参考课件-《数列》复习

《数列》复习应对策略一、知识结构二、大纲三、考点预测四、题型示例五、关于数列应用题六、复习策略数列一、知识结构等差数列数列等比数列通项公式前n项公式通项公式前n项和公式数列的应用函数思想数列函数列等差数列等比数列一次函数指数函数类比类比类比特殊化特殊化推广函数实数二大纲三、考点预测高考命题趋势预测：①选择题或填空题仍以考查等差数列、等比数列的概念（要注意数列的图表、图像表示）以及基本性质，同时，也考查数列通项公式的求法，尤其要注意归纳—猜想题型。这种利用归纳和类比进行推理的题型在历届的高考中已经出现过（主要出现在填空题的最后一题，即16题），估计在将来的高考试题中会将这种思想方法体现得更加林淋漓尽致．因而，在复习过程中加大对这种题型的训练是很有必要的．②解答题主要考查数列的综合应用为主，可能考到的题型有：等差数列和等比数列的综合题，与数列相关的归纳、猜想、证明问题，同时注重在数列与函数、数列与不等式、数列与几何、数列与向量等知识网络的交汇点命制试题，具有较强的考查思维能力的功能。③数列中与的关系一直是高考命题的亮点。要掌握在如下三种递推关系下，数列通项公式的求法。即，，。构造等差或等比数列是解决此类问题的有效方法。④求和问题也是常见的试题。等差数列、等比数列以及可转化为等差、等比数列的求和问题应熟练掌握。另外，还应掌握一些特殊数列的求和方法，例如错位相减法、倒序相加法、拆（并）项求和法、裂项求和法。⑤数列应用题。四、题型示例题例1（）A．1

B．2

C．4

D．8评析：此题重点考察等差数列的性质，几乎所有学生都能做出此题，但显然不同水平的学生所采用的方法是不同的，所用的时间也是不同的，有的学生可能会选择设出通项公式，整体代换去做，有的同学可能选择利用“中项”的性质去做，还有的同学会根据选择题“四选一”答案唯一的特点，利用“特殊数列（如常数列）法”来做，但这显然是本题最简洁实用的解法。所以尽管此题简单，但仍然显示了良好的区分度。题型示例题例2如上图所示，第n个图形由第n+2边形“扩展”而来的。记第n个图形的顶点数为，则=

。图1图2图3图4解：由图易知：从而易知，题型示例评析：求解几何计数问题通常采用“归纳—猜想—证明”解题思路。本题也可直接求解。第n个图形由第n+2边形“扩展”而来的，这个图形共由n+3个n+2边形组成，而每个n+2边形共有n+2个顶点，故第n个图形的顶点数为

解决此类问题需要较强的观察能力及快速探求规律的能力。因此，它在高考中具有较强的选拔功能。题型示例题例3

如图是一个类似“杨辉三角”的图形，第n行共有n个数，且该行的第一个数和最后一个数都是n,中间任意一个数都等于第n－1行与之相邻的两个数的和，分别表示第n行的第一个数，第二个数，…….第n个数。的通项式为

。解：由图易知

从而知

是一阶等差数列，即

以上n-1个式相加即可得到：评析：

杨辉三角在选修教材的练习题中出现过，像这种数列创新题也是近年高考创新题的热点问题。求解这类题目的关键是仔细观察各行项与行列式的对应关系，通常需转化成一阶（或二阶）等差数列结合求和方法来求解。有兴趣的同学不妨求出的通项式。题型示例题例4已知函数f(x)满足ax·f(x)＝b＋f(x)(ab≠0)，f(1)＝2，且对定义域中的任意x，有f(x＋2)＝－f(2－x)．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}满足：当n＝1时，a1＝f(1)＝2，试写出数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明(文科不作要求)。分析:对(1)，由条件知f(x)与参数a、b有关，这显然可利用方程的思想来解决，求解（2）的首要问题时探求an的表达式，一个本能的念头是怎样促使条件

明朗化，显然这只须将具体化即可。不难想到在（1）中我们已获得了函数f(x)的解析式，那么f(an)当然极易写出来了．当我们获得Sn与an的明显关系式后，便可通过试验、归纳、猜想出an的表达式，再用数学归纳法证明即可．

解:(1)由ax·f(x)＝b＋f(x)，得(ax－1)f(x)＝b．若ax－1＝0，则b＝0，这与b≠0矛盾．故,于是，

由于f(1)＝2，故有2a＝b＋2(1)

又f(x＋2)＝－f(2－x)，

即化简得代入（1）得

（2）当时，将代入

整理得当时，有

由于a1＝f(1)＝2，所以a2＝3．同理可得a3＝4，a4＝5．由此猜想：通项公式为an＝n＋1，(n∈N*)．

下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，a1＝2，n＋1＝1＋1＝2，猜想正确．(2)假设n＝k时，猜想正确，即ak＝k＋1成立．此时必有

则当时，有故

即当n＝k＋1时猜想也正确，∴对一切n∈N，an＝n＋1．评析:

探求与函数解析式有关的数列通项问题，具有一定的综合性．利用求得的函数f(x)的解析式确定f(an)，为顺利求出an奠定了基础．数列是一类特殊的函数，因而数列问题常与函数、方程有关．善于调用函数与方程的思想研究数列问题，必将使我们对数列的认识更加全面，理解更加深刻,也将更能把握问题的实质。五、关于数列应用题

数学来源于实践，又在应用于实践的过程中得到发展和完善，运用数学知识解决实际问题，既是数学的起源，又是数学的归宿，也是学习数学的目的所在．现实中的应用问题千姿百态、千变万化，要体现数学的应用价值，使数学服务于生产、生活实际。首先应学会从实际问题中抽象出数学问题．建立适当的数学模型，然后运用所学过的数学知识解决之．因此，解数学应用题，需过好三关：文理关、事理关以及数理关．不少同学因对普通文字语言的阅读理解能力低而过不了“文理关”；长期闭门读书，不接触（或接触甚少）社会和生活实际又使一部分学生不明事理而难过“事理关”；缺乏对普通语言、数学符号语言和图形语言进行互相转换的能力以及运算能力弱，使不少考生无法建立数学模型而过不了“数理关”．三关挡道是近几年数学应用题得分低下的重要原因．

要提高解应用题的水平，首先要提高自己的阅读理解能力，并注意弄清一些诸如至少、至多；不少于、不大于；增长到、增长了；都不是、不都是等关键词语的确切含意．因为正确理解题意是解应用题必须迈好的第一步．其次，解应用题必须将普通语言翻译成（内隐或外显的）数学语言．数学语言是数学思维的载体，是解决问题的工具，要提高数学思维能力，离开娴熟的数学语言是不可思议的．只有提高语言的运用和转化能力，善于舍弃问题中与此同时数学无关的非本质因素，抽取出涉及问题本质的数学结构，才能将具体实际问题准确的转化为数学问题或已知的数学模型．第三，要注意对运算程序的调控，使运算程序做到合理、简捷．合理的运算程序能缩短思维的长度，因而它是运算达到准确、简捷的前提和保证．运算应达到要求是“熟练、准确、合理、简捷”．总之，“通”文理、“明”事理、“精”数理，增强应用意识和提高数学化能力，是提高解数学应用题能力的根本出路．题例：

某鱼塘养鱼，由于改进了饲养技术，预计第一年的增长率为200%，以后每年的增长率是前一年的一半，设原来的产量为a.(1)写出改进饲养技术后的第一年、第二年、第三年的产量，并写出第n年与第n－1年（n≥2，n∈N）的产量之间的关系式；

(2)由于存在池塘老化及环境污染等因素，估计每年将损失年产量的10%，照这样下去，以后每年的产量是否始终逐年提高的？若是，请给予证明，若不是，请说明从第几年起，产量将不如上一年．解:

第一年增长2，第二年是2×＝……第n年增长率为2×

＝.(1)设第n年的年产量为，则a1＝a(1＋2)＝3a，

a2＝a1(1＋2×)＝6a，a3＝[1＋2×]＝9a，

an＝an－1[1＋2×]＝an－1(1＋)（n≥2）．(2)设第一年实际产量为b，第n年的实际产量为bn，则b1＝a(1＋2)×(1－

)＝3a×,b2＝b1(1＋2×)

即.显然，产量不可能是始终逐年提高的，设第n年产量不如上一年，则即从第6年起，产量不如上一年．1、复习过程以课本为主，以知识模块为主线开展复习，不能脱离课本仅凭某本参考资料复习。其实，往往很多高考题都是课本习题或例题的再加工或者就是原型。从A组题到B组题，如果课本的每一题都过关，则基本上可以满足高考的需要了。六、复习策略2、复习内容以基础知识为主，严格按照新课程标准要求，有针对性地编写复习资料进行复习。3、复习过程尽量以知识体系为主，把同一知识体系及相关知识结合起来复习。努力做到知识系统化。

在知识梳理的过程中，要注意提取和归纳重要的数学思想和数学方法，让学生站在数学思想和数学方法的高度上来认识数学问题；同时还要特别注意对易错知识点的梳理，如：在《数列》一章中最容易产生错误的知识点有两个：

①已知数列的前n项和Sn，求通项an。学生只知道会用公式an=Sn－Sn-1去求an，而忘记了这个公式有一个适用范围，它只适用于当n≥2的情形，对于n=1时，应该单列求解，a1=S1。在梳理知识的时候，为了纠正学生的这一错误认识，可举一些简单的反例，例如，已知数列{an}的前n项和Sn=，求数列{an}的通项公式an。学生很容易利用公式an=Sn－Sn-1求得

an=Sn－Sn-1=。学生完成之后，我们反问：对于n=1时适合吗？这时学生就会发现自己的解答错在什么地方。②等比数列的求和公式。在学生的头脑中，提到等比数列的求和公式，他们可以很快闪现出来，就是他们完全忘记了这个公式的适用范围。当时，等比数列的求和公式不再是，而是。为了让学生纠正这一错误，可设计一些简单的反例。例如：设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，已知成等比数列，试判断