2024-2025学年人教A版高二数学下学期期中考试预测卷（全解全析）

2024-2025学年高二数学下学期期中考试押题预测卷

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：第五章导数+第六章计数原理+第七章随机变量及其分布（至7.2）。

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.若Q=c：,则C'=（）

A.380B.190C.188D.240

【答案】B

【分析】利用组合数的性质求出"，再求出答案.

【详解】由得"=20,所以cr=C%=C；°=W^=190.

故选：B

2.已知函数〃x）=ln.x-x2+x,则函数的单调递减区间是（）

【答案】D

【分析】利用导数分析函数的单调性可得.

【详解】r（x）」_2x+]=21+x+l_（2xl）（xl）,x>0,

XXX

令/''（x）=0nx=l,

所以当xw（i,+8）,r（x）<o,即函数〃无）为递减函数.

故选：D.

3.+的展开式中Y的系数为()

A.120B.80C.60D.40

【答案】D

【分析】写出，-：+21展开式通项，令x指数为2,即可求解.

5

【详解】X一-+2I展开式通项为:

X

・2’=2(£:产力■(-If-=2(£:产口"

令5—尸一2加=2,BPr+2m=3,

当厂=1刈=1时,公的系数为2(©•(-!)=-40；

3

当r=3,机=0时，/的系数为2C^-(-l)°=80:

所以下的系数为80-40=40,

故选：D

4.已知R上的可导函数“X)的函数图象如图所示，则不等式切'(x)>0的解集为()

A.(-l,0)U(l,+8)B.(-8,-2)U(1,2)

C.(-oo,-l)U(l,+<»)D.(-l,l)U(2,+co)

【答案】A

【分析】根据函数图像的单调性，得到导函数77x)的正负，再解不等式即可求解.

【详解】由函数〃由的图象可得,当xe(-8,-1),(1,+co)时，f'(x)>0,

当xe(-1,1)时，r(x)<0.

f\x)

由疗,(x)>0=ff>0①_或[f(x)②<0_

[x〉0[x<0

解①得，x>l,解②得，-l<x<0,

综上，不等式谈(x)>0的解集为(TO)U(1,+B),

故选：A.

5.现有4个红色教育基地和2个劳动实践基地，甲、乙两人分别从这6个基地中各选取1个基地研学(每

个基地均可重复选取)，则在甲、乙两人中至少一人选择红色教育基地研学的条件下，甲、乙两人中一人选

择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学的概率为()

A.-B.-C.；D.-

9924

【答案】C

【分析】设相应事件，根据古典概型结合组合数求尸Q),P(42),进而求条件概率.

【详解】由题意可知：甲、乙两人从6个基地中各选一个进行研学有6x6=36(种)情况，

至少一人选择红色教育基地研学有C；C；+2C；C；=32(种)情况,

32S

设/="甲、乙两人中至少一人选择红色教育基地研学”，则尸(4)=0=；；,

369

甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学，有2C；C；=16(种)情况,

164

设5="甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学”，则。(48)=。=；；

369

4

所以尸(叫/)=生如=」

1P(A)182

9

故选：C.

6.己知点P在曲线y=2--lnx上，点0在>=3》-4直线上，贝小尸。|的最小值为()

A.d巫B.d*D.八巫

C.dVio

1013lo-13

【答案】A

【分析】利用导数的几何意义求出切点坐标，求点尸到直线>=3x-4的距离的最小值等价于求斜率为3的

切线的切点到直线的距离，最后利用平行线间的距离公式计算即可.

4

【详解】函数》=2x2-Inx的定义域为(0,+8),y'=4x--=^

XX

当0<x<g时，y'<0,函数在上单调递减，

当x>g时，y'>0,函数在(g+s］上单调递增，

作出y=2xZ-lnx和y=3x-4的图象如图:

舍去)，

所以曲线y=2/一Inx上斜率为3的切线的切点为(1,2),

该切线方程为V=3x-1,与直线y=3x-4平行,

,卜1一(~4)|3屈

两平行线间的距离即为(1,2)到直线y=3x-4的距离d=J？j=一十

即1尸。1的最小值即为叵

10

故选：A.

7.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a,b,加(加>0)均为整数，若a

和6被加除得的余数相间，则称。和6对模加同余，记为a三“mod加)，如9和21被6除得的余数都是

3,则记9三21(mod6).若"b(mod8),且a=或+C?•2+C”'+…+C*2a0,则b的值可以是()

A.2022B.2023C.2024D.2025

【答案】D

【分析】利用二项式定理求出。被8除得的余数，再逐项分析判断即可.

【详解】依题意，。=C。+《『2+/"+-.+6"。=(1+2)2。=9|。=(8+以。

1098

=C»0.8+C；0-8+Cr0-8+-+C^8+C|°,展开式共C项,其中前10均有因数8,最末一项为1,

则。被8除得的余数是1,2022,2023,2024,2025被8除得的余数分别为6,7,0,1,

因此b的值可以是2025.

故选：D

8.已知定义在R上的函数/(x)的导数为/''(X),/(l)=e,且对任意的x满足/'(x)-〃x)<e)则不等式

/(x)>xe，的解集是()

A.B.(-℃,0)C.(0,+功D.(1,+℃)

【答案】A

【分析】构建g(x)=§-x,根据题意分析可知g(x)在R上单调递减，结合函数单调性解不等式.

【详解】构建g(x)=与一x,则g，(x)J'』/)一1,

因为/''(x)-/(x)<ex,则/即g，(x)<0,

e

可知g(x)在R上单调递减,Kg(1)=0,

由/(x)>xe，可得运-x>0,即g(x)>g⑴，解得x<l,

e

所以不等式/(X)>xe*的解集是(-8,1).

故选：A.

【点睛】关键点点睛：根据/构建g(x)=22-x,进而利用导数判断函数单调性，结合单

调性解不等式.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在"1-十］的展开式中，下列说法正确的有()

A.所有项的二项式系数和为128B.所有项的系数和为1

C.有理项共4项D.二项式系数最大的项为第4项

【答案】ABC

【分析】利用二项式系数和为2"判断A,令x=l计算出所有项的系数，即可判断B,写出展开式的通项，

即可判断C,根据二项式系数的特征判断D.

【详解】选项A：所有项的二项式系数和为27=128,故A正确；

选项B：令x=l,则(2x1-：^=1,所以所有项的系数的和为1,故B正确；

选项C：二项式的展开式的通项为&1=0；(2»［-十］=C；(-1)，27rx七(0<r<7,H.reN),

当r=0时，7-y=7,二项式的展开式的第一项为有理项，

3尸

当r=2时，7-y=4,二项式的展开式的第三项为有理项，

当r=4时，7-弓=1,二项式的展开式的第五项为有理项，

3/

当r=6时，7--=-2,二项式的展开式的第七项为有理项，

2

所以有理项有4项，故C正确，

选项D：二项式系数最大的项为第4项和第5项，故D不正确；

故选：ABC.

10.现有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是()

A.分给甲、乙两人，每人3本，有20种分法

B.分给甲、乙两人，一人4本，一人2本，有60种分法

C.分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法

D.分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法

【答案】AC

【分析】利用平均分配和部分平均分配原则，按选项要求一一计算可判定选项.

【详解】先从6本书中分给甲3本有C：种，剩3本给乙，所以共有Cg=20种分法，故A正确；

先把6本书分成2组，有C：C；种，再分别给甲、乙两人，共有C：C；A；=30种分法，故B错误；

6本不同的书先分给甲、乙每人各2本，有种分法；其余2本分给丙、丁，有A；种分法.

所以不同的分配方法有C；C；A；=180种，故C正确；

C2c2

先把6本不同的书分成4组：2本、2本、1本、1本，有种分法；

A；A；

C2c2

再分给甲、乙、丙、丁四人，所以不同的分配方法有=1080种，故D错误.

A；A；

故选：AC.

11.已知函数/3=/+成+“+1在(-8,0］上是增函数，在［0,2］上是减函数，且方程/(x)=o有3个不

等实根，它们分别为加，“，2,贝I」()

A.实数c为。B.工+工为定值

mn

C./(1)>3D.\m-w|>3

【答案】ABD

【分析】先根据函数的单调性，可判断出/''(x)=0有两个解，一个是0,另一个大于2,可求c的值及6的

取值范围；再根据方程〃x)=0有三个不同实根，可得〃x)=(x-2Xx-m)(x-〃)，处理可得加，〃与6,d的

关系，接下来可逐项判断选项的准确性.

【详解】因为/(x)=x3+6/+cx+d,所以/1'(*)=3/+26x+c.

因为函数〃x)在(7,0］上是增函数，在［0,2］上是减函数，

所以方程/'(切=0有两个解：故A正确；

其中一个根为0,即/'(0)=0=c=0,

r\1

另——I艮：3x+26=0=x=一一—>2=60一3.

所以/(力=无3+法2+1,又方程/(x)=0有3个不等实根，它们分别为加，“，2.

所以/(1)=(%—2乂工一加)(工一〃)=x3-(m+«+2)x2+(2m+2n+mn)x-2mn.

由2加+2几+机〃=0=>'-+'=一!为定值，故B正确.

mn2

\—b—m+n+2

又，7•

［a=-2mn

由/(2)=0=>8+46+d=0=>d=-8—46.

当6=-3时，d=—8+12=4,止匕时一3/+4=(X-2)2(X+1),

所以/'(x)=0只有两个根，与/'(x)=0有3个不等实根矛盾，所以6<-3.

因为/(l)=l+6+d=1+6-8-46=-36-7,

因为6<-3,所以/(1)>2,无法确定了(1)>3,故C错误；

因为(加-〃/=(m+ny-4mn=(-6-2『+2d=(-6-2)?+2(-8-46)=(6-2)~-16,

因为6<-3,所以他一2)2-16>(-3-2)2-16=9,所以|加-〃|>3,故D正确.

故选：ABD

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知/(x)=sin2x,且

2。h

【答案】-2

【分析】根据导数的定义可求极限值.

71

【详解】由题/（"=2（:。52%，］血

唱+"2cos7i=-29

20h

故答案为：—2

13.某测试由8道四选一的单选题组成.学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2

道有思路，其余2道则完全不会.若小胡答对每道有思路的题的概率为:，答对每道不会的题的概率为

则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为.

【答案】—/0.6875

16

【分析】设“小胡从这8题中任选1题且答对”为事件A,“选到能完整做对的4道题”为事件B,“选到有思

路的2道题”为事件C,“选到完全没有思路的题”为事件D,利用全概率公式进行求解即可.

【详解】设“小胡从这8题中任选1题且作对”为事件A,“选到能完整做对的4道题”为事件B,“选到有思

路的2道题”为事件C,“选到完全没有思路的题”为事件D,

则"尸⑷="，

P（）|8）=l,尸（/|C）=；，尸（小0=；,

由全概率公式可得尸（4）=尸（8）尸（川8）+尸（C）尸（/|C）+尸（D）尸（小。）

故答案为：—~

16

14.如图将一个矩形划分为如下的/、B、C、D、E、尸六个区域，现用四种不同的颜色对这六个区域进行

染色，要求边界有重合部分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，并且每一种

颜色都要使用到，则一共有种不同的染色方案.

【答案】192

【分析】法一：间隔元素分析法，分4c同色，民。同色；4c同色，民。不同色；4c不同色，瓦。同

色；4c不同色，8。不同色，结合4。和4尸的颜色相同和不同，分类讨论，得到情况数，相加即可；

法二：相邻最多元素优先分析法，考虑到厂影响的元素最多，分B、C、D、尸各不同色，和AD同色，结

合B、E同色，不同色，C、£同色，C、£不同色，共有类讨论，分类讨论，得到情况数，相加即可

【详解】法一：间隔元素分析法：

①4c同色，瓦。同色，则E有两种上色方式，尸被E确定，故有C，A>2=24种；

②4c同色，民。不同色，则厂仅有1中上色方式，E被尸确定，故有C：A；=24种；

③4c不同色，伐。同色，则若尸与A同色，则E有1种上色方式；

若尸与A不同色，则尸,E只有1种上色方式；

故有C〉A}2=48种；

④4c不同色，氏。不同色，

1)4。同色，则有C〉A，2=48种；2)4。不同色，则有A：-2=48种.

综上,共有24+24+48+48+48=192种方式.

法二：相邻最多元素优先分析法：

考虑到尸影响的元素最多：

①B、C、D、尸各不同色，1)B、E同色，则A有3种染色法，故共有A13=72种；

2)B、E不同色，则A有2种染色法，故共有：A：-2=48种；

②同色，1)C、E同色，则A只有1种染色法(4种颜色都要使用到)，

故有C/A；=24种；2)C、E不同色，则A有2种染色法，故有C；•A；-2=48种.

综上：共有72+48+24+48=192种染色方案.

故答案为：192.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.(13分)

现有大小相同的8个球，其中2个标号不同的红球，3个标号不同的白球，3个标号不同的黑球.(结果用

数字作答)

(1)将这8个球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排法？

(2)将这8个球排成一列，黑球不相邻且不排两端，有多少种排法？

(3)若从8个球中任取4个球，且各种颜色的球都被取到，有多少种取法？

【答案】(1)432

(2)2880

(3)45

【分析】(1)先把相同颜色的球看成一个整体，排3种不同的颜色球，再各自排红色、白色、黑色的球；

(2)先把除黑球外的5只球，结合插空法即可求解；

(3)满足要求的事件为必有一种颜色的球取2个球，其余颜色的球各取1个，结合组合数计算即可求解.

【详解】(1)把相同颜色的球看成一个整体，故3种不同的颜色球有A；种排法.

2个不同标号的红球的位置可以变换，有A；种排法；同理，3个不同标号的白球之间有A；种排法，3个不

同标号的黑球之间有A；种排法.

故不同的排法的种数为A；A；A；A；=432.

(2)先把除黑球外的5个球全排列，共有A；种排法，

再把3个黑球插入上述5个球中间的4个空当，有A：种排法，

故共有A；A；=2880种排法.

(3)从8个球中任取4个球，且各种颜色的球都被取到，则必有一种颜色的球取2个球，其余颜色的球各

取1个，

故不同的取法总数为C；C；C；+C；C；C；x2=45

16.(15分)

已知函数f(x)^-xi+ax1+bx,当x=-l时取极小值，当x=§时取极大值.

⑴求a,b的值；

(2)求函数y=/(x)在12,1］上的最大值与最小值.

【答案】⑴a=-g,6=2

3

(2)最大值为2,最小值为-2.

r(-i)=o

【分析】(1)根据题意，求导可得/''(X),由</[2]=0代入计算，然后检验即可得到结果;

(2)根据题意，先由导数求得函数的极值，然后求得端点值，比较大小，即可得到结果.

【详解】(1)f(x)=-x3+ax2+bx,贝Ij/'(x)=-3—+2ax+6,

1

a=——

解得2,

b=2

经检验符合题意，所以。=-：,6=2.

(2)由(1)可得，a=-3加=2,

322

贝/(x)=-x--^x+2xf(x)=-3x-x+2,

令/(x)=0,解得x=-l或x=(,

当xe(-2,-1)时，f'(x)<0,函数/(x)单调递减，

当时，r(x)>0,函数〃x)单调递增，

当时，f'(x)<0,函数单调递减，

所以x=-l时，函数〃X)有极小值，即〃-1)=一

x=|时，函数仆)有极大值，即/0=H，

且/(一2)=2,=

所以函数/(X)在[-2,1]上的最大值为2,最小值为-，

17.(15分)

-.J-,、”，、a(l-x)

已知函数/(x)=ltu+—-------.

(1)若。=2,求曲线>=/(x)在x=l处的切线方程;

(2)若函数/(x)有极小值，且极小值不大于0,求实数。的取值范围.

【答案】⑴x+y-l=0

(2)a>0

【分析】(1)根据题意计算结合导数的几何意义求切线方程即可;

(2)先求导得r(x)=?,分。>0和。WO讨论单调性，求出极小值为〃尤)极小值=/(。)=1皿+1-4,再

根据题意得lna+1—WO,构造新函数g(a)=lna+l-a,a>o,利用函数单调性确定。的范围即可.

【详解】(1)求曲线>=/(x)在x=l处的切线方程：

当a=2时，f(x)=ln.x+——-=\wc+--2.

XX

io

对〃X)求导，可得

把尤=1代入/(X)和/=+j—2=0,/'(l)=l—2=T.

切线方程的点斜式为了-%=k(工一%)(其中(%,%)为切点坐标，后为切线斜率)，

所以切线方程为>-0=Tx(x—l),即x+>-1=0.

(2)对/(x)=lnx+-^——=lnx+--a=---7=%,x>0.

XxXXX

当a<0时，x-a>0,则/'(x)>0J(x)在(0,+s)上单调递增，无极值，不符合题意.

当a>0时，令/'(x)=0,即于=0,解得x=a.

X

当0cx<a时，x-a<0J'(x)<0J(x)单调递减；

当x>a时，x-a>0,/'(x)>0,/(x)单调递增.

所以f(x)在x=。处取得极小值，/(x)极小值=y(a)=lna+l-a.

因为/(x)的极小值不大于。,即lna+1-aWO.

令g(a)=lna+l-a,a>0,对g(a)求导得g<a)=!一1=.

aa

令g'(a)=0，解得。=1.

当0<a<l时，l-a>0,g〈a)>0,g(a)单调递增;

当a>l时，l-a<0,g<a)<0,g(a)单调递减.

所以g(a)在a=1处取得最大值g⑴=lnl+l-l=0.

且当a->0或af+8时，g(a)--co,

因止匕对于a＞0,均有Ina+1-a40

所以实数。的取值范围是。＞0.

18.(17分)

随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，

粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，向四个方向移动的概率均为;，且每秒的移

动方向彼此独立互不影响，例如在1秒末，粒子会等可能地出现在(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)四点处.

(1)求粒子在第2秒末移动到点(2,0)的概率；

(2)求第6秒末粒子回到原点的概率；

(3)设粒子在第3秒末移动到点(x,y),记x+＞的取值为随机变量X,求X的分布列.

【答案】⑴2

10

〜25

(2)-----

256

(3)分布列见解析

【分析】(1)根据独立事件的概率乘法公式运算求解；

(2)分类讨论回到原点的可能性情况，结合古典概型分析求解；

(3)分析可知X的可能取值为-3,-1,1,3,结合题意求分布列.

【详解】⑴由题意得，粒子在第2秒末移动到点(2,0)的概率尸=JxJ=

4416

(2)粒子在第6秒后回到原点，分四种情况考虑：

①两上两下一左一右，共有C)C；C；种情形；

②两左两右一上一下，共有C；C；C；种情形;

③三上三下，共有C：种情形；

④三左三右，共有C：种情形；

山2八2C；C；C；+2C：2x6x5x6+2x2025

所以匕=------A----=------2------=--*

44646256

(3)粒子向右或向上则X的取值加1,粒子向左或向下则X的取值减1,

X的可能取值为-3,-1,1,3,对应的概率分别为：

P(X=-3)],尸(x=-l)=L，P(X=1)*=J尸(X=3)],

所以X的分布列为:

X-3-113

1331

P

8888

19.(17分)

定义:若函数/(x)与g(x)在公共定义域内存在用,使得_/(x°)+g(x0)=O,则称〃尤)与g(x)为“契合函

数”，X。为“契合点”.

⑴若函数/(X)=ae*+a和g(x)=x-xe”为“契合函数”，求。的取值范围.

(2)已知函数/(x)=-_f—和g(x)=士丁为“契合函数”且有两个“契合点”无1,Z.

XX

①求6的取值范围；

e+1

(2)若％2>"1,证明：X+X>---.

-12e-1

【答案】⑴[0,+8)

2

(2)@(l+e,+co);②证明见解析

【分析】(1)将问题转化为Mx)=x-言与y=a有交点，求导后可得Mx)单调性，进而确定〃(x)图象,

结合图象可求得结果；

x+1x+lX+1

(2)①令〃x)=g(x),采用同构法可得—一b-l=--,令°(x)=J(x>0),结合导数知识可求得

XXX

夕⑴图象，结合了=1型+1单调性可将问题转化为y=f与夕(x)有两个不同交点，结合了=Inf+1单调性可求

得6的范围；

②根据丁=/与研x)的两个不同交点为西,马，采用比值代换的方式，令机=强，将西+马表示为关于加的

X1

函数的形式，利用导数可求得5(%)的单调性和最值，由此可得结论.

【详解】(1)由题意知:“X)与g(x)的公共定义域为R,

x

令/(x)=-g(x),ae+a=xe-x,..“二工卜-l)=x(e+12匚_

ex+1e%+1ex+1

7Y

令〃(无)=》-黑，若“X)与g(x)为“契合函数%则为(X)与y=a有交点.

xx2Ax

,,z、，2(e+l)-2xee+2xe-l

hW=1----；-----3—=------二，

3+1)3+1)

二.当％<0时，e2x<1,2xex<0,即〃'(x)<0；当x=0时，/z'(x)=0；

当x>0时，e2x>1,2xex>0,即/(x)>0；

二.A(x)在(-双0)上单调递减,在(0,+。)上单调递增，

/Z=/，0=0

•■•Mmin()-又当X-»―00时，当Xf+OO时，—+X；

，〃(x)大致图象如下图所示，

由图象可知：当ae[0,+co)时，Mx)与y=a有交点，

即当与g(x)为“契合函数”时，a的取值范围为[0,+").

(2)①由题意知:/(x)与g(x)的公共定义域为(0,+e),

x+1QX+1X+1

令/(x)--