2025年中考数学总复习《根据矩形的性质求线段长》专项测试卷(附答案)

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《根据矩形的性质求线段长》专项测试卷(附答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图，四边形是矩形，对角线，交于点，点，Q分别在边和上，线段经过点，连接，．求证：．2．在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中．(1)若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（、相遇时除外）？答：__________；（直接填空，不用说理）(2)在（1）条件下，若四边形为矩形，求的值；(3)在（1）条件下，若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求的值．3．如图1，是某地度假中心的主体建筑，将其抽象为图2的五边形，测得，，，垂直于地面，，．（结果保留到小数点后一位）(1)求的度数；(2)求该建筑的高度．（参考数据：，，）4．如图1，将矩形绕点A旋转到矩形的位置，直线和直线相交于点P．(1)直线和直线的位置关系为___________；(2)将矩形绕点A旋转至图2所示的位置，点E落在对角线上，点D与点P重合，连接交于点Q，连接，（1）中直线和直线的位置关系是否仍然成立？四边形是什么图形？请证明你的猜想；(3)利用图1求证：点P是线段的中点．5．如图，在矩形中，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；连接，作，交于点，以为邻边作矩形．设运动时间为．(1)当为何值时，点在线段的垂直平分线上？(2)在动点运动的过程中，的值是否为定值？请说明理由；(3)设矩形的面积为，求与之间的关系式．6．如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以/的速度向点运动；点从点同时出发，以/的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为．(1)____________，____________（用含的代数式示）；(2)在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是矩形？若存在，请求出值；若不存在，说明理由．7．【问题情境】如图①，四边形是矩形，，，连接．将绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，．【初步感知】（1）如图②，当点恰好落在的中线的延长线上时，求的长；【深入探究】（2）当所在直线经过矩形一边上的中点，且与边交于点时，求的面积；（3）在绕点旋转过程中，以，，三点构成的三角形面积是否存在最大值？若存在，直接写出面积的最大值；若不存在，请说明理由．8．如图1，公园计划将一个矩形门洞修改成为圆弧形门洞，如图2，在矩形中，宽为，高为，点是，的交点，以点为圆心，为半径作，地面与矩形门洞对角线的夹角约为，阴影部分为门洞改造后扩大的部分．(1)求的半径；(2)求改造后圆弧形门洞的高度（即弧的中点到地面的距离）；(3)直接写出阴影部分的面积．（结果保留）9．如图，在中，，，，为的中点．动点在边上，过点作的垂线交折线于点．以为邻边构造矩形．(1)的长为___________，的长为___________；(2)当点落在上时，证明；(3)当点落在的边上时，用圆规和无刻度的直尺在备用图中作出矩形（保留作图痕迹），并求此时的长；(4)沿直线将矩形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所有符合条件的的长．10．在平面直角坐标系中，点是矩形边上一点，点是这个矩形外一点，给出如下定义：若点关于点的对称点（点绕点旋转180°得到点）在矩形的内部或边上，则称点是矩形的“护卫点”．(1)如图，点，，，．①在点，，中，点______________是矩形的“护卫点”；②若直线上存在矩形的“护卫点”，则点的横坐标的取值范围是______________；(2)已知点，，，，，．当线段上的每一个点都是矩形的“护卫点”时，直接写出的取值范围．11．在矩形中，，点是边上不与端点、重合的动点，于，【课本再现】（1）如图（1），当时，延长交于点，求证：；【类比迁移】（2）如图（2），在（1）的条件下，延长交对角线于点，若点是的中点，，请分别求出，与的长（结果均用含有的代数式表示）；【拓展延伸】（3）如图（3），若，直接写出的值_____（结果用含有的式子表示）．12．在矩形中，，．点是射线上的一点，以点为中心将顾时针旋转90°得到，连结．(1)如图①，当点在边上时，求证：；(2)在图②中只用无刻度的直尺和圆规，作出；（保留作图痕迹．不用写出作图过程）(3)如图③，设线段与射线交于点，①若，此时线段的长度为______；②若线段或与射线交于点，过点作交于点，若，直接写出的长度．13．已知：如图，在矩形中，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若，的面积为S．(1)当四边形是正方形时，求x的值；(2)当四边形是菱形时，求S与x的函数关系式；(3)当时，S最大；当时，S最小．14．小明在一次数学活动中，进行了如下的探究活动：如图，在矩形中，，，以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点、、的对应点分别为、、．(1)如图①，当点落在边上时，求的长；(2)如图②，当点落在线段上时，与交于点．求的长．(3)记点为矩形对角线的交点，连接、，记面积为，求的取值范围．15．垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作与它相邻的两个顶点所连对角线的垂线，与平行四边形的一边相交，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．(1)如图1，四边形为“垂中平行四边形”，平分，求证：．(2)如图2，矩形为“垂中平行四边形”，于点，交边于点，若8，求的长．(3)如图3，若四边形为“垂中平行四边形”，且，直接写出和的数量关系．(4)如图4，在中，于点，若，，以为边构造“垂中平行四边形”，使点落在“垂中平行四边形”的边上，当过一个顶点作与它相邻两个顶点所连对角线的垂线经过的中点时，求的长．参考答案1．见解析【分析】题目主要考查矩形的性质及全等三角形的判定和性质，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键．根据矩形的性质得出与互相平分，，再由全等三角形的判定和性质即可证明．【详解】证明：∵四边形是矩形，∴与互相平分，，∴，，∵，∴，∴．2．(1)四边形是平行四边形(2)或(3)【分析】（1）利用三角形全等可得则即可证明；（2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解；（3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形为菱形，再利用勾股定理即可求解.【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：由题意得：，∵四边形是矩形，∴，，，∵分别是中点，，，，，，∴，∴四边形是平行四边形；（2）解：如图1，连接，由（1）得，，，∴四边形是矩形，∴，①如图1，当四边形是矩形时，∴，∵，∴，∴；②如图2，当四边形是矩形时，∵，，∴，∴；综上，四边形为矩形时或；（3）解：如图3，M和N分别是和的中点，连接，，，与交于O，∵四边形为菱形，∴，，，∴，，∴四边形为菱形，∴，设，则，由勾股定理可得：，即：，解得：，∴，即，∴当时，四边形为菱形．【点睛】本题考查矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用.3．(1)(2)该建筑的高度为【分析】本题主要考查多边形内角和公式、矩形的判定与性质以及三角函数的应用．解题关键在于：（1）利用平行线性质和多边形内角和公式求角度；（2）通过作辅助线构造矩形和直角三角形，利用矩形性质和三角函数来求解线段长度，进而得到建筑高度．（1）要求的度数，已知且，可先得出和的度数，再根据多边形内角和公式（边形内角和为，五边形内角和是），用内角和减去已知的、、、的度数，即可求出．（2）求建筑的高度，通过作辅助线，过点作，过点作，将建筑高度分成和两部分．先根据矩形的判定和性质得到，再通过角度关系求出，最后利用三角函数求出，两者相加得到建筑高度．【详解】（1）解：，垂直于地面，．

，，在五边形中，

．（2）解：过点作，垂足为，再过点作，垂足为．

，，四边形为矩形．．

，．

，．

该建筑的高度为．4．(1)(2)仍然成立，四边形是平行四边形，证明见解析(3)见解析【分析】此题考查了旋转的性质、矩形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等的判定和性质、全等三角形的判定和性质是关键．（1）设相交于点，证明，即可得到结论；（2）证明，则，证明，则，进一步即可证明，得到且，即可证明结论成立；（3）连接和相交于点O，连接，证明同理，，证明点P在线段上，则，即可证明结论．【详解】（1），证明：设相交于点，∵将矩形绕点A旋转到矩形的位置，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，即（2）仍然成立，四边形是平行四边形.证明：∵四边形和都是矩形∴∴∵∴∵∴∴∵∴∴∴在和中，，∴∴∵∴∴∴且∴四边形是平行四边形；（3）连接和相交于点O，连接，∵四边形是矩形，和相交于点O∴由（1）可知，∴∴点P，A，B，C，D都在以O为圆心，以为半径的圆上∴同理，∴点P在线段上又∵∴点P是线段的中点5．(1)2(2)在动点P运动的过程中，的值为定值(3)【分析】（1）解直角三角形，可求出，根据余弦定义可求出，然后结合D是中点求解即可；（2）过点P作于点M，延长交BC于点N．证明，得出，解直角三角形，求出，，则，然后代入计算即可；（3）由（2）中，可求，在中，根据勾股定理可求出，然后代入化简即可．【详解】（1）解：过点P作于点G，点P在线段的垂直平分线上，，，，，四边形为矩形，，，，在中，，，在中，，，由题意得：，，，，，答：当t的值为2时，点P在线段的垂直平分线上．（2）解：在动点P运动的过程中，的值为定值．过点P作于点M，延长交于点N．，四边形为矩形，，，，，，，，，，由（1）知：，在中，，，，，，，，，，，四边形为平行四边形，，，，答：在动点P运动的过程中，的值为．（3）解：由（2）知：，四边形是矩形，，在中，，由勾股定理得，，答：y与t之间的关系式为．【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键．6．(1)，(2)存在，【分析】本题考查列代数式，平行四边形、矩形的性质，关键是熟练掌握矩形的判定．（1）由运动的速度即可表示长，的长；（2）根据矩形的判定列方程求解即可．【详解】（1）解：由题意得：，，∵，∴故答案为：，；（2）解：存在，在四边形中：，∴当时，四边形是矩形，∴，解得：，∴当时，四边形是矩形．7．（1）；（2）的面积为或；（3）64【分析】（1）如图，由旋转得，根据等腰三角形的性质得出，根据四边形是矩形，，，得出，勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，从而得出，证明，根据相似三角形的性质得出，求出，即可求出．（2）①当直线经过中点时，连接，由旋转得：，证明，得出，根据四边形是矩形，得出，即可得，，证明，在中，设，则，，由勾股定理列方程得出，解出，得出，根据即可求解；②当直线经过中点时，，由旋转得：，，证明，得出，设，则，则，在中，由勾股定理得，化简得，求出，再根据即可求解；③直线不经过、的中点．（3）如图所示，根据旋转可得，过点作交延长线于点．则，则最大时，在绕点A旋转过程中，以C，E，F三点构成的面积最大值，根据，得出，如图所示，当最大时最大，此时、、三点共线，点和点重合，此时，求出．【详解】（1）解，如图，由旋转得，，∵四边形是矩形，，，∴，∵点O是斜边的中点，，，，，即，∴，∴．（2）解：①当直线经过中点时，连接，由旋转得：，∴，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，，∴，在中，设，则，则，由勾股定理得，即，解得：，∴，∴；②当直线经过中点时，，由旋转得：，，∵，∴，∴，设，则，∴，在中，由勾股定理得，即，化简得，解得：（舍去），∴；③直线不经过、的中点．综上，的面积为或．（3）如图所示，根据旋转可得，过点作交延长线于点．则，则最大时，在绕点A旋转过程中，以C，E，F三点构成的面积最大值，，，如图所示，当最大时最大，此时、、三点共线，点和点重合，此时，．【点睛】该题是几何综合题，考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是分类讨论和数形结合．8．(1)(2)圆弧形门洞的拱高为(3)【分析】（1）根据矩形的性质，勾股定理求得矩形鄂的对角线长即可．（2）设弧的中点为，作于，利用垂径定理，三角形中位线定理，结合所求解答即可．（3）根据阴影部分的面积，依据面积计算公式解答即可．【详解】（1）解：四边形是矩形，．．的半径为．（2）解：如图，设弧的中点为，作于，由对称性可知，过圆心，则，，．圆弧形门洞的拱高为．（3）解：．理由如下：的面积，．，，．．阴影部分的面积．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，垂径定理，扇形面积公式，圆的性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．9．(1)6；(2)证明见解析(3)作图见解析，2(4)2，3，【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理分别求得，即可求解；（2）根据，，即可得证；（3）在中，根据列式计算，即可求解．（4）根据题意，分三种情况讨论，①当经过的中点时，②当重合时，③当经过的中点时，分别画出图形，解直角三角形，即可求解．【详解】（1）在中，，，，∴，；故答案为：6；．（2）证明：∵，∴∵，∴∵∴（3）解：如图，∵四边形是矩形，∴∴∴∴，在中，∴解得：（4）解：①当经过的中点时，符合题意，如图∴由（3）可得∴是等边三角形，∴，由（3）可得，∴∴；②当重合时，符合题意，如图，∴③当经过的中点时，符合题意，如图∵，，∴是等边三角形，∴，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∴．综上所述，所有符合条件的的长为2，3，．【点睛】本题考查了动点问题，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定，解直角三角形，矩形的性质，作垂线，熟练掌握以上知识是解题的关键．10．(1)①和；②或(2)或【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，矩形的性质，熟练掌握新定义，是解题的关键：（1）①根据新定义，作图后，进行判断即可；②易得直线过，，确定矩形的护卫点的范围，数形结合确定点的横坐标的范围即可；（2）先确当矩形的护卫点的范围，求出直线的解析式，分线段在矩形的下方和上方，两种情况，进行讨论求解即可．【详解】（1）①如图，点绕点旋转得到点，点在矩形的内部，点绕点旋转得到点，点在矩形的边上，故点和是矩形的“护卫点”，绕矩形边上一点旋转后的对应点，不在矩形的内部或边上，故不是矩形的“护卫点”；故答案为：和；②∵，∴当时，，当时，则：，∴直线过，，如图，由新定义可知，矩形的护卫点所在的位置为矩形的边上或内部且在矩形的外部，由图可知：上的点的横坐标为，的纵坐标为，直线与边的交点的横坐标为，与边的交点的纵坐标为6；当时，则：，由图象可知，点的横坐标的取值范围为：或；（2）∵点，，，，∴四边形为边长为3，2的矩形，由新定义可知，四边形的护卫点应该在以边长为9，6的矩形的边上和内部且在矩形的外部，如图：∵，，∴点在点的右上方，点在轴上，设直线的解析式为：，把代入，得：，∴，∴，当线段在矩形的下方时，如图，当点恰好在边上时，此时，符合题意；当线段恰好经过点时，把代入，得：，解得：，∴当时，线段上的每一个点都是矩形的“护卫点”；当线段在矩形的上方时，如图，当线段经过点时，把代入，得：，解得：，当点恰好在边上时，此时，解得：∴当时，线段上的每一个点都是矩形的“护卫点”；综上：或．11．（1）见解析；（2），，；（3）【分析】（1）当时，，则矩形是正方形，再证明即可得解；（2）延长，交于点，由（1）可知：，由全等三角形的性质可得，，解直角三角形得出，证明，由相似三角形的性质求解即可；（3）证明得出，设，则，，，，证明得出，设，求出，，，再证明即可得解．【详解】解：（1）证明：当时，，矩形是正方形，，，，，，，在和中（2）延长，交于点，由（1）可知：，．点是中点，，，，，因为，则，．，，，，，（3）由（1）得，又在矩形中，，设，，，由（1）得，，设，，，，，在矩形中，，，．【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．12．(1)见解析(2)见解析(3)①；②或．【分析】（1）根据旋转的性质可得，根据矩形的性质可得，进而得出，即可证明，可得，进而可得；（2）过点作，截取，连接，即可求解；（3）①证明，即可求解；②分类讨论，当与射线交于点，过点作于点，根据得出，证明，，根据相似三角形的性质，即可求解；当线段与射线交于点，同理可得，，根据相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）解：由旋转可得∴，∵在矩形中，，∴∴∴，∴，∴；（2）解：如图所示，即为所求；（3）解：①如图，由旋转可得∴是等腰直角三角形，∵，∴∵∴，∴∴∴②如图，当与射线交于点，过点作于点由（1）可得∴，∵，∴∴即∵∴∴∴，则∵∴∴∴∵∴∴；②如图，当线段与射线交于点，同理可得，，，∴，∴，则，∵，∴，∴∴，解得：∴综上所述，的长度为或．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，基本作图，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．13．(1)3(2)(3)，【分析】（1）只要证明即可解决问题；（2）如图，连接，作于Q，想办法证明，可得，由此即可解决问题；（3）①如图3中，当点N与D重合时，x的值最小，的面积最大，在中，，推出S的最大值．②如图4中，当点M在上时，x的值最大，的面积最小．【详解】（1）解：如图1中，∵四边形是正方形，∴，∴，∴，∴，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴．（2）解：如图，连接，作于Q，则，∵四边形是菱形，∴，∴，∵矩形中，，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴.∴S与x的函数关系式；（3）解：①如图3中，当点N与D重合时，x的值最小，的面积最大，在中，，∴S的最大值．②如图4中，当点M在上时，x的值最大，的面积最小，此时易得，∵，∴，∴；故答案为：；【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积、一次函数的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会利用一次函数的性质确定最值问题．14．(1)；(2)；(3)【分析】（1）由旋转性质知，由矩形性质知，再在中根据勾股定理可得；（2）利用旋转的性质可得：，，由“”可证，由全等三角形的性质和平行线的性质可得，可得，由勾股