“数形结合”解决队列问题-三年级数学思维拓展专项讲义

（尖子生培优）专题17“数形结合”解决队列问题

三年级数学思维拓展培优讲义（通用版）

领有的放矢

在排队问题中，指定的这一个人既不能遗漏，也不能重复数，有些情况要加1,有些

情况要减lo

“数形结合”方法可以直观表示出队列及方阵问题的关系，有助于问题的解决。

望能力巩固提升

1.全班35名学生排成一行，从左边数，小红是第20位，从右边数，小刚是第21位.问小红与小刚中间

隔着多少名同学？

2.在一次运动会开幕式上，有一大一小两个方阵合并变换成一个10行10列的方阵，求原来两个方阵各有

多少人？

3.一队战士排成中空方阵，最外层的人数为44人，最内层的人数为28人，这方阵共有多少人？

4.学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人？

5.12个小朋友站成一排，从左往右数，强强排在第8个，从右往左数，航航也排在第8个，强强和航航

两人之间有多少人？

6.为了准备学校的集体舞比赛，四年级的学生在排队形。如果排成3层空心的方阵则多10人，如果在

中间空心的部分接着增加一层又少6人。问一共有多少个学生参加排练呢？

7.用棋子摆成方阵，恰为每边24粒的实心方阵，若改为3层的空心方阵，它的最外层每边应放多少

粒？

8.大庆路小学启智楼前摆放了一个方阵花坛.这个花坛的最外层每边各摆放8盆花，最外层共摆了多少

盆花？这个方阵花坛共有多少盆花？

9.同学们排成一个三层的空心方阵.已知最内层每边有6人，这个方阵共有多少人？

10.在一次团体操表演中，有一个空心方阵最外层有64人，最内层有32人，参加团体操表演的共多少

人？

11.同学们排成一个方阵做早操，每行9人，这个方阵一共有多少人？

12.同学们排练团体操，排成一个方阵，中间的实心方阵是女同学，外面三层是男同学，最外圈两层又

是女同学.已知方阵中男同学是108人，问女同学是多少人？

13.有一群学生排成三层空心方阵，多9人，如空心部分增加两层，又少15人，问有学生多少人？

14.学校组织军训，教官让男生站一排，女生站一排，请问：

（1）小悦和同班女生站成一排，她发现自己的左侧有7人，右侧有8人，女生一共有多少人？

（2）冬冬和同班男生站成一排，他发现自己是左起第7个，右起第9个，男生一共有多少人？

（3）阿奇也在男生队伍里，他发现自己是左起第4个，他的右侧应该有几人？他应该是右起第几人？

15.小明在一个正方形的棋盘里摆棋子，他先把最外层摆满，用了40个棋子，求最外层每边有多少棋

子？如果他要把整个棋盘摆满，还需要多少棋子？

16.育英小学四年级的同学排成一个实心方阵队列，还剩下5人，如果横竖各增加一排，排成一个稍大

的实心方阵，则缺少26人.育英小学四年级有多少人？

17.一队学生站成20行20列方阵，如果去掉4行4列，那么要减少多少人？

18.有杨树和柳树以隔株相间的种法，种成7行7列的方阵，问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少

棵?方阵中共有杨树，柳树各多少棵？

19.学校进行课间操比赛，高年级同学恰好可以排成一个实心方阵，可学校操场较小，只好横竖各减少

一排，这样就减少了23个人，问这个学校高年级有多少个学生？

20.解放军进行排队表演，组成一个外层有48人，内层有16人的多层中空方阵，这个方阵有几层？一

共有多少人？

因综合拔iW）拓展

21.某部队战士排成方阵行军，另一支队伍共17人加入他们的方阵，正好使横竖各增加一排，现共有多

少战士？

22.晓晓爱好围棋，他用棋子在棋盘上摆了一个二层空心方阵，外层每边有14个棋子，你知道他一共用

了多少个棋子吗？

23.校三年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为36人，问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有三

年级学生多少人？

24.小华观看团体操表演，他看到表演队伍中的一个方阵变换成一个正三角形实心队列，他估计队伍中

人数大概在30至50人之间，你能告诉他到底有多少人吗？

25.节日来临，同学们用盆花在操场上摆了一个空心花坛，最外层的一层每边摆了12盆花，一共3层，一

共用去多少盆花？

26.三年级学生排成一个方阵进行体操表演，最外一层的人数为32人，问方阵外层每边有多少人？这个

方阵共有三年级学生多少人？

27.将一个每边16枚棋子的实心方阵变成一个四层的空心方阵，此空心方阵的最外层每边有多少棋子？

28.二年级舞蹈队为全校做健美操表演，组成一个正方形队列，后来由于表演的需要，又增加一行一

列，增加的人数正好是17人，那么原来准备参加健美操表演的有多少人？

29.正方形操场四周栽了一圈树，四个角上都栽了树，每两棵树相隔5米。甲、乙从一个角上同时出

发，向不同的方向走去，甲的速度是乙的2倍，乙在拐了一个弯之后的第5棵树与甲相遇（把角上的树

看作第一棵树），操场四周栽了多少棵树？

30.有若干盆鲜花摆成一个中空方阵，最外层共摆48盆，最内层共摆24盆，请问：共摆了多少盆鲜

花？

31.一堆棋子，排成正方形，多余4只棋子，若正方形纵横两个方面各增加一层，则缺少9只棋子，问

有棋子多少只？

32.仪仗队原计划64名少先队员手持彩旗，在彩车周围排成一个每边二层的方阵，后来决定在方阵外面

再增加一层，成为三层方阵，求需要增加多少名学生？

33.明明用围棋子摆成一个三层中空方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周

共有多少枚棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少枚棋子？

34.有一队学生排成一个空心方阵，最外层60人，最内层28人，求总人数？

35.同学们用64盆花排出一个两层空心方阵，后来又决定在外面再增加一层成为三层方阵，还需多少盆

花？

36.学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉13人，问这个方阵共有多

少人？

37.啦啦队排成方阵进行表演，最外围的一圈队员有64人，如果在外围再增加一圈队员，需要增加多少

人？增加一圈后方阵里一共有多少人？

38.学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉11人，问这个方阵共有多

少人？

39.四年级同学参加广播操比赛，要排列成每行8人，共8行方阵.排列这个方阵共需要多少名同学？

40.运动会闭幕式结束后，大家准备散场，班长小悦让全班同学站成一行清点人数（她自己并不在队伍

中）.她先从左往右数，发现冬冬是第25个；然后她又从右往左数，发现阿奇正好是第29个，如果队伍

里一共有31个，那么冬冬和阿奇之间有几个人？

41.军训的学生进行队列表演，排成了一个5行5列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？

42.小红用棋子摆成一个正方形实心方阵用棋子100枚，最外边的一层共多少枚棋子？

4P参考答案

1.4名

【详解】如果从右边数，小红是第35—20+1=16位，而小刚是第21位，那么他们中间隔着21—16—1=

4个人.

2.64人；36人

【分析】10行10列的方阵由100人组成，原来的小方阵每行或每列人数都不会超过10人，大方阵人数

应该在50~100之间，可取64或81,运用枚举法，可求出满足条件的是：大方阵有64人，小方阵有36

人。

【详解】10x10=100（人）

8x8+6x6

=64+36

=100（人）

答：大方阵有64人，小方阵有36人。

【点睛】根据数据多少和学生具体情况可考虑教给学生平方数的概念，熟记一些简单的平方数是解答此

题的关键。

3.144人

【详解】44+4+1=12（人）

12x12=144（人）

28+4+1=8（人）

（82）x（82）=36（人）

14436=108（人）

4.256人

【分析】方阵问题的核心是求最外层每边人数.根据四周人数和每边人数的关系可知：

每边人数=四周人数+4+1,可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了.

【详解】方阵最外层每边人数：60+4+1=16（人）

整个方阵共有学生人数：16x16=256（人）

5.2人

【分析】强强在从左往右第8个，航航在从右往左第8个，也就是航航在从左往右第5个，由此可以知

道他们之间有几个人。

【详解】8—5—1=2（人）

答：强强和航航两人之间有2人。

【点睛】学生可以根据题目要求画图表示，从而直观的看出他们之间的人数。

6.106人

【分析】在内部增加一层，人数由多出10人变为反而少6人，所以这一层人数为（10+6）人，据此即

可求出每层每边人数，再求出这个四层方阵的总人数，减去6,就是学生人数。

【详解】中间空心部分加一层，每边有：

（10+6）4-4+1

=16+4+1

=4+1

=5（人）

四层方阵有：

（4+6+8+10）x4

=28x4

=112（人）；

一共有学生：

112-6=106（人）

答：一共有106个学生参加排练。

【点睛】解答此题的关键是，找出新增加的这一层是多少人。

7.51粒

【详解】24x24=576（粒）

576+4+3+3

=48+3

=51（粒）

答:最外层每边棋子数为51粒.

8.解：8x4-4

=32-4

=28（盆）

8x8=64（盆）

答：最外层一共摆了28盆，这个方阵花坛共有64盆花

【详解】【分析】这个方阵花坛的最外层每边有花盆8盆，可以看做每边点数为8的方阵问题，根据最外

层四周的总点数=每边点数X4-4,实心方阵的总点数=每边点数x每边点数，即可解决问题.

9.84人

【分析】要求出这个方阵有多少人，就要先求出这个方阵最外层每边多少.已知最内层每边有6人，又

知道这个空心方阵有3层，根据方阵问题应用题特点，可以求出这个方阵最外层每边有6+（31）x2人，

即10人.又根据方阵问题应用题数量关系：空心阵总人数=（外边人数层数）x层数x4,即可求出这个方

阵共有多少人.

【详解】[6+（31）x23]x3x4=84（人）

答：这个方阵共有84人.

10.240人

【分析】根据最外层和最内层人数，可以分别求出内外层每边的人数，一个空心方阵，可以看做从一个

最外层有64人的实心方阵中，减去了一个小方阵。外层每边人数：64+4+1=17（人）。内层每边人数：

32+4+1=9（人），空心方阵人数：17x17-（9-2）x（9-2）=240（人）。

【详解】（64+4+1）x（644-4-1）-（32+4+1—2）x（324-4+1-2）

=（16+1）x（16+1）-（8+1-2）x（8+1-2）

=17x17-7x7

=289-49

=240（人）

答：参加团体操表演的共240人。

【点睛】此题考查了方阵问题中的数量关系，空心方阵的总人数=（外边人数）2—（内边人数）2。

11.81人

【分析】这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少人，就是求实心方阵中布点的总数.

【详解】9x9=81（人）

答：这个方阵一共有81人.

12.148人

【分析】我们可以把这个团体分解成三个方阵：3层的男生空心方阵，里面的女生实心方阵，外面的2层

女生空心方阵.女同学的人数就是两个女生方阵的人数之和.

【详解】先由男生总人数，求出3层的男生空心方阵外层一边的人数：108+4+3+3=12（人）

因为每向里一层,每条边上的人数就少2,所以：

（1）里面女生实心方阵每行人数为：123x2=6（人），总人数为：6x6=36（人）；

（2）外面2层女生空心方阵最外层每边人数为：12+2x2=16（人），总人数为：（162）x2x4=112（人）；

女同学总人数为：112+36=148（人）.

13.105人

【分析】增加的两层人数为：9+15=24（人），这两层人数之差是8人，因此最里层有：（24-8）+2=8

（人），现在的方阵共5层，那么最外层有：8+8x4=40（人），知道最外层人数及层数就不难求出总人数

是105人。

【详解】（9+15-8）+2

=16+2

=8（人）

8+8x4

=8+32

=40（人）

40+4+1=11（人）

（11-5）x5x4-15

=6x5x4-15

=120-15

=105（人）

答：有学生105人。

【点睛】找出最外层的人数是解答此题的关键。

14.（1）16人；（2）15人；（3）右侧有11人，他应该是右起第12人.

【详解】试题分析：（1）由题意知，小悦的左侧有7人，右侧有8人，则这排队伍共有7+8+1=16人，即

女生一共的人数；

（2）冬冬是左起第7个，右起第9个，则男生一共有：7+9-1=15（人）；

（3）阿奇也在男生队伍里，他发现自己是左起第4个，他的右侧应该有15-4=11人，他应该是右起第

12人；据此解答.

解:（1）7+8+1=16（人）,

答：女生一共有16人；

（2）7+9-1=15（人），

答：男生一共有15人；

（3）15-4=11（人），

11+1=12（人），

答：阿奇的右侧应该有11人，他应该是右起第12人.

点评：为了便于理解，在解答此题时刻画出站队的示意图，以便分清何时要加1，何时要减L

15.11个；81个

【分析】首先根据"每边的个数=总数+4+1”求出每边的棋子数：40+4+1=11（个），根据"每向里一层每

边棋子数减少2",求出从最外面数第二层中每边各有：11-2=9（个）棋子，利用求实心方阵总个数的

方法就可以求出还需棋子：9x9=1（个）。

【详解】404-4+1

=10+1

=11（个）

（11-2）x（11-2）

=9x9

=81（个）

答：最外层每边有11棋子，如果他要把整个棋盘摆满，还需要81棋子。

【点睛】此题考查了方阵问题中的数量关系，"每边人数=四周人数+4+1、实心方阵的总人数=每边人

数x每边人数”。

16.230人

【分析】排成一个实心方阵队列，还剩下5人，说明是多出5人，如果横竖各增加一排后，缺少26人，

说明横竖各增加一排所需要的人数是5人与26人的和，那么（5+26）人相当原来方阵中两排的人数多1

人，从（5+26）人中减去角上的1人，再除以2,就可求出原来方阵中一排的人数.因此，可求出原来方

阵中的人数，然后加上剩下的5人，就可求出四年级的总人数是多少人.

【详解】（1）原来方阵中每排有：（5+261）4-2=15（人）

（2）四年级共有：15x15+5=230（人）

答：育英小学四年级有230人.

17.144人

【详解】20x20-（20-4）x（20-4）

=400—256

=144（人）

18.方阵最外层杨树12棵，柳树12棵；

方阵中共有杨树25棵，柳树24棵或者杨树24棵，柳树25棵.

【分析】根据已知条件柳树和杨树的种法有如下两种，假设黑点表示杨树，白点表示柳树.观察图（1）

（2），不管是柳树种在方阵最外层的角上还是杨树种在方阵最外层的角上，方阵中除最里边一层外其它层

杨树和柳树都是相同的.因而杨树和柳树的棵数相等.即最外层杨、柳树分别为（71）x4+2=12（棵）.

•oooooeoeoeoeo

oeoeoeo•oeoeoo

•oooooeoeoeoeo

oeoeoeo•oeoeoe

•oooeoeoeoeoeo

oeoeoeo•oeoeoe

•oooeoeoeoeoeo

图(i)图⑵

当柳树种在方阵最外层的角上时，最内层的一棵是柳树;当杨树种在方阵最外层的角上时，最内层的一棵

是杨树，即在方阵中，杨树和柳树总数相差1棵.

【详解】（1）最外层杨柳树的棵数分别为：（71）x4+2=12（棵）

（2）当杨树种在最外层角上时，杨树比柳树多1棵：

杨树：（7x7+1）+2=25（棵）

柳树：7x725=24（棵）

（3）当柳树种在最外层角上时，柳树比杨树多1树

柳树（7x7+1）+2=25（棵）

杨树7x725=24（棵）

答：方阵最外层都有杨树12棵，柳树12棵，方阵中总共有杨树25棵，柳树24棵，或者有杨树24棵，

柳树25棵.

19.144人

【详解】解：（23+1）4-2=12（人）

12x12=144（人）

或（231）+2+1=12（人）

12x12=144（人）......高年级人数

20.5层，160人

【详解】（4816）+8+1=5（层）

（48+16）x5+2=160（人）

答：这个方阵有5层，一共有160人.

21.81人

【分析】根据题意，后来的战士加入方阵时，是在原方阵外侧横竖方向各增加一排，那么有一个战士要

站在这两排的交界处，计算横排竖排的人数时，对他进行了重复计算，也就是说现在每一排实际人数

是：（17+1）+2=9（人），因此可以求出总人数：9x9=81（人）。

【详解】（17+1）+2

=18+2

=9（人）

9x9=81（人）

答：现共有战士81人。

【点睛】解答此题的关键是，要注意行与列交汇处的重复现象。

22.96个

【分析】如图所示，方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个。知道最外面一层每边放14个棋子，就

可以求出第二层每边的个数。知道各层每边的个数，就可以求出总数。

【详解】

（14-1）x4+（14-2-1）x4

=13x4+11x4

=52+44

=96（个）

答：一共用了96个棋子。

【点睛】认真观察方阵图形可知，在方阵中，方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个，即每向里一

层，每层的个数就减少8个，据此解题即可。

23.10人；100人

【分析】根据“每边人数=四周人数+4+1”,求出最外层每边人数；再根据"实心方阵的总人数=每边人数

*每边人数”，求出这个方阵共有三年级学生的人数。

【详解】36+4+1

=9+1

=10（人）

10x10=100（人）

答：方阵外层每边有10人，这个方阵共有三年级学生100人。

【点睛】此题考查了方阵问题中的数量关系，"每边人数=四周人数+4+1、实心方阵的总人数=每边人

数x每边人数”。

24.36人

【分析】方阵总人数的特点：它是两个相同自然数的积，而三角形队列总人数的特点是：总数是从1开始

若干个连续自然数的和，我们只要在30To的范围内找出同时满足这两个条件的数就可以得出总人数。由

于队伍可以排成方阵，在30至50人的范围内人数可能是：6x6=36（人），或是：7x7=49（人），又因

为：36=1+2+3+4+5+6+7+8,49=1+2+3+4+5+6+7+8+9+4,所以总人数是36人。

【详解】根据分析可知：

6x6=36（人），36=1+2+3+4+5+6+7+8,符合题意；

7x7=49（人），49=1+2+3+4+5+6+7+8+9+4,不符合题意，舍去。

答：这个体操表演队伍有36人。

【点睛】解答此题的关键是，理解方阵和正三角形实心队列的特征。

25.108盆

【分析】不论是空心方阵还是实心方阵，每向里一层，每边的花盆就少2个，每层的花盆就少8个，因此

可以依次求出每层花盆的个数。最外层有花盆：（12-1）x4=44（盆），第二层有：44-8=36（盆），第三

层有：36-8=28（盆），共有：44+36+28=108（盆）。

【详解】（12—1）x4

=11x4

=44（盆）

44+44—2x4+44—2x4x2

=44+36+28

=108（盆）

答：一共用去108盆花。

【点睛】正确理解：不论是空心方阵还是实心方阵，每向里一层，每边的花盆就少2个；这是解答此题的

关键。

26.9人；81人

【分析】根据"四周人数=（每边人数一1）x4〃可得：每边人数为：（四周人数+4）+4=每边人数，求出

每边的人数，再根据"总人数=每边人数x每边人数”，即可求出这个方阵的总人数。

【详解】（32+4）+4

=36+4

=9（人）

9x9=81（人）

答：这个方阵共有三年级学生81人。

【点睛】熟练掌握方阵问题的解题方法，是解答此题的关键。

27.20个

【分析】棋子总数为：16x16=256（枚），由于空心方阵总个数=（每边个数一层数）x层数x4,所以，

每边个数=空心方阵总个数+层数+4+层数，得出最外层每边有20枚棋子。

【详解】16x16+4+4+4

=16+4

=20（个）

答：此空心方阵的最外层每边有20个棋子。

【点睛】熟记：空心方阵总个数=（每边个数一层数）x层数X4,是解答此题的关键。

28.64人

【分析】因增加的是一行一列，而行、列人数仍应相等，但为什么增加的却是17人，因有1人是既在他所

在的行，又在他所在的列。若把它减掉，剩下人数恰是原两行或两列的人数，据此即可求出原来一行或

一列的人数和参加健美操表演的人数。

【详解】（17-1）+2

=16-?2

=8（人）

8x8=64（人）

答：原来准备参加健美操表演的有64人。

【点睛】解答此题的关键是，要注意行与列交汇处的重复现象。

29.48棵

【分析】因为甲的速度是乙的两倍，乙走了操场的一条边，甲走了两条边，乙拐了一个弯之后走到第5

棵树，实际走了4个间隔，那么甲应该走了8个间隔，相遇的树就是甲拐弯以后走的第9棵树，所以这

一边有树：9+4=13（棵）。操场周围的树一共有：（13—1）X4=48（棵）。

【详解】[（5-1）X2+1+（5-1）-l]x4

=[4X2+1+4-1]X4

=12x4

=48（棵）

答：操场四周栽了48棵树。

【点睛】本题主要考查了植树问题、方阵问题的数量关系，根据"棵数=间隔数+1"、"四周人数=（每

边人数一1）x4”解题即可。

30.144盆

【详解】由于方阵中相邻两个正方形每边相差8,因此第二层应摆鲜花48—8=40盆，第三层有花40—8

=32盆，第四层有花32—8=24盆.这样通过枚举方法求出一共有四层花，及中间两层花的总数.因此

一共摆了48+40+32+24=144盆.

答：一共摆了144盆.

31.40只

【分析】先由多余和不够的棋子数求出纵横方向都增加一层的棋子数，再求正方形每边的棋子数.

【详解】纵横方向各增加一层，所差棋子只数是：4+9=13（只）

若棋子增加9只后，则正方形每边棋子只数是：（13+1）+2=7（只）

原来棋子只数是：7x79=40（只）

答：有棋子40只.

32.44人

【详解】（64+8）+2=36（人）36+8=44（人）增加人数

或64+4+2+2=10（人）（10+2）x44=44（人）

33.这个方阵最里层一周有40个棋子；摆这个中空方阵共用144个棋子

【分析】（1）方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个，知道最外面一层，每边放15个，可以求出最

里层每边的个数，就可以求出最里层一周放棋子的总数.

（2）根据最外层每边放棋子的个数减去这个中空方阵的层数，再乘以层数，再乘以4,计算出这个中空

方阵共用棋子多少个.

【详解】（1）最里层一周棋子的个数是：（15221）x4=40（个）

（2）这个空心方阵共用的棋子数是：（153）x3x4=144（个）

答：这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个中空方阵共用144个棋子.

34.220人

【详解】60+4+1=16（人）......最外每边人数

16x16=256（人）......实心方阵总人数

284-4+1=8（人）......最里层每边人数

（82）x（82）=36（人）......最里实心方阵

25636=220（人）……,总人数

35.44盆

【分析】对于两层方阵，外层比内层多8盆，两层共64盆，利用和差问题的解法，可以求出外层盆数

是：（64+8）+2=36（盆），从而得出需增加的盆数：36+8=44（盆）。

【详解】（64+8）+2+8

=72+2+8

=36+8

=44（盆）

答：还需44盆花。

【点睛】认真观察方阵图形可知，在方阵中，方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个，即每向里一

层，每层的个数就减少8个，这是解题关键。

36.49人

【分析】去掉一行一列时，我们需要思考去掉了几个人，因为是正方形队列，所以每行每列的人数一样

多，站在行和列的交点的同学既属于这一行也属于这一列，所以现在求每行（或每列）的人数时需要用

13加上1得出两行（或两列）共有14人，再