下△A8E,将它平移至OC£的位置，拼成四边形AEE'。.

独立思考：（1）试探究四边形AEE'。的形状.

深入探究：（2）如图②，在（1）中的四边形纸片AEE'。中，在EE'.上取一点F,使

EF=4,剪下AEF,爵它平移至VDE■'的位置，拼成四边形4尸产'Q,试探究四边形

月尸尸。的形状：

拓展延伸：（3）在（2）的条件下，求出四边形Ab尸。的两条对角线长：

（4）若四边形ABC。为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，

标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论.

图①图②图③

22.如图，在菱形ABCD中,AB=2cm,ZADC=120°.动点如F分别从点B、D同时出

发，都以0.5cm/s的速度向点A、C运动，连接AF、CE,分别取AF、CE的中点G、H.设

运动的时间为ts（0<t<4）.

（1）求证：AF/7CE；

万

（2）当t为何值时，△ADF的面积为tern?；

2

（3）连接GE、FH.当t为何值时，四边形EHFG为菱形.

23.如图①，已知正方形488的边长为3,点Q是4。边上的一个动点，点八关于直线

8a的对称点是点P,连接QP、DP、CP、8P,设4Q=x.

（1）BP+DP的最小值是,此时x的值是；

（2）如图②，若QP的延长线交CD边于点M,并且NCPO=90。.

①求证：点M是C。的中点；②求x的值.

（3）若点Q是射线4。上的一个动点，请直接写出当△COP为等腰三角形时x的值.

D

DD

24.猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF,使B,C,G三点在一条直

线上，CE在边CD上.连结AF,若M为AF的中点，连结DM,ME,试猜想DM与ME的

数量关系，并证明你的结论.

拓展与延伸：

⑴若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,其他条件不

变，则DM和ME的关系为;

⑵如图②摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,使点F在边CD上，点M仍为AF的

中点，试证明⑴中的结论仍然成立.［提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半］

25.(1)问题探究：如图①，在四边形48co中，AB//CD,£是8c的中点，4E是N8A。

的平分线，则线段48,AD,DC之间的等量关系为；

(2)方法迁移：如图②，在四边形48co中，AB//CD,AF与DC的延长线交于点F,E是

8c的中点，AE是NBAF的平分线，试探究线段A8,AF,CF之间的等量关系，并证明你的

结论；

(3)联想拓展：如图③，AB//CF,E是8c的中点，点。在线段AE上，/EDF=NBAE,

试探究线段48,DF,CF之间的数量关系，并证明你的结论.

EF、CF,EF

平分NAEC.

⑴如图1,求证:CF±EF;

⑵如图2,延长CE、DA交于点K,过点F作FG〃AB交CE于点G若，点H为FG上一点,

连接CH,若NCHG=NBCE,求证：CH=FK;

⑶如图3,过点H作HN±CH交AB于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK长.

27.问题背景

若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶

针点；若再满足两个顶角的和是180。，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点.

如图1,四边形A8CQ中，8C是一条对角线，AB=AC,DB=DC,则点A与点O

关于8C互为顶针点：若再满足/A+NO=180。，则点A与点力关于3c互为勾股顶针

初步思考

⑴如图2,在A8C中，AB=AC,NA8c=30。，D、E为48。外两点，

EB=EC,NEBC=45"△OBC为等边三角形.

①点A与点关于8c互为顶针点；

②点。与点关于BC互为勾股顶针点，并说明理由.

实践操作

⑵在长方形48co中，AB=8,AD=10.

①如图3,点E在A6边上，点F在AO边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E、F,

使得点E与点C关于8户互为勾股顶针点.（不写作法，保留作图痕迹）

思维探究

②如图4,点E是直线AB上的动点，点尸是平面内一点，点E与点C关于8P互为勾股

顶针点，直线CP与直线A。交于点尸.在点£运动过程中，线段3E与线段A厂的长度

是否会相等？若相等，请直接写出4E的长；若不相等，请说明理由.

28.在四边形48CD中，对角线AC、8D相交于点0,过点0的直线EF,GH分别交边

AB.CD,AD、8c于点E、F、G、H.

(1)观察发现：如图①，若四边形48CD是正方形，且EF_LGH,易知5"支=5.。6，又因

为Sb408=V$四边影八8CD，所以S四边形AE0G=____5正方形A8C0；

4

(2)类比探究：如图②，若四边形48C。是矩形，且S四边形AE0G=]s矩形A8C0，若AB=G,

4

AD=b,BE=m,求4G的长(用含a、b、m的代数式表示)；

(3)拓展迁移：如图③，若四边形48C。是平行四边形，且S四边形4£OG=8c0，若八8=

4

3,AD=5,BE=1,则4G=.

图①图②图③

29.如图，矩形ABCD中，点。是对角线BD的中点，过点0的直线分别交AB,CD于点

E,F.

(1)求证：四边形DEBF是平行四边形；

(2)若四边形DEBF是菱形，则需要增加个条件是,试说明理由；

(3)在(2)的条件下,若AB=8,AD=6,求EF的长.

30.如图，ABCD的对角线AC,BD相交于点O,ABIAC,AB=6cm,BC=\0cm,

点P从点A出发，沿A。方向以每秒的速度向终点。运动，连接尸。，并延长交3c

于点Q.设点P的运动时间为/秒.

(1)求的长(用含，的代数式表示)；

(2)当四边形ABQP是平行四边形时，求，的值；

32

(3)当「二玄时，点。是否在线段AP的垂直平分线上？请说明理由.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.D

解析：D

【分析】

A、由四边形ABCD是菱形，得出对角线平分对角，求得NGAD=N2,得出AG=GD,

AE=ED,由SAS证得△AFGgz^AEG,得出/AFG=/AEG=90°,即可得出A正确；

B、由DFJ_AB,F为边AB的中点，证得AD=BD,证出4ABD为等边三角形，得出

NBAC=N1=N2=3O°,由AC=2AB-cosNB4C,AG=-------------，求出AC,

cosNBAC

AG,即可得出B正确；

C、由勾股定理求出DF=JAO?_A—＞，由GE=tanN2•ED求出GE,即可得出C正确;

D、四边形BFGC的面枳=AABC的面枳-ZXAGF的面枳，可以发现D不对.

【详解】

解：•・•四边形ABCD是菱形，

ZFAG=ZEAG,Zl=ZGAD,AB=AD，

Z1=Z2,

NGAD=Z2,

?.AG=GD.

GEA.AD,

二.GE垂宜平分AO.

AE=ED.

点尸为A6的中点，

:.AF=AE.

易证AAFG=AAEG(SAS).

ZAFG=ZAFG=90°.

。尸_L48故A正确.

DFLAB点尸为AB的中点，

：.AF=-AB=\,AD=BD.

2

AD=BD=AB，

48力为等边三角形.

/BAD=/BCD=60。.

...ZB4C=Z1=Z2=3O°.

AC=2ABcosZ.BAC=2x2x—=2y/3>

2

“AF12&

cosABACV33•

~T

.“AkAkCE2G4G

..CG=AC—ACr=273----------=--------

33

:.CG=2GA,故B正确.

GE垂直平分A。，

:.ED=-AD=\t

2

/.DF=y/AD2-AF2=6，

GE=tanZ2ED=}xtan30°=—.

3

力/+GE=G+'3=勺叵=CG.故C正确.

33

ZBAC=Zl=30°,・・,A4BC的边AC上的高等于A3的一半，即为1,

“1A「V3

FG——AG=-----，

23

S四边形.8=Sgsc-SAGF=gXX1-gX1x""W'故D不正确.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、线段垂直平分

线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度.

2.A

解析：A

【分析】

根据翻转变换的性质求出BM、BF,根据勾股定理计算求出FM的值；再在RtZ\NEF中，运

用勾股定理列方程求解，即可得到EN的长.

【详解】

•・•四边形ABCD为正方形，AB=2,过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，

1

/.FB=AB=2,BM=-BC=1,BF=BA=2,ZBMF=90°,

2

则在RtABMF中,

FM=\lBF2-BM2=V22-l2=V3,

，FN=MN-FM=2-6

设AE=FE=X,则EN=1T,

•••内△EFN中，NE?+NF2=EF?，

222

A（1-X）+（2-V3）=X,

解得：x=4-2&，

.\EN=1-X=2X/3-3.

故选：A.

【点睛】

本题考查了翻转变换的性质、勾股定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后

图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键.

3.B

解析：B

【分析】

作CE〃BD,交AB的延长线于点E,根据平行四边形的性质得到4ACE中，

AE=2AB=24,再根据三角形的三边关系即可得到答案.

【详解】

解：如图，作CE〃BD,交AB的延长线于点E,

VAB=CD,DC//AB

・•・四边形BECD是平行四边形，

ACE=BD,BE=CD=AB,

，在4ACE中，AE=2AB=24<AC+CE,

・•・四个选项中只有A,B符合条件，但是10,34,24不符合三边关系，

故选：B.

【点睛】

此题考查平行四边形的性质，三角形的三边关系，利用平行线将对角线及边转化为三角形

是解题的关键.

4.D

解析：D

【分析】

先说明ABD=NADC=NCBD,然后再利用三角形内角和180°求出即可NCBD度数,最后再

用直.角三角形的内角和定理解答即可.

【详解】

解：•・•菱形ABCD

.\AB=AD

AZABD=ZADC

.\ZABD=ZCBD

又二NA=134。

:.ZCBD=ZBDC=ZABD=ZADB=g(180o-134°)=23°

，NBEC=90°-23°=67°

故答案为D.

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对角线平分每一组对角和三角形内

角和定理.

5.A

解析：A

【分析】

根据AB=5,AE=4,BE=3,可以确定4ABE为直角三角形，延长BE构建出直角三角形，

在利用勾股定理求出EF的平方即可.

【详解】

•・•四边形ABCD是正方形，

AAB=BC=CD=AD=5,

如图，延长BE交CF于点G,

VAB=5,AE=4,BE=3,

/.AE2+BE2=AB2

•••△ABE是直角三角形，

同理可得aDFC是直角三角形，

VAE=FC=4,BE=DF=3,AB=CD=5,

AAABE^ACDF,

:.ZBAE=ZDCF,

•••ZABC=ZAEB=902,

AZCBG=ZBAE,

同理可得，ZBCG=ZCDF=ZABE,

△ABE^ABCG,

ACG=BE=3,BG=AE=4,

.\EG=4-3=1,GF=4-3=1,

AEF2=EG2+GF2=1+1=2

故选择:A

【点睛】

此题考查三角形的判定，勾股定理的运用，根据已知条件构建直角三角形求值是解题的关

键.

6.C

解析:c

【分析】

①由翻折知/ABE=NAB'E=909,再证NM=NCB『NB，AD即可；②借助轴对称可知；③利

用计算，勾股定理求BQ,构造方程，求EB,在构造勾股定理求④由相似

2

CB'：BM=CE：BE,BM=y,在计算B'M>5；⑤证退仃g—吒得BE=B，P,再证菱形即

可.

【详解】

①由折叠性质知NABE=NAB，E=903

.*.ZCB'E+ZAB'D=90?

,:ZD=905

.*.ZB'AD+ZAB'D=905

/.ZCB'E=ZB'AD,

VCD/7MB,

/.ZM=ZCB,E=ZB'AD；

②点P在对称轴上，则BP=BP；

③由翻折，AB=AB'=5,AD=4,

由勾股定理DB=3,

ACB'=5-3=2,

设BE=x=B'E,CE=4-x,

在RtZ\B'CE中，ZC=90°,

由勾股定理(4-x)2+22=X2,

解得X=J,

2

53

.\CE=4--=-,

22

在RtZXABE中，ZABE=90c,

•••△ECB'S/\EBM,

.'.CB'：BM=CE：BE,

35

..2：BM=一：—

22

10

>5=CD；

⑤连接BB',由对称性可知，BG=B,G,EP_LBB',

BE〃B'P,

.,.△BEG^ABfPG,

ABE=BZP,

・•・四边形BPB，E为平行四边形,

又BE=EB',

所以四边形BPBT是菱形，

所以PB'=B'E.

故选择：C.

【点睛】

此题考查了矩形的性质、图形的翻折变换以及相似三角形的性质等知识的应用，此题的关

键是能够发现^BEG名△B，PG.

7.C

解析：c

【分析】

连接CF,交PQ于R,延长AD交EF于H,连接AF,则四边形ABEH是矩形，求出FH=

1,AF=J%"?+FH?=屈，由ASA证得△RFPgARCQ,得出RP=RQ，则点R与点M

重合，得出MN是ACAF的中位线，即可得出结果.

【详解】

解：连接CF,交PQ于R,延长AD交EF于H,连接AF：如图所示：

则四边形ABEH是矩形，

，HE=AB=1,AH=BE=BC+CE=2+4=6,

•・•四边形CEFG是矩形，

/.FG/7CE,EF=CG=2,

/.ZRFP=ZRCQ,/RPF=NRQC,FH=EF-HE=2-1=1,

在R3AHF中，由勾股定理得：AF=sjAH2FH2=7624-l2=>/37»

4RFP=RCQ

在ARFP和^RCQ中，<PF=CQ,

NRPF=RQC

.,.△RFP^ARCQ(ASA),

，RP=RQ,

.•.点R与点M重合，

•••点N是AC的中点，

/.MN是^CAF的中位线，

【点睛】

本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三

角形中位线定理等知识；作辅助线构建全等三角形是解题的关键.

8.B

解析：B

【分析】

根据菱形的性质，利用SAS证明即可判断①；根据4ABFgZ\CAE得到NBAF=NACE,再利

用外角的性质以及菱形内侑度数即可判断②；通过说明/CAHH/DAO,判断

△ADOgZXACH不成立，可判断③；再利用菱形边长即可求出菱形面积，可判断④.

【详解】

解：♦.•在菱形ABCD中，AB=AC=1,

•••△ABC为等边三角形，

AZB=ZCAE=60°,

又・.・AE=BF,

AAABF^ACAE(SAS),故①正确：

ZBAF=ZACE,

:.ZFHC=ZACE+ZHAC=ZBAF+ZHAC=600,故②正确；

VZB=ZCAE=60°,

则在△ADO和AACH中，

Z0AD=60o=ZCAB,

••・NCAHH60。，即/CAHH/DAO,

•••△ADOg^ACH不成立，故③错误；

VAB=AC=1,过点A作AG_LBC,垂足为G,

,1

AZBAG=30°,BG=—,

2

.___________伺

•*,AG=[—BG?~，

・•・菱形ABCD的面积为：BCxAG=\速=旦,故④f音误；

22

故正确的结论有2个,

故选B.

【点睛】

本题考查了全等三角形判定和性质，菱形的性质和面积，等边三角形的判定和性质，外角

的性质，解题的关键是利用菱形的性质证明全等.

9.A

解析：A

【分析】

①根据正方形的对角线平分对角的性质，得APDF是等腰直角三角形，在RSDPF中，

DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,求得DP=72EC.

②先证明四边形PECF为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC,则四

边形PECF的周长为8；

③根据P的任意性可以判断4APD不一定是等腰三角形；

④由②可知，四边形PECF为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明AP=EF：

⑤当AP最小时，EF最小，EF的最小值等于2五；

⑥证明NPFH+NHPF=90°,则AP_LEF.

【详解】

①如图，延长FP交AB与G,连PC,延长AP交EF与H,

VGF/7BC,

AZDPF=ZDBC.

•・•四边形ABCD是正方形

.\ZDBC=45°

.\ZDPF=ZDBC=45O,

.*.ZPDF=ZDPF=45O,

,\PF=EC=DF,

・••在RtADPF中,DP2=DF24-PF2=EC2+EC2=2EC2,

ADP=V2EC.故①正确；

②PF1CD,ZBCD=90°,

・・・四边形PECF为矩形,

，四边形PECF的周长=2CE+2PE=2CE+2BE=2BC=8,故②正确；

③•・•点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，ZADP=45度,

当NPAD=45度或67.5度或90度时，ZkAPD是等腰三角形，

除此之外，4APD不是等腰三角形，

故③错误.

④丁四边形PECF为矩形，

PC=EF,

由正方形为轴对称图形，

AAP=PC,

AAP=EF,

故④正确；

⑤由EF=PC=AP,

工当AP最小时,EF最小，

则当AP_LBD时，BPAP=-BD=yx472=272W，EF的最小值等于2衣，故⑤正确；

©VGF/7BC,

.\ZAGP=90°,

.\ZBAP+ZAPG=90°,

VZAPG=ZHPF,

.,.ZPFH+ZHPF=90°,

/.AP±EF,

故⑥正确；

本题正确的有：①②④⑤©;

故选：A.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用.本题难度

较大，综合性较强，在解答时要认真审题.

10.A

解析；A

【分析】

根据正方形的性质，以及中点的性质可得△FGN^^HAN,即证①；利用角度之间的等量

关系的转换可以判断②；根据△AKHS^MKF,进而利用相似三角形的性质即可判断③；

]AH2v1

设AN=—AG=x,则AH=2x,FM=6x,根据△AKHs/\MKF得出——=—=-,再利用三

2MF6x3

角形的面积公式求出ZXAFN的面积，再利用SDHKM=S—~SAKH即可求出四边形DHKM

的面积，作比即可判断④.

【详解】

丁四边形EFGB是正方形，CE=2EB,四边形ABCD是正方形

，G为AB中点，ZFGN=ZHAN=90°,AD=AB

即FG=AG=GB=—AB

2

又H是AD的中点

1

AH=­AD

2

AFG=HA

又NFNG=NHNA

•••△FGN丝△HAN,故①正确；

VZDAM+ZGAM=90°

XZNFG+ZFNG=90°

HPZFNG=ZGAM

VZFNG+ZNFG+90°=180°

NAMD+NDAM+90°=180°

ZFNG=ZGAM=ZAMD

:,4DAM=4NFG,故②正确；

由图可得：MF=FG+MG=3EB

△AKH^AMKF

KHAH1

-MF_3

，KF=3KH

又・.・NH=NF

且FH=KF+KH=4KH=NH+NF

.\NH=NF=2KH

AKH=KN

・・・FN=2NK,故③正确；

VAN=GNJLAN+GN=AG

,可设AN=LAG=x,贝ljAH=2x,FM=6x

2

ALJ2Y1

由题意可得：△AKHS/XMKF且相似比为：一=—=-

MF6x3

•••△AKH以AH为底边的高为：-x2x=-x

42

112

^DHKM=-SAKH=-xADxDM--xAHx—x

乙乙.J

1.1172

=—x2oxx4x——x2oxx—x=­x

2222

2

**,SAFN：SDHKM=y»故④正确；

故答案选择A.

【点睛】

本题考查了矩形、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，难度较大，需

要熟练掌握相关基础知识.

二、填空题

11.亚

【分析】

过B点作HE的平行线交AC于。点，延长EG交AB于I点，得到B0=2HE,其中。点在线

段AC上运动，再由点到直线的距离垂线段最短求出B0的长即可求解.

【详解】

解：过B点作HE的平行线交AC于。点，延长EG交AB于I点，如下图所示：

TH是BG的中点，且BO与HE平行，

，HE为△BOG的中位线，且BO为HE,

故要使得HE最短，只需要BO最短即可，

当E点位于C点时，则。点与C点重合，

当E点位于D点时，则0点与A点重合，

故E点在CD上运动时，。点在AC上运动，

由点到直线的距离垂线段最短可知，当BO_LAC时，此时B0最短，

•・•四边形ABCD是正方形，

为等腰直角三角形，且BC=4,、

.・.B0=噌4=26,

V2&

・•・HE=-BO=>/2

2t

故答案为：\p2.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短等知识

点，本题的关键是要学会将要求的HE线段长转移到线段B0上.

12.275

【详解】

由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DE,交AC于点P,那PE+PB的值最小.在

《△CDE中，由勾股定理先计算出DE的长度，即为PE+PB的最小值.连接DE,交AC于点

P,连接BD.

•・•点B与点D关于AC对称，

ADE的长即为PE+PB的最小值，

VAB=4,E是BC的中点,

/.CE=2,

在RtZkCDE中，DE=2石.

D

考点：（1）、轴对称-最短路线问题；（3）、正方形的性质.

13.2加

【解析】

分析：过。点作OE_LCA于E,OF_LBC于F,连接CO,如图，易得四边形OECF为矩形，

由AAOP为等腰直角三角形得到OA=OP,ZAOP=90°,则可证明△OAEgZXOPF,所以

AE=PF,OE=OF,根据角平分线的性质定理的逆定理得到CO平分NACP,从而可判断当P

从点D出发运动至点B停止时，点。的运动路径为一条线段，接着证明

CE=y（AC+CP）,然后分别计算P点在D点和B点时0C的长，从而计算它们的差即可得

到P从点D出发运动至点B停止时，点0的运动路径长.

连接CO,如图，

VAAOP为等腰直角三角形,

/.OA=OP,ZAOP=90°,

易得四边形OECF为矩形，

・・・NEOF=90°,CE=CF,

.*.ZAOE=ZPOF,

.,.△OAE^AOPF,

，AE=PF,OE=OF,

ACO平分NACP,

・••当P从点D出发运动至点B停止时，点0的运动路径为一条线段,

VAE=PF,

即AC-CE=CF-CP,

而CE=CF,

/.CE=—(AC+CP),

2

五

.•・OC=&CE=](AC+CP),

当AC=2,CP=CD=1时，0C=—x(2+1)

22

当AC=2,CP=CB=5时，0C=显x(2+5)=2^,

22

・••当P从点D出发运动至点B停止时，点0的运动路径长=速-述=2五.

22

故答案为2夜.

点睛：本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定

轨迹的几何特征，然后进行几何计算.也考查了全等三用形的判定与性质.

14.24

【分析】

由菱形的性质可得OD=OB,ZCOD=90°,由直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，可

得OH=，BD=OB,可得NOHB=NOBH,由余角的性质可得NDHO=NDCO,即可求解.

2

【详解】

【解答】解：•・•四边形八BC。是菱形，

：.OD=OB,ZCOD=90a,ZDAB=ZDCB=48°,

：.OH=-BD=OB

2t

：,ZOHB=ZOBH,

又,：AB"3,

:・NOBH=/ODC,

在RtZXCO。中，ZODC+ZDCO=90°,

4RtADHB+,ZDHO+ZOHB=9O0,

；・NDH0=NDC0=二NDCB=24。,

2

故答案为：24.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，余角的性质，是几何综合题，判断

出OH是BD的一半，和/DHO=NDCO是解决本题的关键.

15.3或6

【详解】

@ZBzEC=90°时，如图BNBEB'=90°,

B'

DD

C

bECBE

图1图2

由翻折的性质得NAEB=NAEB4x9(r=45。，

/.△ABE是等腰直角三角形，

/.BE=AB=6cm；

(2)ZEBX=90°时,如图2,

由翻折的性质NAB，E=NB=90。，

:・A、B\C在同一直线上，

AB'=AB,BE=B'E,

由勾股定理得，AC=JA*+BC?=\/6+4=10cm,

:.BZC=1O6=4cm,

设BE=BzE=x,则EC=8-x,

在RtABTC中,BT^BX^EC2,

即X?+42=(8-X)2,

解得x=3,

即BE=3cm,

综上所述，BE的长为3或6cm.

故答案为3或6.

16.(1)(2)⑷

【分析】

由平行四边形的性质和等腰三角形的性质得出⑴正确；

由ASA证明△AEFgADMF,得出EF=MF,ZAEF=ZM,由直角三角形斜边上的中线性质得

出CF=；EM=EF,由等腰三角形的性质得出NFEC=NECF,得出⑵正确；

证出SAEFC=S.MFM，由MC>BE,得出S^BECV2sAEFC，得出⑶错误：

由平行线的性质和互余两侑的关系得出⑷正确；即可得出结论.

【详解】

⑴・・吓是AD的中点，

AAF=FD,

'在口ABCD中，AD=2AB.

AAF=FD=CD=AB,

AZDFC=ZDCF,

VAD/7BC,

.\ZDFC=ZFCB,ZBCD+ZD=180°,

.\ZDCF=ZBCF,

1

AZDCF=-ZBCD,

2

AZDCF+-ZD=90°,故⑴正确;

2

•・•四边形ABCD是平行四边形，

AABZ/CD,

AZA=ZMDF,

•・・F为AD中点,

••・AF=「D,

在4AEF和△DMF中，

ZA=AFDM

AF=DF,

/AFE=NDFM

.,.△AEF^ADMF(ASA),

.\EF=MF,ZAEF=ZM,

VCE±AB,

.*.ZAEC=90°,

/.ZAEC=ZECD=90°,

VFM=EF,

1

,\CF=-EM=EF,

2

Z.ZFEC=ZECF,

:.ZAEF+ZECF=ZAEF+ZFEC=ZAEC=90°,故(2)正确;

(3)VEF=FM,

SAEFC=SACFM，

VMC>BE,

二•SABECV2sAEFC，故(3)错误：

(4)VZB=80°,

/.ZBCE=90o-80o=10°,

VABZ/CD,

.*.ZBCD=180°-80o=100°,

.\ZBCF=-ZBCD=50°,

2

，ZFEC=ZECF=500-10',=40<,,

.\ZAEF=90o-40o=50°,故⑷正确.

故答案为：⑴(2)⑷.

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性

质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明

△AEF^ADMF是解题关键.

17.3+3石.

【分析】

取AB的中点M,连接DQ,QM,DM.证明QM=QK,QG=DQ,求出DQ+QM的最小值

即可解决问题.

【详解】

取48的中点M,连接DQ,QM,DM.

•・•四边形48CD是正方形，

.\AD=AB=6,ZDAM=^ADG=90a,

\'AM=BM=3,

・••DM=dAB2+AM?=V62+32=36

*：GK=HKtAB,GH关于EF对称,

：・QM=QK,

VZADG=90<>,AQ=QG,

・・・Oa=AQ=QG,

■:/XQGK的周长=GK+QG+QZ=3+0Q+QM.

又•••0Q+QM20M,

.•.0Q+QM236,

••・△QGK的周长的最小值为3+3后，

故答案为3+3万.

【点睛】

本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、最值问题，解题的关键是取AB的中

点M,确定QG+QK=QD+QM,属于中考常考题型.

4-a2G

18.

23

【分析】

先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得AB=2,AC=4,从而得CG的长，作辅助

线，构建矩形ABHM和高线GM,如图2,通过画图发现：当GE_LBC时，AG最小，即。

最小，可计算。的值，从而得结论.

【详解】

•・•四边形ABCD是矩形，

JNB=90°,

VZACB=30°,BC=273>

，AB=2,AC=4,

VAG=«,

:.CG=4-a,

如图1,过G作MH_LBC于H,交AD于M,

图1

RtZXCGH中，NACB二30°,

14-a

GH=—CG=

2~2~

则点G到BC边的距离为手,

VHM±BC,AD/7BC,

AHM1AD,

.\ZAMG=90°,

VZB=ZBHM=90",

工四边形ABHM是矩形，

AHM=AB=2,

-4-67a

，GM二2-GH=2------=—,

22

•••SAADG=—AD•MG=-x2\/3x—=>

2222

当。最小时，^ADG的面积最小，

如图2,当GE_LBC时，AG最小，即a最小，

D

J

BEC