2025年中考数学总复习《图形的相似中旋转问题》专项测试卷(含有答案)

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《图形的相似中旋转问题》专项测试卷(含有答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．综合与实践【问题情境】在中，，，．直角三角板中，将三角板的直角顶点D放在斜边的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边，分别与边，交于点M，N．【猜想证明】（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由；【问题解决】（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长；（3）如图③，在三角板旋转过程中，当时，直接写出线段的长．2．在中，为上一点，将线段绕点沿逆时针旋转一定角度得到．连接．(1)如图1，若，，，求的面积．(2)如图2，将线段绕点沿顺时针方向旋转一定角度得到，连接．若为线段的中点，，求证：．(3)如图3，在（1）问的条件下，为线段上一点，将沿翻折得到，取的中点，连接，．当取得最小值时，直接写出的值．3．如图，在四边形中，，，，，与边交于点，且满足．(1)填空：_____，_____．(2)如图2，等腰直角三角形的顶点与点重合，再绕点逆时针旋转，当与交于点，与交于点时，求证：①；②(3)如图3，在（2）的条件下，，设的初始位置为，共线，然后绕点以每秒的速度旋转，当点落在边上时，停止旋转，进而立即沿着边所在直线从点向点方向平移，且平移的速度为每秒个单位长度，当点与点重合时，停止移动．①在平移的过程中，若为的中点，连接，，求的最小值；②设的运动时间为，直接写出当点落在四边形边上时的值．4．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，．【初步感知】（1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值；【深入探究】（2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，求的长．【拓展延伸】（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究三点能否构成直角三角形．若能，直接写出任意一个符合要求的直角三角形的面积；若不能，请说明理由．5．在中，，，点D、E分别在上，，连接．将绕点C顺时针方向旋转，旋转角度为，连接．(1)如图1，若，，求的面积．(2)如图2，若，点三点在同一直线上，延长至点M，使，连接，点P为中点，点Q为中点，连接．求证：．(3)若，设与交于点H，，点K为直线上一动点，连接，将线段绕点K逆时针方向旋转得到线段，连接．设线段的最小值为，请直接写出的值．6．在中，，，点D为线段上动点，连接，将绕点A顺时针旋转到，连接．(1)如图1，若，且，求的长；(2)如图2，垂直交于点G，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明；(3)如图3，点F为中点，连接，将绕点A旋转，点F的对应点为P，点E的对应点为Q，直线与直线交于点T，若，则当取得最小值时，请直接写出点T到直线距离的最大值．7．在平行四边形中，的面积为48．(1)如图1，求边上的高的长；(2)P是边上的一个动点，点C，D同时绕按照逆时针方向旋转得到．i）如图2，当落在射线上时，求的长；ii）当是直角三角形时，求的长．8．四边形中，，，，，，动点P从B到C沿运动，点P运动的路程为x．(1)求的最小值；(2)线段绕点P顺时针方向旋转，得到线段．①若点Q恰好落在边上，求x的值；②连接，若，求的值．9．在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，其中点、的对应点分别为点、．【教材呈现】如图，将绕点旋转得到，则线段的长为_____；【问题解决】在旋转的过程中，连接，交边于点，当时，如图，求证：；【拓展延伸】点为边的中点，在旋转的过程中，连接，当的值最大时，连接，直接写出此时的长．10．如图1所示，在正方形中，将绕着点逆时针旋转得到，，旋转角度为．

(1)在图1中，当时，，分别交于点，．①若正方形的边长为4，求的最小值；②求证：；(2)将绕着点逆时针旋转一周，连接，取的中点，连接．在旋转过程中，当时，求的值．11．问题背景：如图①，在矩形中，，点E是边的中点，过点E作交于点F．实验探究：(1)在一次数学活动中，小明同学将图①中的绕点B按顺时针方向旋转，如图②所示，得到结论：①＝______；②直线与所夹锐角的度数为______；(2)小明同学继续将绕点B按顺时针方向旋转，旋转至点D，E，F在一条直线上，如图③所示位置时，求的面积；(3)在绕点B按顺时针方向旋转一周的过程中，记的面积为S，直接写出S的取值范围．12．如图1，已知点在正方形的对角线上，，垂足为，垂足为．(1)求证：四边形是正方形；(2)探究与证明：如图2，将正方形绕点顺时针方向旋转，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由．(3)拓展与运用：如图3，正方形绕点C沿顺时针方向旋转角，当三点在同一条直线上时，延长交于点，若，求的长．13．如图，点是正方形对角线的交点，是等腰直角三角形，，，当的顶点在线段（不与，重合）上绕点旋转的过程中，直角边交边于点，直角边交边于点．(1)如图1，当点与点重合时，求证：；(2)如图2，当（为正整数，）时，在旋转过程中，①请写出线段，之间的数量关系，并说明理由；②若，，求的长（用含，的代数式表示）．14．如图，在中，，，，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动．连结，作点关于AP的对称点，连结，设点的运动时间为秒．(1)如图，当点与点重合时，与相交于点，求证：；(2)当点落在边上时，求的值；(3)当点运动停止后，平移使点落在中点，并绕点旋转使分别与相交于点（如图），若，，直接写出与的函数关系式．15．在一次数学课上，小颖和小慧用两个全等的等腰直角三角板进行探究活动，使的一个顶点落在边上，再绕这个点旋转，与边、分别交于点M、N．(1)如图1，小颖把的直角顶点D放在的中点处，然后绕点D旋转，她发现四边形的面积始终保持不变．若，则四边形的面积为________；（直接写出答案）(2)如图2，小慧把顶点F放在边上任意一点处，然后绕点F旋转，她认为与始终相似．小慧的判断正确吗？如果正确，请给出证明；如果不正确，请说明理由；(3)如图3，小颖把顶点F放在的中点处，然后绕点F旋转，与的延长线交于点N．请探究线段、、的数量关系，并给出证明．参考答案1．（1）四边形为矩形，理由见解析；（2）；（3）【分析】（1）根据三角形中位线的性质得，可得，再根据“有三个角是直角的四边形是矩形”得出答案；（2）先根据勾股定理求出，即可得，再结合已知得，接下来根据等腰三角形的性质得，然后证明，最后根据相似三角形的对应边成比例得出答案；（3）延长至H，使，连接，，，先根据“边角边”证明，可得，，接下来说明，再设，可表示，，，在中，根据勾股定理可得，求出解，即可得出答案．【详解】解：（1）四边形为矩形．理由如下：点M为中点，点D为中点，是的中位线，，.，．，，∴四边形为矩形；（2）在中，，，，．点D是的中点，．，．，，．．过点N作于点G．，．，，∴．，即，；（3）．延长至H，使，连接，，，，，是中点，，又，，，．，，，，设，则，，，在中，，，解得，．【点睛】本题主要考查了中位线的性质，矩形的判定，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理是求线段长的常用方法．2．(1)(2)见解析(3)【分析】（1）利用，，得出，再求得，由旋转知，得，过作于，在中，利用，求出和，即可求解；（2）要证明，可通过构造全等三角形，将与建立联系．已知是中点，考虑倍长中线法构造全等三角形，再结合角度关系证明三角形全等；（3）取中点，连接，利用中位线得，得出，由点为定点，可知点的运动轨迹为过点且的直线上部分，作点关于直线的对称点，连接，则，则，当且仅当、、依次共线时取得最小值，此时，延长交于点，交于点，连接，设交于，延长交于，由翻折得出，证明四边形是矩形，四边形是矩形，得出，，，再证明，得出，证明，得出，再进行求解即可．【详解】（1）解：∵，，∴，∴，∵，∴，由旋转知，∴，过作于，∴，∵在中，，∴，∴，∴，∴；（2）解：延长到，使，连接，∵是中点，∴，在和中，，∴，∴，，，∴，∴，由旋转知，，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴；（3）解：如图，取中点，连接，∵为中点，∴，由翻折得，∴，由点为定点，可知点的运动轨迹为过点且的直线上部分，如图，作点关于直线的对称点，连接，则，∴，当且仅当、、依次共线时取得最小值，此时，如图，延长交于点，交于点，连接，设交于，延长交于，由翻折知，，，∴，∴，∵，，∴，，∵，∴，由对称可知，，∴四边形是矩形，∴，，∵，为中点，∴，即，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形，∴，，，∴，∴，，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，，∴，，∴，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、含角的直角三角形的性质、勾股定理，翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、中位线、矩形的判定与性质，解题关键是利用倍长中线构造全等三角形，通过角度关系的转化得到证明三角形全等的条件以及利用相似三角形求出线段比值．3．(1)；(2)①详见解析；②详见解析(3)①；②7或【分析】（1）先求得，是等腰直角三角形，求得，再利用直角三角形的性质可求得，再解直角三角形即可求解；（2）①利用三角形内角和定理求得，再证明即可；②将绕点逆时针旋转得到，连接，，证明，推出，，再证明，得到，在中，利用勾股定理求解即可；（3）①如图，过点作于点，连接并延长与交于点，过点作直线的垂线，垂足为，证明四边形是矩形，求得，即点在固定直线上运动，作点关于的对称点，连接与交于点，则当点与点重合时，满足最小，据此利用勾股定理求解即可；②分当从初始位置旋转到点落在上和当平移到点落在上时，两种情况讨论即可求解．【详解】（1）解；连接，∵，，∴，，∴，∵，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，，∴，故答案为：；；（2）证明：①∵，，∴，∵，∴；②将绕点逆时针旋转得到，连接，，则，，∴，∵，，，∴，∴，，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，在中，，，，∴；（3）解：①如图，过点作于点，∴，为的中点，∴，∴是的中位线，∴，连接并延长与交于点，过点作直线的垂线，垂足为，∵，，∴四边形是矩形，∵，∴，∴，∴，∴，即点在固定直线上运动，作点关于的对称点，连接与交于点，则当点与点重合时，满足最小，∵，，∴，∴的最小值为；②当从初始位置旋转到点落在上时，如图，作于点，在等腰直角三角形中，，∴，∴，∵为等腰直角三角形，，∴，，在中，，∴，∴，∴在同一直线上，∴，则旋转所用时间为；当平移到点落在上时，如图，根据题意得，∴，在上取点，连接，使得，则，设，则，，∵，∴，解得，∴点的平移距离为，∴平移时间为，∴平移到点落在边上时，运动的总时间为，综上，的值为7或．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形中位线定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．4．（1）；（2）；（3）能，或或或【分析】（1）根据全等三角形的判定定理得到，则，再根据勾股定理得到，进而由的性质求解即可；（2）同（1）得，得到，根据直角三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据矩形的判定定理得到结论；（3）在纸片绕点旋转过程中，当三点能构成直角三角形时，分四种情况：①当在上时，，此时是直角三角形；②当在的延长线上时，，此时是直角三角形；③当时，是直角三角形；④当时，是直角三角形；分类作图，求出相关线段长，由三角形面积公式代值求解即可得到答案．【详解】解：（1）在和中，∴，，，，即，在中，，则，即，∵，，∴，，∴，故答案为：；（2）四边形是矩形；理由如下：同（1）得，∴，∵是的中线，∴，∴，∵，∴，即，，，∴，∴，又，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形矩形；（3）三点能构成直角三角形，理由如下：①当在上时，，此时是直角三角形，如图所示：∴；②当在的延长线上时，，此时是直角三角形，如图所示：∴；③当时，是直角三角形，过点作于点，如图所示：∵，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，则，解得，∴；④当时，是直角三角形，过点作于点，交于点N，如图所示：∵，∴，∵，∴，∴是的中位线，∴，∵，∴，∴，∴，则，∴，在中，由勾股定理可得，则，解得，∴，，∴，∴；综上所述，的面积为或或或．【点睛】本题考查三角形相似的综合应用，涉及旋转的性质，三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理等知识，熟练掌握三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键．5．(1)(2)见详解(3)【分析】（1）若，根据，得出，根据，，求出，过点作，求出，根据即可求解．（2）证明，得出，即可得点四点共圆，根据，得出，连接，取中点，连接，延长交于点，证明是的中位线，得出，即，得出，证明是的中位线，得出，得，即可得，结合，得出，即可得，过点作，求出，即可证明．（3）根据，，得出，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，证明，得出，证明，得出，即可得点在所在直线上运动，得出当时，最短，延长交于点，求出，在中，得出，证明，得出，即可得；求出的值：即可求出，从而得出．【详解】（1）解：若，∵，∴，∵，，∴，过点作，∴，∴．（2）证明：∵，∴，即，∵，∴，∴，∴点四点共圆，∵，∴，连接，取中点，连接，延长交于点，∵点分别是的中点，∴是的中位线，∴，即，∴，∵点分别是的中点，∴是的中位线，∴，∴，∴，∵，∴，∴，过点作，∴，∴．（3）解：∵，，∴，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴点在所在直线上运动，当时，最短，延长交于点，∵，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∵，∴，∴，∴；求：在中，在上取点使得，则，∴，∴，∴，∴，∴，∴；∴．∴．【点睛】该题是几何综合题，考查了相似三角形的性质和判定，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，三角形中位线定理，圆内接四边形等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．6．(1)(2)(3)【分析】（1）过点作于点，于点，易求，，，根据题意，绕点A顺时针旋转到，即，，推出，在中，，通过即可求解；（2）延长到点使得，连接、，则，延长交于点，从而构造出，，，由，得，，进而通过，，证明，得出，得以证明；（3）由题意得，当取得最小值时，取最小值，即当时，取最小值，此时，易知点在线段上．由，得，，，点在以点为圆心，为半径的圆上运动，证明，从而证明，得，得出、、、四点共圆，根据特殊点，确定点的运动轨迹是在以为直径的圆的劣弧上，设的中点为点，过点作交的延长线于点，延长交劣弧于点，当点运动到点时，点到直线的距离最大，通过证明，得出，即可求出，从而求出点到直线距离的最大值．【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，于点，则，在中，，，，，，，，在中，，，，在中，，，根据题意，绕点A顺时针旋转到，，，，在中，，，，，；（2），证明如下：如图所示，延长到点使得，连接、，则，延长交于点，根据题意，绕点A顺时针旋转到，，，，，在中，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；（3）绕点A顺时针旋转到，，，，，，当取得最小值时，取最小值，如图所示，当时，取最小值，连接，此时，点在线段上，，在中，，，，，，在中，，在中，，在中，，如图所示，点在以点为圆心，为半径的圆上运动，绕点A旋转，点F的对应点为P，点E的对应点为Q，，，，，，，，，，，，，，，、、、四点共圆，，如图所示，点在以为直径的圆上，当与重合时，直线与直线交于点，如图所示，当与重合时，直线与直线交于点，如图所示，点的运动轨迹为劣弧，如图所示，设的中点为点，过点作交的延长线于点，连接，延长交劣弧于点，当点运动到点时，点到直线的距离最大，，，，，，，，，，，，则当取得最小值时，点T到直线距离的最大值为．【点睛】本题是一道几何综合压轴题，考查了锐角三角函数的定义、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、旋转变换、定弦定角问题、勾股定理等，灵活运用以上知识点、添加适当的辅助线是解题的关键．7．(1)8(2)i）；ii）6或【分析】（1）根据三角形的面积公式即可解决问题；（2）i）过点C作于点H，过点作交延长线于点Q，证明，得，设，则，，，证明，由对应边成比例求出x的值，即可得BP的长；ii）分三种情况讨论：当以为直角顶点时，根据勾股定理求解即可；当以A为直角顶点时，先证明，再证明，设，根据列方程，解方程求出t的值即可；当以D为直角顶点时，不符合题意．【详解】（1）解：如图1，连接，的面积，，，边上的高的长为8；（2）i）解：如图2，当落在射线上时，过点C作于点H，过点作交延长线于点Q，则，点绕P按照逆时针方向旋转得到，，，，，四边形是平行四边形，，，，，设，则，，，，，，，，的长为；ii）解：如图，延长交，分别于E，F，由旋转可知，，，，，，四边形是平行四边形，，，当以为直角顶点时，是直角三角形，如图，，落在线段的延长线上，，，由（1）知，，，；当以A为直角顶点时，是直角三角形，如图，设与射线交于点，过点C作于点H，则，由旋转可知，，，，，，，，，，由知，，设，则，，，，，，，，，，解得：，，当以为直角顶点时，点P落在的延长线上，不符合题意，综上所述：的长为6或．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，旋转的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是综合运用以上知识，正确的作出辅助线，熟练运用分类讨论思想．8．(1)(2)①；②【分析】（1）根据题意，当时，取最小值，此时证明四边形为矩形，进而解得，的值，然后由勾股定理求解即可；（2）①当点恰好落在边上时，过点作于点，证明，由全等三角形的性质可得，进而可得，即可获得答案；②过点作于点，过点作于点，证明，得，，再证明，由相似三角形的性质可解得，证明为等腰直角三角形，可解得，的值，然后根据正切的定义求解即可．【详解】（1）解：（1）根据题意，当时，取最小值，如图，∵，，，，当时，有，四边形为矩形，，，，，在中，，的最小值是6．（2）解：①当点恰好落在边上时，过点作于点，如图，，，，又，，，由（1）可知，此时，，，，即的值为8；②过点作于点，过点作于点，如图，，，，又，，，，，，，，，即，解得，在中，，，，即为等腰直角三角形，，，．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角函数等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．9．；详见解析；．【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．【教材呈现】根据勾股定理求出，再根据旋转的性质可知，从而可求；【问题解决】根据平行线的性质可知，从而可知，又因为，从而可得，根据相似三角形对应边成比例可知，根据等边对等角可得，根据直角三角形中角的关系可得，从而可得，可证结论成立；【拓展延伸】当点在的延长线上时，最大，最大值为，又因为点是的中点，可知，利用勾股定理可求的长度．【详解】【教材呈现】解：如下图所示，在中，，，，，由旋转可知：，，，故答案为：；【问题解决】如下图所示，由旋转可知：，，，即，又，，，又，，，，，，，，，，，，；【拓展延伸】解：如下图所示，当点在的延长线上时，最大，最大值为，连接，，点为的中点，，．10．(1)①最小值为8；②见解析(2)或【分析】（1）①首先证明出得到，然后得出当时，即和重合时，取得最小值，即的长度，勾股定理求出，进而求解即可；②由①得，然后证明出，得到，求出，进而求解即可；（2）设，则，表示出，然后分两种情况：当点在上方时和当点在下方时，然后分别解直角三角形求解即可．【详解】（1）①，∴当时，即和重合时，取得最小值，即的长度∵正方形的边长为4∴∴∴最小值；②由①得同理可得：．（2）设，则垂直平分，作于点①当点在上方时，如右图

，，中；②当点在下方时，如右图

同理：综上或．【点睛】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．11．(1)

，(2)(3)【分析】（1）①利用矩形的性质、旋转的性质以及特殊角的三角函数值，证明，再结合相似三角形的性质求解即可；②延长与交于点M，记交于点N，利用相似三角形的性质和三角形内角和定理求解即可；（2）过点A作于H，证明，结合相似三角形的性质求出，最后根据三角形面积公式求解即可；（3）在绕点B按顺时针方向旋转一周的过程中，的底边长度不变，找出高最大，以及最小的情况求解即可．【详解】（1）解：①在矩形中，，，，，由旋转的性质可知，，，，，，故答案为：；②延长与交于点M，记交于点N，，，，，即直线与所夹锐角的度数为，故答案为：；（2）过点A作于H∵D，E，F共线∴，又，，∴，

∴，∵，，∴，∴，，∴，，∴∴；（3）在绕点B按顺时针方向旋转一周的过程中，的底边长度不变，当A、E、F三点共线，面积最小，即，记边上的高为h，根据垂线段最短可知，当，重合时，的高最大为，此时面积最大，，，，，即，综上所述，．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，锐角三角函数，垂线段最短，旋转的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．12．(1)见解析(2)，理由见解析(3)【分析】（1）由，，结合可得四边形是矩形，再由，即可得证；（2）连接，只需证即可得；（3）证得，设，知，由得、、，由可得a的值，即可求得的值．【详解】（1）证明∵四边形是正方形，，，，，，∴四边形是矩形，∵，，∴为等腰直角三角形，，∴四边形是正方形；（2）解：，理由如下：如图，连接，∵四边形是正方形，四边形是正方形，则，，，，，则，，，，，；（3）解：∵四边形是正方形，∴，，点B、E、F三点共线，，，，，，，，设，则，则由，得，，则，，∴由得，解得：，即．【点睛】本题主要考查了相似三角形的综合题，正方形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点．13．(1)见解析(2)①，理由见解析；②【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．（1）首先根据正方形的性质得到，，，然后证明出，得到，进而求解即可；（2）①如图，过点作，交于点，根据题意证明出，得到，即可得到；②由得到，然后由得到，进而求解即可．【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，，．在中，，∴．∴．∴．∴．∴．即．∵，∴．∴；（2）①，理由如下：如图，过点作，交于点，∵四边形是正方形，∴，．∴，．∴．∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；②∵，∴．∴．∴．由①知，∴．∵，∴．∴．14．(1)见解析；(2)的值为或；(3)与的函数关系式为．【分析】（）根据对称的性