2025年中考数学总复习《图形的翻折问题》专项测试卷(附答案)

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《图形的翻折问题》专项测试卷(附答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图，在中，点E在上，将沿翻折，得到，连接，点E，F，D在同一直线上．求证：．2．已知在中，，点在边上，连接．(1)如图1，若平分，在上取一点，使，，，求线段的长度；(2)如图2，若，点在边上，连接，取中点，连接，，求证：；(3)如图3，若，将线段沿翻折得到线段，连接，，则四边形的面积为，点在直线上运动．连接，将线段绕逆时针旋转得到线段，请直接写出线段的最小值．3．在中，，，点是边上一点，点是边上一点，连接、，且．(1)如图1，若，，求的长；(2)如图2，为延长线上一点，连接，且，求证：；(3)如图3，连接，将沿翻折至所在平面内得到，连接交于点，连接、，当最小时，请直接写出的值．4．如图1，四边形是一张矩形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏．游戏1

折出对角线，将点A沿过点B的直线翻折到上，折痕BE交于点F，交于点E．展开后如图2所示．（1）若E恰好为的中点，证明：，并求与之间的数量关系．游戏2

在游戏1的基础上，将翻折至与重合，折痕为，展开后将点A沿过点E的直线翻折到上的点G处，展开后如图3所示．（2）在（1）的条件下，连接，求的度数．游戏3

在游戏1的基础上，将翻折至与先重合，展开后得到新折痕交于点N，如图4所示，Q是的中点，连接．（3）设，，的面积分别为，若，，求的长．5．综合与探究问题情景：如图1，在矩形中，，，点是对角线上的点，且，过点作于点，过点作的平行线，与的延长线交于点．猜想证明：（1）判断四边形的形状，并说明理由；深入探究：（2）将图1中沿射线平移，得到（点的对应点为，，）．①如图2，当点在线段上的某一位置时，将沿所在直线翻折，得到，设线段，分别与线段交与点．猜想线段与之间的数量关系，并说明理由；②当点在射线上的某一位置时，重复①中操作，设直线，分别与直线交于点，连接．请直接写出是直角三角形时，线段的长．6．已知四边形内接于，平分．(1)如图1，求证：(2)如图2，若，求证：．(3)如图3，在（2）的条件下，在的延长线上取一点E，连接．若，，，将直线沿翻折交于点F，连接，求的长．7．已知，中，，，点在边上，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接．(1)如图1，点在边上，，与分别相交于点和点，若，求的度数；(2)如图2，点在边的反向延长线上，点与点重合，是的中点，与相交于点，用等式表示与的数量关系，并证明；(3)若，，将沿翻折到所在平面内，得到，点为线段上一动点，点是的中点，连接，．直接写出的最小值．8．在等边中，于点D，点E是线段上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转到，连接．(1)证明：；(2)如图2，以为边在右侧作等边，延长交的延长线于点H．若，求证：；(3)如图3，，点K为平面内一动点，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接．点M是线段的中点，以点M为直角顶点，为直角边，在上方作，连接，当线段取最大值时，请直接写出的面积．9．菱形中，，点E是内部一点，连接，将线段绕点D逆时针旋转，得线段．(1)如图1，若三点共线，平分，．求的长；(2)如图2，三点共线，取的中点M，连接并延长交的延长线于点N，若，猜想线段应满足的数量关系，并说明理由；(3)如图3，点H为直线上一动点，连接，将沿直线翻折得到，连接，，若，，当的长度为最小时，请直接写出的最小值．10．在平面直角坐标系中，已知矩形．(1)如图1，若点，点D在边上，将沿翻折，点B恰好落在边上的点E处，①点E的坐标为：________；②线段的长为：________；(2)如图2，在（1）的前提下，P是y轴上的一个动点，若为等腰三角形，求点P的坐标；(3)如图3，若点，，点F是边上的动点，过点F作的垂线交直线于点H，交直线于点G，求的最小值．11．在中，点是边上一点，连接平分，将线段绕点逆时针旋转得线段．(1)如图1，在线段上时，若，求的长；(2)如图2，若与点重合，点分别为线段上的点，点分别为的中点，点在的延长线上，且，求证：；(3)如图3，若射线过中点，将沿翻折到同一平面内得到，过作垂直于直线，交直线于点，当与的乘积最大时，请直接写出的值．12．如图1，在中，，，是线段上的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，为的对应点，连接、，为延长线和延长线的交点．(1)如图1，当时，求此时四边形的面积；(2)如图2，连接，若、分别是、的中点，连接、，猜想和的关系，并证明你的猜想；(3)如图3，当在射线上运动时，将沿着翻折，得到，连接，与交于点，当时，直接写出的长．13．如图1，在中，延长至点D，使，E是上方一点，连接，，，且．(1)求证：；(2)如图2，若，将沿直线翻折得到，连接和，与交于点，．求证：是的中点；(3)如图3，若，将沿直线翻折得到，连接，交于点，交于点．连接并延长，交的延长线于点，若，求线段的长．14．已知是等边三角形，点是外一点，连接，，．(1)如图1，点在的左上方，点是上一点，连接，满足，延长交于点，若，求的度数；(2)如图2，在（1）的条件下，过点作的垂线交于点，求证：；(3)如图3，点在的左侧时，，，点为直线上一动点（点与点不重合），连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，点为点的对应点，当以点、点、点为顶点构成等腰三角形时，请直接写出此时的值．15．在等边中，，垂足为D，点E是线段上一点，连接，将绕点C顺时针旋转到，连接交于点G．(1)如图1，若的延长线恰好过点B，且，求的长度；(2)如图2，在上取一点H，使，在的延长线上取一点K，连接，且满足，求证：；(3)如图3，，点M为平面内任意一点，连接、，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，点T是线段中点，将线段绕点T逆时针旋转到，点P为线段中点，连接，直线与直线交于点Q，当取最大值时，请直接写出此时的面积．参考答案1．见解析【分析】本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质，由折叠的性质可得，由全等三角形的性质可得，．由平行四边形的性质可得，．证明，得出，即可推出，即可得证．【详解】证明：∵是由翻折得到的，∴．∴，．∵四边形是平行四边形，∴，．∴．∴．∴．∴．∴．即．2．(1)8(2)见解析(3)【分析】（1）如图：过E作于点F，根据等腰三角形的性质可得，则，进而证明可得；设，然后根据勾股定理列方程求解即可；（2）如图：取的中点M，连接，由三角形中位线的性质可得、，再证明；由、可得，运用三角函数解直角三角形可得，即为等腰直角三角形可得，进而证明结论；（3）如图：将逆时针旋转得到，连接，先证明可得是绕B点逆时针旋转得到的，进而说明点在上运动，即当与点C重合时，取最小值，即；由可得，根据翻折的性质可得的的高为4，最后根据三角形的面积公式求得即可解答．【详解】（1）解：如图：过E作于点F，∵，∴，∵、，∴，∴，∴，∴，即点E为的中点，设，在中，，在中，，∴，即，解得：，∴．（2）解：如图：取的中点M，连接，由（1）可得：，即点E是的中点，∴是的中位线，∴，同理：，∴，∵，，∴，∵，，即∴，∴在中，，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∵，∴．（3）解：如图：将逆时针旋转得到，连接，∴，在和中，，∴，∴是绕B点逆时针旋转得到的，∵线段绕逆时针旋转得到线段，∴点在上运动，∴当与点C重合时，取最小值，即，∵，∴．由翻折的性质可得：A到的距离等于A到的距离，即的的高为4，∴，解得：．∴线段的最小值．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形中位线等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．3．(1)(2)见解析(3)【分析】（1）勾股定理得出，进而可得，证明，根据全等三角形的性质，得出，进而即可求解；（2）将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，过点作交于点，过点作交于点，则，，证明，即可得证；（3）先证明得出，在中，，得出，进而得出当最小时，则最小，当时，最小，此时如图所示，连接，证明是直角三角形，得出，进而可得是等腰直角三角形，则得证明得出，即可求解．【详解】（1）解：∵在中，，，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，在中，∴，∴，∴；（2）解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，过点作交于点，过点作交于点，∴，，∴，又∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，，即，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，，∵，∴，在中，，∴，∴，∴，∴；（3）解：∵，∴，∴，∴，在中，，∴，而是定值，∴当最小时，则最小，∴当时，最小，此时如图所示，连接，∵，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵折叠，∴，，∴，∴是直角三角形，即，∴，又∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，正切的定义，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．4．（1）

（2）

（3）【分析】（1）证明，结合E恰好为的中点可得；（2）在中，，∴，∴证明得，，设，则，，由勾股定理得，证明得，在中，利用锐角三角函数求出即可求解．（3）延长交于点H，证明得，证明得，由求出，证明得，，在和中，利用勾股定理求出，然后根据即可求解．【详解】解：（1）根据翻折的性质可知，，∴，∴∵四边形是矩形，∴，∴∴∴，∴，即∵E为的中点，∴，∴，∴（2）根据翻折的性质可知，，∴，∴，∴，∴，设，则，，∴在矩形中，，∴，∴，∴（3）延长交于点H，根据翻折的性质可知，又，∴，∴，∵，∴，∴又Q是的中点，∴，∴又，∴，∴∴∵，即，∴∵，，，∴∴，，∴，，在和中，，，解得或（舍去）∴，∴，∵，∴，∴【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，难度较大，属中考压轴题．5．（1）平行四边形是菱形（2）①，理由见详解；②线段的长为或【分析】（1）根据题意得到，则，又，得四边形是平行四边形，又，得到平行四边形是菱形，由此即可求解；（2）①根据平移得到，，即，根据翻折得到，则，所以，即，由此即可求解；②根据题意得到，分类讨论：如图所示，点在线段上时，，是直角三角形；如图所示，点在射线上时，，是直角三角形，过点作于点；根据锐角三角函数的计算，数形结合分析求解即可．【详解】解：（1）四边形是菱形，理由如下，∵四边形是矩形，∴，∵，即，∴，∴，又，∴四边形是平行四边形，又，∴平行四边形是菱形；（2）①，理由如下，∵沿射线平移，得到（点的对应点为，，），∴∴，即，∵将沿所在直线翻折，得到，∴，，∵，∴，即，∴，且，∴，∴，∴，即，∴；②∵四边形是矩形，∴，，∴，∴，如图所示，点在线段上时，，是直角三角形，∵，∴，设，，∴，根据平移折叠，及（1）证明可得，，，∴是等腰三角形，，由（1）可知，，，∴，即点是中点，∴，，∵，∴，∴，∴，解得，，∴；如图所示，点在射线上时，，是直角三角形，过点作于点，同理，，∴，设，∴，，则，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，解得，，∴；综上所述，线段的长为或．【点睛】本题主要考查矩形的性质，图形平移的性质，翻折的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数的计算，掌握矩形的性质，图形变换的性质，锐角三角函数的计算方法是关键．6．(1)见解析(2)见解析(3)【分析】本题主要考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、垂径定理、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键．（1）由角平分线的定义可得，再根据等量代换可得，即，然后根据等弦所对的圆周角相等即可证明结论；（2）如图：延长到，使，过作于点，先证明可得，；再在中解直角三角形可得，然后根据线段的和差即可解答；（3）如图：过A作于，于，过作于，过作于，连、，先说明，设，根据解直角三角形、勾股定理以及线段的和差可得、、、、、，，；在中运用勾股定理可得，再运用等面积法可得、、；根据余弦的定义可得，由折叠的性质以及垂径定理可得，，再在中解直角三角形可得，，进而完成解答．【详解】（1）解：∵平分，∴又∵，．∴，∴，∴．（2）解：如图：延长到，使，过作于点，∵，，∴，∵，，∴，又∵，∴∴，，∵，，，∴在中，，∴，∴．（3）解：如图：过A作于，于，过作于，过作于，连，，∵将直线沿翻折交于点F，连接，∴,∵，∴，∵，∴，∴,∵，∴，∴，∵，，∴，，∴，设，∵，∴，，同理：、，∵，∴，∴，，在中，∴，解得：，∴，利用等积法，∴，，，在中，，，∴，∵由翻折的性质可得：，∴在的角平分线上，∴，∴，，，在中，，∴，解得：；∴．7．(1)(2)，证明见解析(3)【分析】（1）由题意可得为等腰直角三角形，得出，由三角形外角的定义及性质可得，由旋转的性质得出为等腰直角三角形，即可得出，求出，最后由三角形内角和定理结合对顶角相等即可得解；（2）连接、，作交的延长线于，由旋转的性质可得为等腰直角三角形，，，证明，得出，证明，得出，证明是的中位线，得出，即可得出，证明点、、、四点共圆，由圆周角定理可得，从而得出为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得证；（3）由等腰直角三角形的性质可得，结合题意得出，由题意结合由折叠的性质可得为等腰直角三角形，即，，作等腰直角，则，，，证明，得出点在定直线上，作点关于的对称点，连接、，作交于，由轴对称的性质可得，，从而可得，推出当、、在同一直线上，且时，取得最小值，为，作交的延长线于，证明为等腰直角三角形，得出，从而求出，证明四边形为矩形，得出，即可得解．【详解】（1）解：∵中，，，∴为等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵将绕点逆时针旋转得到，∴，，∴为等腰直角三角形，∴，∴，∴；（2）解：，证明如下：如图，连接、，作交的延长线于，∵将绕点逆时针旋转得到，点与点重合，∴为等腰直角三角形，，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵是的中点，∴是的中位线，∴，∴，∵为等腰直角三角形，是的中点，∴，，∴，∴，∴点、、、四点共圆，∴，∴为等腰直角三角形，∴；（3）解：∵中，，，，∴，∵点是的中点，∴，由题意可得，为等腰直角三角形，由折叠的性质可得：为等腰直角三角形，∴，，如图，作等腰直角，则，，，∴，即，∴，∴，∴点在定直线上，作点关于的对称点，连接、，作交于，由轴对称的性质可得，，∴，∴当、、在同一直线上，且时，取得最小值，为，作交的延长线于，由轴对称的性质可得，∵，∴，∴，∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴四边形为矩形，∴，∴的最小值为．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、轴对称的性质、圆周角定理、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．8．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)．【分析】（1）由等边三角形的性质得到，，由旋转的性质得，进而得到，利用即可证明；（2）连接，过点作于点，根据，结合，求出，同理（1）可得，得到，由等边三角形的性质得到，进而得到，易证，得到，求出，证明是等边三角形，得到，根据等边三角形的性质证明，得到，，再求出，易证，得到，得到，即可证明；（3）在上取点，使得，连接，由翻折的性质得到为定值，即可得到点在以为圆心，长为半径的圆上运动，由，求出，再证明是的中位线，得到，，推出到点在以为圆心，长为半径的圆上运动，证明，即可得到点在以为圆心，长为半径的圆上运动，利用相似三角形的性质求出，结合图形得到当三点共线，且点在线段上时，线段取最大值，此时最大值为，过点作于点，根据垂直平分线的性质，求出，进而求出，即可求出此时的面积．【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴，∵，∴，由旋转的性质得，∴，∴，

在和中，，∴；（2）证明：连接，过点作于点，如图：，，，，同理（1）可得，，∵等边中，于点，∴垂直平分，，∴，由旋转的性质得，在和中，，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，，∵，∴是等边三角形，，∵是等边三角形，∴，∴，∴，∵，在和中，，∴，，，，，，，，，，（3）解：在上取点，使得，连接，如图：由翻折的性质得到为定值，∴点在以为圆心，长为半径的圆上运动，，，∵点分别是的中点，∴是的中位线，，，∴点在以为圆心，长为半径的圆上运动，，即，，，，，即，，∴点在以为圆心，长为半径的圆上运动，，，当三点共线，且点在线段上时，线段取最大值，此时最大值为：，过点作于点，如图：由（2）知垂直平分，，，，∴此时的面积为：【点睛】本题考查旋转和对称的几何变换，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．9．(1)(2)；理由见解析(3)【分析】（1）由菱形的性质可证，和是等边三角形，即可得出，，根据平分，可得，由旋转的性质可得，，即是等边三角形，，再根据三角函数可得．（2）作，交于G，根据平行线的性质和是的中点，可证，，，由和是等边三角形，可得，，，进而可得，，，，根据角的和差可得，判定，再根据平行线的性质和等角对等边可得，即可得．（3）由和是等边三角形，可得，，再结合四边形是菱形，可得，点在上，故当时，最小，根据等腰三角形的性质可得，，取的中点O，连接，作于G，根据三角函数可得，，，再用勾股定理可得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，即，从而可得当点E在上时，．【详解】（1）解：∵四边形是菱形，，，和是等边三角形，，，平分，，线段绕点D逆时针旋转，得线段，，，是等边三角形，∴，又，，即．（2）解：，理由如下：作，交于G，如图1，∵，，，是的中点，，∴，，，由知，和是等边三角形，，，，，，，∴，，，，，，，∴，，，，，．（3）解：由知，和是等边三角形，，，由折叠知，，，四边形是菱形，，，，点在上，当时，最小，又∵，，，取的中点O，连接，作于G，如图2，又∵，，，，，，，，，当点E在上时，．【点睛】本题主要考查了三角函数，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，等边三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，旋转的性质，等腰三角形的性质，菱形的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．10．(1)①；②(2)点P的坐标为或或或(3)【分析】本题考查矩形与折叠问题，勾股定理，轴对称的性质；（1）①根据矩形的性质和折叠得到，，，则，即可求出；②设，则，在中利用勾股定理列方程求解即可；（3）作关于的对称点，作关于轴的对称点，连接，，，则，，，，，当、、都在线段上时，最小，此时证明，得到，，利用勾股定理求出即可．【详解】（1）解：①∵矩形，，∴，，，∵将沿翻折，点B恰好落在边上的点E处，∴，，，∴，∴，，故答案为：；②设，则，∵中，，∴，解得，∴，故答案为：；（2）解：在（1）的前提下，，，，设，∴，，∵为等腰三角形，∴当时，，即，解得，此时；当时，，即，解得或，此时或；当时，，即，解得，此时；综上所述，若为等腰三角形，点P的坐标为或或或；（3）解：∵矩形，点，，∴，，，，作关于的对称点，作关于轴的对称点，连接，，，∴，，，，∴，∴当、、都在线段上时，最小，∵过点F作的垂线交直线于点H，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，∴的最小值为．11．(1)(2)证明过程见解析(3)【分析】（1）过点作的垂线，交于点，根据角平分线的性质得到，证出，即可求出的长度；（2）连接，并延长使得，连接、，证明，推出，，即可证明，从而证出，根据是的中位线，得到，即可证出；（3）连接、，过点作垂线，交于点，延长交于点，根据折叠的性质证明，推出，根据，推出，得到，推出，当与的乘积最大时，的面积最大，即的面积最大，根据是定长，推出以为底，时的面积最大，设，根据，，即可求出的值，利用勾股定理分别求出、的长度，求出的长度，再求出的长度，即可利用勾股定理求出的值．【详解】（1）解：过点作的垂线，交于点，如图所示∵平分，∴，∵，∴，∴，在中，，∵，，∴，∴，∴，（2）证明：连接，并延长使得，连接、，如图所示：∵点是中点，∴，在和中∵∴，∴，，∵点与点重合，∴，∴，，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，在和中∵∴，∴，∵点是中点、点是中点，∴是的中位线，∴，∴，（3）解：连接、，过点作垂线，交于点，延长交于点，如图所示：∵将沿翻折到同一平面内得到，∴，，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴当与的乘积最大时，的面积最大，即的面积最大，∵是定长，∴以为底，时的面积最大，∵，，∴，，∴，∵，，∴，设，∵，∴，∵，即，∴，∴，，∴，∴，∴，【点睛】本题考查了旋转的性质、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、三角形中位线的性质、翻折的性质、三角形面积最大、勾股定理、三角函数等知识点，本题难度比较大，正确作出辅助线，综合运用各知识点是解答本题的关键．12．(1)18.5(2)，理由见详解(3)【分析】（1）由题意易得，然后根据勾股定理可得，然后问题可进行求解；（2）分别取的中点M、N，连接，然后根据三角形中位线可得，进而可得，最后通过证明进行求证即可；（3）由折叠可知，分别过点E、作，垂足分别为R、Q，根据“K型全等”可得，进而问题可求解．【详解】（1）解：∵，，∴，∵，∴，由旋转可知：，∴；（2）解：，理由如下：由旋转可知：，∵分别是的中点，，∴，分别取的中点M、N，连接，如图所示：∴，∵点M、N、O分别是的中点，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：由旋转可知：，∴，根据沿着翻折，得到，可知：，∴，分别过点E、作，垂足分别为R、Q，如图所示：∵，∴，∴，∵，∴，∴，同理可得：，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、三角形中位线、旋转的性质、轴对称的性质、直角三角形斜边中线定理、勾股定理及等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键是正确作出辅助线．13．(1)见解析(2)见解析(3)5【分析】（1）结合条件中角的关系，由三角形外角的性质，得，根据证出即可；（2）同（1）证出，由翻折得，结合易得，即，由三线合一得F是的中点；（3）先利用折叠的性质，证明，易得，利用三角形内角和可得，由角的转化得到，最后证明，即可求解．【详解】（1）证明：，，，，在与中，，；（2）证明：，，，，在与中，，，，，将沿直线翻折得到，，，，即．由三线合一，得：F是的中点；（3）解：根据折叠的性质，则，，，，∵，∴，在与中，，，由（2）知，，，，，，，，，，，，，，，，在与中，，，．【点睛】本题是三角形翻折变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，平行线的性质，等腰三角形三线合一，其中能够利用全等三角形的性质与翻折性质得到的边、角相等进行等量代换是解题关键．14．(1)(2)证明见解析(3)和【分析】（1）由等边三角形的性质得到，由等边对等角，三角形外角的性质得到，由即可求解；（2）如图所示，过点作，交延长线于点，则，可得，，，证明，得到，再证，得到，，由此即可求解；（3）根据题意，分类讨论：第一种情况，如图所示，，是等边三角形即为等腰三角形，分别求出的值即可；第二种情况，如图所示，，是等腰三角形，过点作于点，则点是中点，数形结合分析即可；由含角的直角三角形，折叠的性质，勾股定理，等边三角形的性质，解直角三角形的计算综合运用，数形结合分析即可求解．【详解】（1）解：∵是等边三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即，∵，