2026版步步高大一轮数学江苏基础第三章§3.1导数的概念及其意义、导数的运算（含答案或解析）

§3.1导数的概念及其意义、导数的运算课标要求1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数.1.导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作或.

f'(x0)＝limΔx→0(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)f'(x)＝y'＝limΔ2.导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的，相应的切线方程为.

3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f'(x)＝____________f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)f'(x)＝____________f(x)＝sinxf'(x)＝____________f(x)＝cosxf'(x)＝____________f(x)＝ax(a>0，且a≠1)f'(x)＝____________f(x)＝exf'(x)＝____________f(x)＝logax(a>0，且a≠1)f'(x)＝____________f(x)＝lnxf'(x)＝____________4.导数的运算法则若f'(x)，g'(x)存在，则有[f(x)±g(x)]'＝；

[f(x)g(x)]'＝；

f(x)g(x)'＝[cf(x)]'＝.

5.复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y'x＝，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)f'(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.()(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.()(3)f'(x0)＝[f(x0)]'.()(4)(e－x)'＝－e－x.()2.若函数f(x)＝lnx－2x＋1，则f'12A.0 B.1C.32 D.3.(2025·开封模拟)已知函数f(x)＝2x，则函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为()A.x－y－1＝0 B.x－y＋1＝0C.x·ln2－y－1＝0 D.x·ln2－y＋1＝04.设曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，则a的值为.

1.巧记两个常用结论(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数还是周期函数.(2)函数y＝f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f'(x)|反映了变化的快慢，|f'(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”.2.明确两点不同区分在点处的切线与过点处的切线：在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.3.谨防两个易误点(1)在复合函数求导中，每一步求导分不清哪个变量对哪个变量的求导而致误.(2)牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混.题型一导数的运算例1(1)(多选)下列求导运算正确的是()A.(ln7)'＝1B.[(x2＋2)sinx]'＝2xsinx＋(x2＋2)cosxC.x2exD.[ln(3x＋2)]'＝1(2)(2024·乌鲁木齐模拟)已知函数f(x)＝2f'(2)x－34x2＋lnx，则f'(1)＝.思维升华(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.跟踪训练1(多选)下列命题正确的有()A.已知函数f(x)在R上可导，若f'(1)＝2，则limΔB.cosxx'C.已知函数f(x)＝xe－x，若f'(x0)＝0，则x0＝1D.设函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(x)＝x2＋3xf'(2)＋lnx，则f'(2)＝－9题型二导数的几何意义命题点1求切线方程例2(2025·福州联考)已知函数f(x)＝cosxex＋2x，则曲线y＝f(xA.2x－2y＋1＝0 B.x＋y－1＝0C.x－y＋1＝0 D.2x－y＋1＝0命题点2求参数的值(范围)例3(2024·石家庄模拟)若曲线y＝(1－x)ex有两条过点A(a，0)的切线，则a的取值范围是()A.(－∞，－1)∪(3，＋∞)B.(－3，1)C.(－∞，－3)D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)命题点3切线的应用例4(2025·广州模拟)设点P在曲线y＝ex上，点Q在直线y＝1ex上，则|PQA.1e2＋1C.ee2＋1思维升华(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”.跟踪训练2(1)(2024·新课标全国Ⅰ)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝.

(2)若函数f(x)＝x－1x＋alnx存在与x轴平行的切线，则实数a的取值范围是.题型三两曲线的公切线例5直线l与曲线y＝ex＋1和y＝ex＋1均相切，则l的斜率为()A.12 C.2 D.e思维升华公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解.跟踪训练3(2024·杭州模拟)已知函数f(x)＝ax2与g(x)＝lnx的图象在公共点处有共同的切线，则实数a的值为.

答案精析落实主干知识1.(1)f

'(x0)y'|lim2.斜率y－f(x0)＝f

'(x0)(x－x0)3.0αxα－1cosx－sinxaxlnaex1xln4.f

'(x)±g'(x)f

'(x)g(x)＋f(x)g'(x)f'(x)g5.y'u·u'x自主诊断1.(1)×(2)×(3)×(4)√2.A[f

'(x)＝1x－2所以f

'12＝2－2＝0.3.D[函数f(x)＝2x，求导得f

'(x)＝2xln2，则f

'(0)＝ln2，而f(0)＝1，所以所求切线方程为y－1＝ln2·(x－0)，即x·ln2－y＋1＝0.]4.－1解析∵y＝e2ax，∴y'＝e2ax·(2ax)'＝2a·e2ax，∴在点(0，1)处的切线斜率k＝y'|x＝0＝2ae0＝2a，又∵切线与直线2x－y＋1＝0垂直，∴2a×2＝－1，∴a＝－14探究核心题型例1(1)BC[(ln7)'＝0，故A错误；[(x2＋2)sinx]'＝2xsinx＋(x2＋2)cosx，故B正确；x2ex'＝[ln(3x＋2)]'＝33x＋2，故D(2)9解析由函数f(x)＝2f

'(2)x－34x2＋lnx可得f

'(x)＝2f

'(2)－32x＋1令x＝2，可得f

'(2)＝2f

'(2)－3＋12解得f

'(2)＝52所以f(x)＝5x－34x2＋lnx可得f

'(x)＝5－32x＋1所以f

'(1)＝5－32＋1＝9跟踪训练1CD[对于A，lim＝2lim＝2f'(1)＝4，故A错误；对于B，cosx＝−xsinx对于C，f

'(x)＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x，若f

'(x0)＝0，则(1－x0)e−x0＝0，即x0＝1对于D，f

'(x)＝2x＋3f

'(2)＋1x，故f

'(2)＝4＋3f

'(2)＋1故f

'(2)＝－94，故D正确例2C[由题意知f'(x)＝−sinx−cosxex＋2，f∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为f'(0)＝−sin0−cos0e0∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0.]例3D[设切点坐标为(x0，(1－x0)ex由已知得y'＝－xex，则切线斜率k＝－x0ex切线方程为y－(1－x0)e＝－x0ex0(x－x0∵直线过点A(a，0)，∴－(1－x0)ex0＝－x0ex0(a化简得x02－(a＋1)x∵切线有2条，∴Δ＝(a＋1)2－4>0，解得a<－3或a>1，则a的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞).]例4B[令y'＝ex＝1e，得x＝－1，代入曲线y＝ex中，得P−1，1e，所以|PQ|的最小值即为点−1，1e到直线y＝1ex跟踪训练2(1)ln2解析由y＝ex＋x得y'＝ex＋1，当x＝0时，y'＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1.由y＝ln(x＋1)＋a得y'＝1x设切线与曲线y＝ln(x＋1)＋a相切的切点为(x0，y0)，由两曲线有公切线得y'＝1x0解得x0＝－12，代入切线方程y＝2x＋1得y0＝2×−1则y＝ln(x0＋1)＋a＝0，即ln−12＋1＋解得a＝ln2.(2)(－∞，－2]解析f'(x)＝1＋1x2＋a依题意得f'(x)＝1＋1x2即－a＝x＋1x∵x>0，∴x＋1x≥2当且仅当x＝1时取等号，∴－a≥2，即a≤－2.例5B[由y＝ex＋1，可得y'＝ex；由y＝ex＋1，可得y'＝ex＋1，设两个切点的坐标分别为(x1，ex1＋1)和(x2，ex2＋1)，直线故x1＝x2＋1，即x1≠x2，所以k＝ex2即直线l的斜率为1.]跟踪训练31解析设公共点的坐标为(x0，y0)(x0>0)，∵f'(x)＝2ax，g'(x)＝1x则2ax

§3.1导数的概念及其意义、导数的运算课标要求1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数.1.导数的概念(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数记作f'(x0)或y'|xf'(x0)=limΔx→(2)函数y=f(x)的导函数(简称导数)f'(x)=y'=limΔ2.导数的几何意义函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)=c(c为常数)f'(x)=0f(x)=xα(α∈R，且α≠0)f'(x)=αxα-1f(x)=sinxf'(x)=cosxf(x)=cosxf'(x)=-sinxf(x)=ax(a>0，且a≠1)f'(x)=axlnaf(x)=exf'(x)=exf(x)=logax(a>0，且a≠1)f'(x)=1f(x)=lnxf'(x)=14.导数的运算法则若f'(x)，g'(x)存在，则有[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)；[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；f(x)g(x)'=f'([cf(x)]'=cf'(x).5.复合函数的定义及其导数复合函数y=f(g(x))的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.(×)(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(×)(3)f'(x0)=[f(x0)]'.(×)(4)(e-x)'=-e-x.(√)2.若函数f(x)=lnx-2x+1，则f'12等于(A.0 B.12 C.32 D答案A解析f'(x)=1x-2所以f'12=2-2=03.(2025·开封模拟)已知函数f(x)=2x，则函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为()A.x-y-1=0 B.x-y+1=0C.x·ln2-y-1=0 D.x·ln2-y+1=0答案D解析函数f(x)=2x，求导得f'(x)=2xln2，则f'(0)=ln2，而f(0)=1，所以所求切线方程为y-1=ln2·(x-0)，即x·ln2-y+1=0.4.设曲线y=e2ax在点(0，1)处的切线与直线2x-y+1=0垂直，则a的值为.

答案-1解析∵y=e2ax，∴y'=e2ax·(2ax)'=2a·e2ax，∴在点(0，1)处的切线斜率k=y'|x=0=2ae0=2a，又∵切线与直线2x-y+1=0垂直，∴2a×2=-1，∴a=-141.巧记两个常用结论(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数还是周期函数.(2)函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f'(x)|反映了变化的快慢，|f'(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”.2.明确两点不同区分在点处的切线与过点处的切线：在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.3.谨防两个易误点(1)在复合函数求导中，每一步求导分不清哪个变量对哪个变量的求导而致误.(2)牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混.题型一导数的运算例1(1)(多选)下列求导运算正确的是()A.(ln7)'=1B.[(x2+2)sinx]'=2xsinx+(x2+2)cosxC.x2exD.[ln(3x+2)]'=1答案BC解析(ln7)'=0，故A错误；[(x2+2)sinx]'=2xsinx+(x2+2)cosx，故B正确；x2ex'=2xe[ln(3x+2)]'=33x+2，故(2)(2024·乌鲁木齐模拟)已知函数f(x)=2f'(2)x-34x2+lnx，则f'(1)=答案9解析由函数f(x)=2f'(2)x-34x2+lnx，可得f'(x)=2f'(2)-32x+令x=2，可得f'(2)=2f'(2)-3+12，解得f'(2)=52，所以f(x)=5x-34x2+lnx，可得f'(x)=5-32x+1x，所以f'(1)思维升华(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.跟踪训练1(多选)下列命题正确的有()A.已知函数f(x)在R上可导，若f'(1)=2，则limΔB.cosxx'C.已知函数f(x)=xe-x，若f'(x0)=0，则x0=1D.设函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(x)=x2+3xf'(2)+lnx，则f'(2)=-9答案CD解析对于A，limΔx→0f(1+2Δx)−f(1)Δ对于B，cosxx'=−x对于C，f'(x)=e-x-xe-x=(1-x)e-x，若f'(x0)=0，则(1-x0)e−x0=0，即x0=1对于D，f'(x)=2x+3f'(2)+1x，故f'(2)=4+3f'(2)+12，故f'(2)=-94，故题型二导数的几何意义命题点1求切线方程例2(2025·福州联考)已知函数f(x)=cosxex+2x，则曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为A.2x-2y+1=0 B.x+y-1=0C.x-y+1=0 D.2x-y+1=0答案C解析由题意知f'(x)=−sinx−cosxex+2，f∴曲线y=f(x)在x=0处的切线的斜率为f'(0)=−sin0−cos0e0∴曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y-1=x，即x-y+1=0.命题点2求参数的值(范围)例3(2024·石家庄模拟)若曲线y=(1-x)ex有两条过点A(a，0)的切线，则a的取值范围是()A.(-∞，-1)∪(3，+∞)B.(-3，1)C.(-∞，-3)D.(-∞，-3)∪(1，+∞)答案D解析设切点坐标为(x0，(1-x0)ex由已知得y'=-xex，则切线斜率k=-x0ex切线方程为y-(1-x0)ex0=-x0ex0(x-∵直线过点A(a，0)，∴-(1-x0)ex0=-x0ex0(a-x0)，化简得x02-(a∵切线有2条，∴Δ=(a+1)2-4>0，解得a<-3或a>1，则a的取值范围是(-∞，-3)∪(1，+∞).命题点3切线的应用例4(2025·广州模拟)设点P在曲线y=ex上，点Q在直线y=1ex上，则|PQ|的最小值为(A.1e2+1 C.ee2+1 答案B解析令y'=ex=1e，得x=-1，代入曲线y=ex中，得P−1，1e，所以|PQ|的最小值即为点−1，1e到直线y=1e思维升华(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”.跟踪训练2(1)(2024·新课标全国Ⅰ)若曲线y=ex+x在点(0，1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=.

答案ln2解析由y=ex+x得y'=ex+1，当x=0时，y'=e0+1=2，故曲线y=ex+x在点(0，1)处的切线方程为y=2x+1.由y=ln(x+1)+a得y'=1x设切线与曲线y=ln(x+1)+a相切的切点为(x0，y0)，由两曲线有公切线得y'=1x0解得x0=-12，代入切线方程y=2x+1得y0=2×−1则y=ln(x0+1)+a=0，即ln−12+1+a=0，解得a=ln(2)若函数f(x)=x-1x+alnx存在与x轴平行的切线，则实数a的取值范围是答案(-∞，-2]解析f'(x)=1+1x2+ax(依题意得f'(x)=1+1x2+a即-a=x+1x∵x>0，∴x+1x≥2，当且仅当x=1∴-a≥2，即a≤-2.题型三两曲线的公切线例5直线l与曲线y=ex+1和y=ex+1均相切，则l的斜率为()A.12 B.1 C.2 D.答案B解析由y=ex+1，可得y'=ex；由y=ex+1，可得y'=ex+1，设两个切点的坐标分别为(x1，ex1+1)和(x2，ex2+1)，直线l的斜率故x1=x2+1，即x1≠x2，所以k=ex2+1−即直线l的斜率为1.思维升华公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解.跟踪训练3(2024·杭州模拟)已知函数f(x)=ax2与g(x)=lnx的图象在公共点处有共同的切线，则实数a的值为.

答案1解析设公共点的坐标为(x0，y0)(x0>0)，∵f'(x)=2ax，g'(x)=1x则2ax课时精练(分值：80分)一、单项选择题(每小题5分，共20分)1.若f(x)=ln(-x)，则f'(-2026)等于()A.-12026 B.-2026 C.12026 D答案A解析由f(x)=ln(-x)得f'(x)=1x，则f'(-2026)=-12.一个做直线运动的质点的位移s(m)与时间t(s)的关系式为s=100t-5t2，则该质点的瞬时速度为0m/s时，t等于()A.50s B.20s C.10s D.5s答案C解析由题意知s=100t-5t2，则s'=100-10t，令s'=0，则t=10，即当该质点的瞬时速度为0m/s时，时间t=10s.3.已知函数f(x)的图象如图所示，f'(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是()A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2)B.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)C.0<f'(3)<f'(2)<f(3)-f(2)D.0<f(3)-f(2)<f'(3)<f'(2)答案B解析由函数f(x)的图象可知f(x)为增函数，故函数在每一处的导数值f'(x)>0，即得f'(3)>0，f'(2)>0，设A(2，f(2))，B(3，f(3))，则直线AB的斜率为f(3)−f(2)3−2=f(3)-由于曲线是上升的，故f(3)>f(2)，∴f(3)-f(2)>0，作出曲线在x=2，x=3处的切线，设为l1，l3，直线AB为l2，它们的斜率分别为k1，k2，k3，结合图象可得l1，l2，l3的斜率满足k3<k2<k1，即0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2).4.已知函数f(x)=xex+1，过点P(2，1)可作曲线y=f(x)的切线条数为()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析由f(x)=xex+1，得f'(x)=(x+1)ex.设切点坐标为(x0，x0ex0则切线方程为y-x0ex0-1=ex0(x0+1)(x把(2，1)代入可得-x0ex0=ex0(x0+1)(2-x0)，即x0因为Δ=12>0，所以该方程有2个不同的实数根，故切线有2条.二、多项选择题(每小题6分，共12分)5.下列求导运算正确的是()A.若y=(x+1)lnx，则y'=lnx+1xB.cosπ3'C.xx+1−2x'D.(ln2x)'=1答案AC解析对于A，若y=(x+1)lnx，则y'=lnx+x+1x=lnx+1x+1对于B，cosπ3'=0，故对于C，xx+1−2x'=xx+1'-2xln2=1(对于D，(ln2x)'=22x=1x，故6.若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是()A.f(x)=cosx B.f(x)=lnxC.f(x)=ex D.f(x)=x2答案AD解析由题意y=f(x)具有T性质，则存在x1，x2，使得f'(x1)f'(x2)=-1.对于选项A，因为f'(x)=-sinx，存在x1=π2，x2=-π2，使得f'(x1)f'(x2)对于选项B，因为f'(x)=1x>0，不存在x1，x2，使得f'(x1)f'(x2)=-1对于选项C，因为f'(x)=ex>0，不存在x1，x2，使得f'(x1)f'(x2)=-1；对于选项D，因为f'(x)=2x，存在x1=1，x2=-14，使得f'(x1)f'(x2)=4x1x2=-1三、填空题(每小题5分，共10分)7.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间(a，b)内的导数为f'(x)，那么在区间(a，b)内至少存在一点c，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)成立，其中c叫做f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数f(x)=x3-2x在[-2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为.

答案2解析∵f(2)−f(−2)2−(−2)=4+44=2，f'(x)令3x2-2=2，解得x=-233∈[-2，2]或x=233∈[∴f(x)在[-2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2.8.(2025·汉口模拟)已知函数f(x)为偶函数，其图象在点(1，f(1))处的切线方程为x-2y+1=0，记f(x)的导函数为f'(x)，则f'(-1)=.

答案-1解析因为f(x)为偶函数，所以f(x)=f(-x)，两边求导，可得[f(x)]'=[f(-x)]'⇒f'(x)=f'(-x)·(-x)'⇒f'(x)=-f'(-x).又f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x-2y+1=0，所以f'(1)=12所以f'(-1)=-f'(1)=-12四、解答题(共28分)9.(13分)已知函数f(x)=x3-ax2+b(a，b∈R