山西省太原市六十六中2024-2025学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析

山西省太原市六十六中2024-2025学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知随机变量的取值为，若，，则（）A． B． C． D．2．读下面的程序：上面的程序在执行时如果输入6，那么输出的结果为()A．6 B．720 C．120 D．50403．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒?”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的x的值为()A． B． C． D．4．已知集合，，若，则等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．函数与两条平行线，及轴围成的区域面积是（）A． B． C． D．6．已知与之间的一组数据：01231357则与的线性回归方程必过A． B． C． D．7．若当时,函数取得最大值,则()A． B． C． D．8．若，，，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．9．若是两个非零向量，且，则与的夹角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°10．函数的大致图象为（）A． B．C． D．11．三位女歌手和她们各自的指导老师合影，要求每位歌手与她们的老师站一起，这六人排成一排，则不同的排法数为（）A．24 B．48 C．60 D．9612．已知函数，若是图象的一条对称轴的方程，则下列说法正确的是（）A．图象的一个对称中心 B．在上是减函数C．的图象过点 D．的最大值是二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45°角，则这个平面截球的截面面积为_________________.14．已知，则__________________．15．若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为____________16．不等式的解为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在区间上任取一个数记为a，在区间上任取一个数记为b．若a，，求直线的斜率为的概率；若a，，求直线的斜率为的概率．18．（12分）设函数.(1)求不等式的解集；(2)若存在使不等式成立，求实数的取值范围19．（12分）某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，箱内有一个“”号球，两个“”号球，三个“”号球、四个无号球，箱内有五个“”号球，五个“”号球，每次摸奖后放回，每位顾客消费额满元有一次箱内摸奖机会，消费额满元有一次箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“”号球奖元，“”号球奖元，“”号球奖元，摸得无号球则没有奖金．（1）经统计，顾客消费额服从正态分布，某天有位顾客，请估计消费额（单位：元）在区间内并中奖的人数.（结果四舍五入取整数）附：若，则，.（2）某三位顾客各有一次箱内摸奖机会，求其中中奖人数的分布列.（3）某顾客消费额为元，有两种摸奖方法，方法一：三次箱内摸奖机会；方法二：一次箱内摸奖机会.请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大.20．（12分）（江苏省南京师大附中高三高考考前模拟考试数学试题）已知函数f(x)＝lnx－ax＋a，a∈R．（1）若a＝1，求函数f(x)的极值；（2）若函数f(x)有两个零点，求a的范围；（3）对于曲线y＝f(x)上的两个不同的点P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))，记直线PQ的斜率为k，若y＝f(x)的导函数为f′(x)，证明：f′()＜k．21．（12分）等比数列的各项均为正数，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.22．（10分）已知过点A（0，2）的直线l与椭圆C：x2（1）若直线l的斜率为k，求k的取值范围；（2）若以PQ为直径的圆经过点E（1，0），求直线l的方程．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

设，，则由，，列出方程组，求出，，即可求得．【详解】设，，①，又②由①②得，，，故选：C.本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．2、B【解析】

执行程序，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解输出的结果，得到答案.【详解】由题意，执行程序，可得：第1次循环：满足判断条件，；第2次循环：满足判断条件，；第3次循环：满足判断条件，；第4次循环：满足判断条件，；第5次循环：满足判断条件，；第6次循环：满足判断条件，；不满足判断条件，终止循环，输出，故选B.本题主要考查了循环结构的程序框图的计算输出，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，逐次计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3、B【解析】

由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算输入时变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得到答案.【详解】本题由于已知输出时x的值，因此可以逆向求解：输出,此时；上一步：,此时；上一步：,此时；上一步：,此时；故选：B.本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理和数学运算的能力，属于基础题.4、D【解析】

由已知可得，则.【详解】由，得或又由，得，则，即故选：D本题考查了集合的并集运算，属于基础题.5、B【解析】

根据定积分的几何意义直接求出在区间的定积分，即可得出答案。【详解】故选B本题考查定积分的几何意义，属于基础题。6、B【解析】

先求出x的平均值，y的平均值，回归直线方程一定过样本的中心点（，），代入可得答案．【详解】解：回归直线方程一定过样本的中心点（，），，∴样本中心点是（1.5，4），则y与x的线性回归方程y＝bx+a必过点（1.5，4），故选B．本题考查平均值的计算方法，回归直线的性质：回归直线方程一定过样本的中心点（，）．7、B【解析】

函数解析式提取5变形后,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的性质可得结果.【详解】，其中,当，即时，取得最大值5,，则，故选B.此题考查了两角和与差的正弦函数公式、辅助角公式的应用，以及正弦函数最值，熟练掌握公式是解本题的关键.8、A【解析】分析：利用定积分，将已知化简，即可比较大小．详解：由题意，可得，，，则，所以，故选A．点睛：本题主要考查了定积分的运算，其中根据微积分基本定理，求解的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．9、A【解析】

画出图像：根据计算夹角为，再通过夹角公式计算与的夹角.【详解】形成一个等边三角形，如图形成一个菱形.与的夹角为故答案选A本题考查了向量的加减和夹角，通过图形可以简化运算.10、D【解析】

判断函数的奇偶性和对称性，利用的符号进行排除即可．【详解】，函数是奇函数，图象关于原点对称，排除，排除，故选：．本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括等.11、B【解析】

先将三位女歌手和她们各自的指导老师捆绑在一起，记为三个不同元素进行全排，再将各自女歌手和她的指导老师进行全排，运算即可得解.【详解】解：先将三位女歌手和她们各自的指导老师捆绑在一起，记为三个不同元素进行全排，再将各自女歌手和她的指导老师进行全排，则不同的排法数，故选：B.本题考查了排列组合中的相邻问题，重点考查了捆绑法，属基础题.12、A【解析】

利用正弦函数对称轴位置特征，可得值，从而求出解析式，利用的图像与性质逐一判断即可．【详解】∵是图象的一条对称轴的方程，∴，又，∴，∴.图象的对称中心为，故A正确；由于的正负未知，所以不能判断的单调性和最值，故B，D错误；，故C错误.故选A.本题主要考查三角函数的图像与性质．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

先求出截面圆的半径，再算截面面积。【详解】截面圆半径为，截面面积为。先求出截面圆的半径，再算截面面积。14、-13【解析】

由题意可得：.15、【解析】

因为点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值是过点P的切线与直线平行的时候，则，即点（1，1）那么可知两平行线间的距离即点（1，1）到直线的距离为16、或或或【解析】

利用组合数公式得出关于的不等式，解出的取值范围，即可得出正整数的取值.【详解】，由组合数公式得，得，整理得，即，解得，由题意可知且，因此，不等式的解为或或或.故答案为：或或或.本题考查组合不等式的求解，解题的关键就是利用组合数公式列出不等式，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

，2，3，4，1，6，，2，3，4，1，基本事件总数，再列出满足条件的基本事件有6个，由古典概型概率计算公式求解；有序实数对满足，而满足直线的斜率为，即，画出图形，由测度比是面积比得答案．【详解】解：在区间上任取一个数记为a，在区间上任取一个数记为b，a，，，2，3，4，1，6，，2，3，4，1．基本事件总数，直线的斜率为，即，也就是，满足条件的基本事件有6个，分别是：，，，，，，直线的斜率为的概率；在区间上任取一个数记为a，在区间上任取一个数记为b，a，，有序实数对满足，而满足直线的斜率为，即，如图：，．直线的斜率为的概率．本题考查概率的求法，注意列举法和几何概型的合理运用，是中档题．18、（1）；（2）【解析】

本题需要分类讨论，对去绝对值的两种情况分类讨论。可以先令，在对进行分类讨论求出最小值，最后得出的取值范围。【详解】(1)由得，∴∴不等式的解集为(2)令则，∴∵存在x使不等式成立，∴在遇到含有绝对值的不等式的时候，一定要根据函数解析式去绝对值的几种情况进行分类讨论。19、(1)中奖的人数约为人.(2)分布列见解析.(3)这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大.【解析】分析：（1）依题意得，，得，消费额在区间内的顾客有一次箱内摸奖机会，中奖率为，人数约，可得其中中奖的人数；（2）三位顾客每人一次箱内摸奖中奖率都为，三人中中奖人数服从二项分布，，，从而可得分布列；（3）利用数学期望的计算公式算出两种方法所得奖金的期望值即可得出结论.详解：（1）依题意得，，得，消费额在区间内的顾客有一次箱内摸奖机会，中奖率为人数约人其中中奖的人数约为人（2）三位顾客每人一次箱内摸奖中奖率都为，三人中中奖人数服从二项分布，，故的分布列为（或）（或）（或）（或）（3）箱摸一次所得奖金的期望为箱摸一次所得奖金的期望为方法一所得奖金的期望值为，方法二所得奖金的期望值为，所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．20、（1）见解析（2）（3）见解析【解析】分析：（1）求极值可先求导分析函数的单调区间从而确定极值点求极值；（2）由（1）可知当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调增，不可能有两个零点；故只需讨论当a＞0时的零点情况，当a＞0时，函数有极大值，令（x＞0），求导分析单调性结合零点定理进行证明即可；（3）由斜率计算公式得，而，将看成一个整体构造函数（），分析其最大值即可.解：（1），，当时，，在上单调递增，无极值；当时，，在上单调递增；，在上单调递减，函数有极大值，无极小值．（2）由（1）可知当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调增，不可能有两个零点；当a＞0时，函数有极大值，令（x＞0），，，，在(0，1)上单调递减；，，在(1，＋∞)上单调递增，函数有最小值．要使若函数有两个零点时，必须满足，下面证明时，函数有两个零点．因为，所以下面证明还有另一个零点．①当时，，，令()，，在上单调递减，，则，所以在上有零点，又在上单调递减，所以在上有惟一零点，从而有两个零点．②当时，，，易证，可得，所以在上有零点，又在上单调递减，所以在上有惟一零点，从而有两个零点．综上，的范围是．（3）证明：，，又，，不妨设0＜x2＜x1，t＝，则t＞1，则．令（），则，因此h(t)在(1，＋∞)上单调递减，所以h(t)＜h(1)＝0.又0＜x2＜x1，所以x1－x2＞0，所以f′()－k＜0，即f′()＜k．点睛：考查导数在函数的应用、零点定理、导数证明不等式，对复杂函数的正确求导和灵活转化为熟悉的语言理解是解导数难题的关键，属于难题.21、（1）；（2）【解析】

分析：（1）根据，列出关于首项，公比的方程组，解得、的值，即可得数列的通项公式；（2）由（1）可得，结合等比数列求和公式，利用错位相减法求解即可.详解：设数列的公比为.由=得，所以.由条件可知，故.由得，所以.故数列的通项公式为(2)点睛：本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式以及错位相