长春市南关区2023年九年级《数学》10月月考试题与参考答案

6/27长春市南关区2023年九年级《数学》上册十月月考试题与参考答案一、选择题本大题共8小题，共24分。1.如图．数轴上点A对应的数是2，将点A沿数轴向左移动3个单位至点B，则点B对应的数是（）A.-1 B.0 C.3 D.5【答案】A【分析】根据数轴上点对应的数的表示方法解答即可．【详解】解：因为数轴上点A对应的数是2，将点A沿数轴向左移动3个单位，所以2﹣3=﹣1，所以点B对应的数是﹣1，故选：A．【点睛】本题考查用数轴上点表示有理数，熟练掌握数轴上点对应的数的表示方法是解答的关键．2.某一时刻“学习强国APP”数据显示阅读量为403000人次．将403000这个数用科学记数法表示为（） B. C. D.【答案】B【分析】根据科学记数法的概念以及表示形式即可得出答案.【详解】解：由题可得：，故答案选：B.【点睛】本题考查科学记数法，掌握科学记数法的写法是本题解题关键即：将一个数表示成的形式，其中，n表示整数.3.如图所示的几何体的俯视图是（） B. C. D.【答案】A【详解】解：从上边看，是一个三角形．故选：A．4.不等式的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】先求出不等式的解，再根据不等式的解在数轴上的表示方法即可得．【详解】，移项，得，合并同类项，得，观察四个选项可知，在数轴上表示正确的是选项C，故选：C．【点睛】本题考查了在数轴上表示一元一次不等式的解，熟练掌握不等式的解法是解题关键．5.我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（）A. B.C. D.【答案】A【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：0.5绳子=木条-1，据此列出方程组即可．【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为：，故选：A．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组．6.如图，在岛周围20海里水域有暗礁，一艘轮船由西向东航行到处时，发现岛在北偏东64°的方向且与轮船相距52海里．若该轮船不改变航向，为航行安全，需要计算到的距离．下列算法正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【分析】先求出∠CAO的度数，再通过解直角三角形求解．【详解】解：由题意可得∠CAO=64°，所以cos∠CAO=，即cos64°=，所以AC=52cos64°．故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形，解题关键是熟练掌握解直角三角形的方法．7.如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC、AB于点M、N；②分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为1，则BC的长为（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【分析】由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，过点D作DH⊥AB，则CD=DH=1，进而求解．【详解】解：过点D作DH⊥AB，则DH=1，由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，则CD=DH=1，因为△ABC为等腰直角三角形，故∠B=45°，则△DHB为等腰直角三角形，故BD=HD=，则BC=CD+BD=1+，故选：C．【点睛】本题考查的是作图-复杂作图，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）交轴正半轴于点，交轴于点，线段轴交此抛物线于点，且，则的面积是（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】D【分析】由y=ax2-2ax+2（a＜0）可得点B坐标与对称轴所在直线解析式，从而求出点D坐标，再通过CD=BC求出BC长度，通过三角形面积=0.5×底×高求解．【详解】解：因为抛物线对称轴为直线x=，点B的坐标为（0，2），所以点D的坐标为（2，2），BD=2-0=2，因为CD=BC，所以CD=BD=1，所以BC=2+1=3．所以S△ABC=×3×2=3．故选：D．【点睛】本题主要考查函数图象上点的坐标特征，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．二、填空题本大题共6小题，每小题3分，共18分。9.计算：___．【答案】．【详解】解：原式=．故答案为．10.分解因式：x2－9＝______．【答案】(x＋3)(x－3)【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3），故答案为：（x+3）（x-3）.11.若关于的一元二次方程有不相等实数根，则的取值范围是______．【答案】【分析】根据一元二次方程根据的判别式得出，解不等式即可得出答案．【详解】因为一元二次方程有不相等实数根，所以，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根据题意得出是解题的关键．12.如图，直线．直线与、分别交于、两点．若，则的大小为_____度．【答案】【分析】根据邻补角的定义和平行线的性质即可得到结论．【详解】解：如图，因为，所以，因为直线，所以，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角的应用，解此题的关键是求出的度数，注意：两直线平行，同位角相等．13.函数图象上有两点．若，则a的取值范围为_____．【答案】【分析】由，图象开口向上可判断点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，分类讨论与求解．【详解】解：函数的对称轴为直线，图象开口向上，因为，所以点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，当时，满足题意，解得，当时，恒成立，所以满足条件．故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征．14.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C的坐标分别为，动点D在边上，且不与点B重合，连接，把沿翻折得到，点E落在双曲线上，当长度最小时，k的值为_____．【答案】【分析】根据三角形三边关系可得当点A，E，C三点共线时，最小．过点E作于点M，由平行线分线段成比例可得和的长，进而可得点E的坐标，由点E在双曲线上，可得k的值．【详解】解：因为，所以，所以当且仅当点A，E，C三点共线时，最小．因为，所以．如图，过点E作于点M，所以，解得，所以．所以，因为点E在双曲线上，所以．故答案为：．【点睛】本题考查折叠的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征以及平行线段分线段成比例，求出点E的坐标是解题关键．三、解答题本大题共8小题，共78分。15.先化简，再求值：，其中，．【答案】【分析】根据完全平方公式以及单项式乘多项式的法则将整式去括号，然后再合并同类项即可得出整式化简结果，最后将x和y的值代入化简结果即可得出答案.【详解】解：原式．当，时，原式=．故答案为：.【点睛】本题考查整式的化简求值，熟练掌握整式的乘法以及加减是本题做题关键，去括号时要注意符号，这部分比较容易出错.16.某扶贫干部决定引进改良的中药种子帮助贫困户脱贫．他先花8000元购买了桔梗种子，又花6000元购买了白术种子，已知他购买的这两种种子质量相等，且桔梗种子比白术种子每千克多20元，求白术种子每千克多少元？【答案】白术种子每千克60元【分析】解设白术种子每千克x元，抓住等量关系以(x+20)元单价花8000元购买桔梗种子质量，以每千克x元单价花6000元购买白术种子质量相等，列方程解之即可．【详解】解：设白术种子每千克x元，根据题意，得，，解得．经检验，是原方程的解且符合题意．答：白术种子每千克60元．【点睛】本题考查分式方程解应用题，掌握列分式方程解应用题的方法与步骤，抓住等量关系列方程是解题关键．17.如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，按步骤完成下列问题：（1）在图1中，画出点D，使得四边形ABDC是平行四边形．（2）在图2中，在AB上找点E，使得△ACE的面积是△BCE面积的0.5．（3）在图3中，在AB边上找一点F，使得tan∠ACF＝0.5．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据平行四边形的判定画出图形即可．（2）取格点M，N，连接MN交AB于点E，连接CE，点E即为所求作．（3）取格点E，G，H，连接EG，AH交于点J，连接CJ交AB于点F，点F即为所求作．【详解】解：（1）如图1中，平行四边形ABDC即为所求作．（2）如图2中，点E即为所求作．（3）如图3中，点F即为所求作．【点睛】本题考查了作图-应用与设计，平行四边形的判定，三角形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．18.“足球运球”是中考体育选考项目之一．某学校为了解今年九年级学生足球运球的情况，随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，制成了如下不完整的统计图．（说明：级8分-10分，级：7分-7.9分，级：6分-6.9分，级：1分-5.9分）拫据所给信息，解答以下问题：（1）在扇形统计图中，对应的扇形的圆心角是______度；（2）补全条形统计图；（3）所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在______等级；（4）该校九年级有500名学生，请估计足球运球测试成绩达到级的学生有多少人？【答案】（1）40，117；（2）补图见解答；（3）B；（4）50．【分析】（1）先根据B等级人数及其百分比求得总人数，总人数减去其他等级人数求得C等级人数，继而用乘以C等级人数所占比例即可得；（2）根据以上所求结果即可补全图形；（3）根据中位数的定义求解可得；（4）总人数乘以样本中A等级人数所占比例可得．【小问1详解】（1）因为总人数为（人），所以C等级人数为（人），则C对应的扇形的圆心角是，故答案为：117；【小问2详解】补全条形图如下：【小问3详解】因为共有40个数据，其中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在B等级，所以所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在B等级，故答案为：B．【小问4详解】估计足球运球测试成绩达到A级的学生有：（人）．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．19.为修建长春地铁，甲、乙两个工程队分别同时开挖两段隧道，所挖隧道的长度y（米）与挖掘时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）求甲工程队每小时挖隧道的长度．（2）求乙工程队所挖隧道的长度y（米）与挖掘时间x（时）之间的函数关系式．（3）当乙工程队比甲工程队多挖5米时，x的值为______________．【答案】（1）10米；（2）当时，，当时，；（3）1或3【分析】（1）利用甲工作量除以工作时间即可;（2）分段设出函数解析式，当时，设y与x之间的关系式为，把点(2，30)代入解析式，当时，设y与x之间的关系式为，把点（2，30）和（6，50）代入解析式得，解方程即可；（3）求出甲解析式，当x<2时，利用乙工作量-甲工作量=5，当x≥2时利用乙工作量减甲工作量=5，列方程解之即可；【详解】解：（1）（米）所以甲工程队每小时挖隧道的长度为10米；（2）当时，设y与x之间的关系式为，把点(2，30)代入解析式得，解得．所以．当时，设y与x之间的关系式为，把点（2，30）和（6，50）代入解析式得，解得，所以；（3）甲解析式为：，当x<2时，，解得x=1；当x≥2时，解得x=3；故答案为：1或3．20.下面是华师版八年级下册数学教材第121页的第1题，请结合图①完成这道题的证明．（1）如图①，点E是正方形ABCD的边CD上的一点，点F是CB的延长线上的一点，且EA⊥AF．求证：DE＝BF．（2）如图②，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝，CD⊥AB，垂足为点D，点E是边AC上的动点，点F是边CB上的一点，且ED⊥DF．①直接写出四边形EDFC的面积．②若∠CDE＝15°，则四边形EDFC的周长为．【答案】（1）见解析；（2）①3；②【分析】（1）通过ASA证明△ADE≌△ABF．（2）①先通过AAS证明△DCE≌DBF，将四边形EDFC的面积转化为三角形BCD的面积．②作DM⊥AC于点M，先求出∠MED=∠CDE+∠ACD=60°，根据等腰解直角三角形的性质求出MD长度，由勾股定理求出DE=2，再通过等量代换将四边形EDFC的周长转化为ED+FD+EC+BF=2ED+BC．【详解】：（1）证明：如图，因为四边形ABCD是正方形，所以AD＝AB，∠BAD＝∠D＝∠ABF＝90°．因为EA⊥AF，所以∠FAE＝90°．所以∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝90°．所以∠1＝∠2；在△ADE和△ABF中，所以△ADE≌△ABF．所以DE＝BF．（2）①因为∠ACB=90°，ED⊥DF，所以∠CED+∠CFD=180°，因为∠BFD=∠CFD=180°，所以∠CED=∠BFD，又因为AC=CB=2，CD⊥AB，所以△ABC为等腰直角三角形，所以CD=BD=AD，∠B=∠DCE=45°，所以△DCE≌DBF（AAS）．所以S四边形CEDF=S△CDB=S△ABC=×AC•BC=3．②作DM⊥AC于点M，则CM=AM=DM=AC=，因为∠CDE=15°，∠ACD=45°，所以∠MED=∠CDE+∠ACD=60°，所以所以在Rt△DME中，，即，所以ED=2．因为△DCE≌DBF，所以ED=FD，EC=BF，所以四边形EDFC的周长=ED+FD+EC+BF=2ED+BC=4+2．故答案为：4+2．【点睛】本题为几何图形探究题，考查特殊三角形与四边形的综合应用．解题关键是熟练掌握特殊三角形与特殊四边形的性质．21.如图，在中．，，．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，点Q为线段的中点，过点P作，点M在上方，且，以为边作▱．设点P的运动时间为t秒．（1）线段的长为．（2）求▱的面积．（用含t的代数式表示）（3）当线段与边有公共点时，求t的取值范围．（4）当点M到任意两边所在直线的距离相等时，直接写出此时t的值．【答案】（1）6（2）（3）（4）或或【分析】（1）根据，，．即可求出线段的长；（2）作于点D，求出，，根据即可解决问题；（3）当点M落在边上时，作于点D，当点N落在边上时，作于点K，分别求出点M与点N落在上的时间t，即可得t的取值范围；（4）点M经过三角形内角及外角平分线时满足题意，分3种情况讨论：①当点M在的角平分线上时，②当M在角平分线上时，③当点M在外角平分线上时，以点B为原点建立平面直角坐标系，在x轴上截取，使，设交于点O，进而求出t的值即可解决问题．【小问1详解】解：在中，，，因为，所以，故答案为：6；【小问2详解】解：如图，作于点D，因为，点Q为线段中点，所以，所以，因为，所以，所以▱的面积为：；【小问3详解】解：①当点M落在边上时，如图，作于点D，由（2）得，因为，所以，所以为等腰三角形，因为，所以，在中，，，，所以，因为，所以，解得；②当点N落在边上时，如图，作于点K，同理可得，，解得；所以当线段与边有公共点时，t的取值范围为；【小问4详解】解：①当点M在的角平分线上时，延长交于点G，如图：所以点G到的距离相等，即与为等高三角形，所以，又因为，所以，所以，所以，由（3）得，