2024-2025学年人教A版高二数学重难点突破：正态分布【八大题型】

专题3-5正态分布

题型•解读

【题型1］正态密度函数

【题型2】利用正态曲线的对称性求概率或参数

【题型3】利用36原则求概率

【题型4】正态曲线图像的特点

【题型5】正态分布中的期望与方差

【题型6】正态分布的实际应用

【题型7】标准正态分布

【题型8］正态分布综合

课后巩固

题型汇编1知识梳理与常考题型

1.正态分布的概念

］（%一〃）2

①正态曲线：称%b（x）=7^eF^,xe（-oo,+oo）其中〃eR,cr>0为参数，为正态密度函数,

称其图象为正态分布密度曲线（其中〃是正态分布的期望，。是正态分布的标准差）

②正态分布的定义

若随机变量X的概率密度函数为则称随机变量X服从正态分布，记为X〜N（〃，cr2）.特别

地，当〃=0,b=l时，称随机变量X服从标准正态分布.

2.正态曲线的性质

对Vx^R,/（x）>0,它的图象在九轴的上方

曲线与X轴之间的面积为1

曲线是单峰的，它关于直线二〃对称

1

曲线在X=〃处达到峰值---y=

a\2n

当X无限增大时，曲线无限接近X轴

当。一定时，曲线的位置由4确定，曲线随着〃的变化而

沿X轴平移

当〃一定时，曲线的形状由0■确定，0"较小时曲线“瘦高”,

♦

表示随机变量X的分布比较集中；o■较大时，曲线“矮胖”,

表示随机变量X的分布比较分散，

-3-2-10123x

3.三个特殊区间内取值的概率值及3c原则

①尸(〃一cr<XW〃+cr)=0.6826；P(〃-2a<X<ju+2a)=0.9544；

P（/i-3a<X<Jti+3a）=0.9974.

②3cr原则：尽管正态变量的取值范围是（-8,+<功，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间

［〃-3s〃+3cr］内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况在一次试验中

几乎不可能发生.所以在实际应用中，通常认为服从于正态分布N（〃，（？）的随机变量X只取

［〃-3s〃+3cr］中的值

【题型1］正态密度函数

解题技巧

1.正态曲线是单峰的，它关于直线对称，由此性质结合图象求〃

1

2.正态曲线在％=〃处达到峰值^由此性质结合图象可求。

。兀b

典型例题

/0\1"）2

【例题1】如图，若一个随机变量*服从某正态分布乂~此〃。-），且已知函数〃切=—=「才

6/2兀

的图象及部分重要点的坐标如图，则该组随机变量的数学期望E（X）=，方差

D(X)=_____________

【例题2】(2024•广东梅州•二模)某中学1500名同学参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩X近似服

从正态分布N(150Q2),已知成绩大于170次的有300人,则可估计该校一分钟跳绳成绩X在130-

150次之间的人数约为.

巩固练习

【巩固练习1］正态分布的特征

(1)当。一定时，曲线的位置由〃确定，曲线随着〃的变化而沿平移，参数〃反映了正态

分布的集中位置.

(2)当〃一定时，曲线的形状由。确定，b越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越；。越

大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越,反映了随机变量的分布相对于均值〃的离散程

度.

(3)若贝”(X)=,D(X)=.

【巩固练习2】(2023下•湖北武汉•高二校考期末)设随机变量X〜N(0,l),则X的密度函数为()

1d)2

1一处B

A-=-〃)=盍e-F

-1(x-l)2

1

U%)=鬲e2D.

(AM)?

【巩固练习3】函数〃(其中4<0)的图象可能为()

【题型2】利用正态曲线的对称性求概率或参数

解题技巧

对称法：由于正态曲线是关于直线％=〃对称的，且概率的和为1,故关于直线1=〃对称的区间概

率相等.如：

①尸(X<a)=l-P(X>a):②P(X<jLi-a)=P(X>〃+〃).

典型例题

【例题1］（23-24高二上•辽宁抚顺・期末）已知随机变量X服从正态分布且

P（X4a-2）=P（X2a+2）=0.3,则P（9<X<11）=（）

A.0.2B.0.4C.0.3D.0.6

【例题2】（23-24高二下,重庆•期中）已知随机变量X服从正态分布，即：X~N（2,4），若

P（X>-l）=0.8,P（2<X<m）=0.3,则实数加=.

【例题3］（23-24高二下•广东东莞,期末）已知随机变量X服从正态分布N（2,4）,且=4,

则P（2<X<3）=（）

3231

A.—B.一C.-D.-

53103

巩固练习

【巩固练习1】随机变量X服从正态分布当〃=0,。=1时，称随机变量X服从标准正

态分布.现已知随机变量丫服从正态分布N（2,4）.若随机变量Z=ay-/7（a,b为正实数）服从标

准正态分布，则。+6=.

【巩固练习2】（23-24高二下•山东烟台.阶段练习）（多选）随机变量XN（30,6）,yN（34,22）,则

下列命题中正确的是（）

A.若尸（X427）=a,则尸（30VX<33）=0.5-a

B.随机变量X的密度曲线比随机变量y的密度曲线更“矮胖”

C.P（X<34）>P（y<34）

D.P（X<24）<P（r<30）

【巩固练习3】（23-24高二下•江苏泰州•阶段练习）已知随机变量J服从正态分布N（4Q2）,且

P(J<3)=j_则P(3<4<5)=(

P(J<5)4人」、'))

3111

A.—B.-C.-D.一

5536

【巩固练习4】(23-24高二下•广东佛山•阶段练习)侈选)设X~N(2,1),2X+¥=6,则()

A.P(X<0)=P(X>4)B.p(r<o)=p(y>4)

C.P(X<2)=P(F>2)D.P(X<4)=P(y>0)

【题型3】利用3&原则求概率

解题技巧

正态变量在三个特殊区间内取值的概率

(1)尸(〃一b<X<〃+b)a0.6827；

(2)P(jU-2a<X<ju+2a)^0.9545；

(3)尸(〃—3bWX<4+3b)p0.9973.

在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(//Q2)的随机变量X只取［4-3b，4+3b］中的值，这在

统计学中称为3b原则.

典型例题

【例题11(23-24高二下•广东深圳•期中)已知随机变量X〜N(l,4),则P(3<X<5)=.注：

若X〜N,,/),则P(R_(J<X<ju+a)0.6826,P(/z—2cr<X<//+2cr)«0.9544.

【例题2】(23-24高二下•广东江门•期末)某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩X服从正态

分布N(95,82),将考试成绩从高到低，按照16%,34%,34%,16%的比例分为4B,C,。四个等

级.若小明的数学成绩为105分，则属于等级()

(附：P(〃一cr<X<〃+(7)比0.68,P("—2bvX<//+2b)p0.95,,P(//-3cr<X<//+3cr)«0.99)

A.AB.BC.CD.D

【例题3】(23-24高二下•江西景德镇•期中)某省2023年开始将全面实施新高考方案.在6门选择

性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分：思想政治、地理、化学、生物这4门科目

采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A、B,C,D,E共5个等级，各等级人数

所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%,并按给定的公式进行转换赋分.该省部分学校联合

组织了一次高二年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级

转换赋分.

(1)其中一所学校某班生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换赋分如表：

原始分97959190898785848483

赋分99979595949291909090

现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物的赋分不低于95分的人数为X,求X的分布列

和数学期望：

(2)假设此次高二学生生物学科原始分F近似服从正态分布N(66.7,13.32).现随机抽取了ioo名高二

学生的此次生物学科的原始分，后经调查发现其中有一名学生舞弊，剔除掉这名学生成绩后，记^

为其他被抽到的原始分不低于80分的学生人数，预测当=左)取得最大值时女的值.优€、)

附，若〃〜贝!]P(〃一(TWT7W〃+(T)2°.68，P(//-2CT<77<//+2CT)»0.95.

巩固练习

【巩固练习1】(23-24高二下•福建福州•期中)某企业生产一种零部件，其质量指标介于(49.4,50.6)

的为优品.技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布N(50,0.36)；技术改造后，

该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布N(50.0.04).那么，该企业生产的这种零部件技术

改造后的优品率与技术改造前的优品率之差为.(若则

尸(|Xcr)=0.6827,「(|X-〃2。)=0.9545,P(|X—<3cr)=0.9973)

【巩固练习2](23-24高二下•广东•期末)某校高二年级下学期期中考试数学试卷满分为150分，90

分以上（含90分）为及格.阅卷结果显示，全年级800名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷

的难度系数（=平均分/150）为0.49,标准差为22,则该次数学考试及格的人数约为（）

附：若记p（左）=P（〃一加WX4〃+3）,则°（0.75卜0.547,p（l卜0.683.

A.127人B.181人C.254人D.362人

【巩固练习3]（23-24高二下,福建三明•期中）红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射

来测量体温的，有一定误差.用一款红外体温计测量一位体温为36.8。（2的人时，显示体温X服从正态

分布N136.8,手），若X的值在（36.6,37.0）内的概率约为0.9545,则。的值约为（）

（参考数据：若则尸（|X*<2b卜0.9545）.

A.3B.4C.5D.6

【巩固练习4】（23-24高二下.江苏泰州•期中）为深入推进传统制造业改造提升，依靠创新引领产业

升级，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为X（单位：nm）.

（1）现有旧设备生产的零件有10个，其中直径大于10nm的有2个.现从这10个零件中随机抽取3

个.记4表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求J的分布列及数学期望E（J）；

（2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为每个零件是否合格相互独立.现任取4个零件进

行检测，若合格的零件数〃超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及〃的方差；

（3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径X7V（1O,O.O4）,从生产的零件中随机取出10个，求至少有

一个零件直径大于10.4nm的概率.

参考数据：若X~N（〃Q2）,贝UP（|X—”4b）=0.6827,P（|X-〃区2b）。0.9545,

P（|X-“V3b）20.9973,O.9772510»0.7944，O.954510»0.6277.

【题型4】正态曲线图像的特点

解题技巧

由x的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点

（1）曲线是单峰的，它关于直线x="对称；

（2）曲线在x处达到峰值—■/=；

£7,2万

（3）当|x|无限增大时，曲线无限接近无轴.

（4）当〃取定值时，正态曲线的形状由。确定，当。较小时，峰值高，曲线"瘦高"，表示随机变量X

的分布比较集中；当。较大时，峰值低，曲线"矮胖"，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示.

典型例题［

【例题1】（高二下•江苏常州）如图是三个正态分布X~N（O,0.64）,y~N（0,l）,Z~N（0,4）的密

度曲线，则三个随机变量X,匕Z对应曲线的序号分别依次为（）.

A.①②③B.③②①C.②③①D.①③②

（X-⑷2

【例题2】（多选）已知三个正态密度函数必（力=^^.e2蜻（x£R,i=i,2,3）的图像如图，则下

’J27rbi

列结论错误的是（）.

A.从<〃2=〃3，^=0-2>a3B.从>〃2=〃3，

C.4二〃2＜〃3，。1＜。2=。3D.从＜〃2=〃3，%=。2＜。3

【例题3】（24-25高二下•辽宁丹东•期中）某校高三年级甲、乙两名学生平时测试的数学成绩

X「N3，b；）,X2~N（〃2，E），其中4＜也吗＞4,在同一直角坐标系中，区小密度曲线的两个

交点的横坐标为占,9，且不＜々，则（）

A.P（X1＜jnl）＜P[X2＜/A）B.P（X]＜玉）＞尸（X?＜玉）

C.P（Xj＜x2）＞P（X2＜x2）D.P（X]＜〃2）＜尸（X2＜4）

巩固练习

【孤固练习1】如图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说

A.三种品牌的手表日走时误差的均值相等

B.P（-14生40）＜P（0Wx丙42）

C.三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙

D.三种品牌手表中甲品牌的质量最好

【巩固练习2】设X〜N（〃1，珑），y〜N（〃2,冠），这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确

的是（）

B.P(X<<T2)<P(X<q)

C.对任意正数t,P(X<t)>P(Y<t)D.对任意正数t,P(X>t)>P(Y>t)

【巩固练习3】（多选）农业税自古以来就被称为皇粮国税，2006年党中央正式决定全面取消农业税.

某县为了了解取消农业税前后农民每亩地的收入（单位：万元）发生了怎样的变化，通过抽样调查

后发现取消农业税之前农民每年每亩地的收入X服从正态分布N（1.4,s；）,取消之后每年每亩地的收

入Y服从正态N（2.3,sj,已知丫的正态密度曲线的峰值高于X的正态密度曲线的峰值，贝ij（）

A.P（X>1.4）<P（r>1.4）B,P（X>1.4）<P（X>2.3）

C.P（r<52）<P（r<51）D.VneN,P（Y<n）<P（X<n）

【题型5】正态分布中的期望与方差

解题技巧

正态分布的期望与方差

若则E（X）=〃，D（X）=o-2.

典型例题

【例题1】（24-25高二下•黑龙江哈尔滨•阶段练习）随机变量X,Y满足X~q4,g）y~N（2,4）,则

下列选项正确的是（）

A.E（X）=E（y）B.D（X）=D（Y）

c.P（X=2）=-D.p（r>2）=p（y<o）

【例题2】（2024•江苏南通•三模）已知随机变量X~N（4,42）.若尸（X<3）=0.3,贝|

p（3<x<5）=,若y=2X+i,则Y的方差为.

巩固练习

【巩固练习1】（山东济宁2024届三模）若随机变量X~N（3,2?）,随机变量丫=g（X-3）,贝lj

骐）+L（）

D（y）+i

14

A.0B.—C.-D.2

25

【巩固练习2］我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为

正态随机变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量

Y~B（n,p）,当"充分大时，二项随机变量丫可以由正态随机变量X来近似，且正态随机变量X的

期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了尸==的特殊情形.1812年,

拉普拉斯对一般的尸进行了证明.现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币

正面向上次数不超过60次的概率为.

（附：若X,则尸（〃一X<〃+CF）Q0.683,P（//-2cr<X<//+2cr）®0.954,

尸（〃-3bWXW"+3b卜0.997）

【巩固练习3］我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为

正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量y〜3（〃,。），当〃充分大时，二项随机变量y

可以由正态随机变量X来近似地替代，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量y的期望和

方差相同.法国数学家棣莫弗（1667-1754）在1733年证明了。=g时这个结论是成立的，法国数学家

、物理学家拉普拉斯（1749-1827）在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此，人

们把这个结论称为棣莫弗一拉普拉斯极限定理.现抛掷一枚质地均匀的硬币900次，利用正态分布估

算硬币正面向上次数不少于420次的概率为（）（附：若XN（〃02）,则

P（〃一流女〃+0”0.6827,尸（〃一2段k〃+2b”0.9545,尸（〃-3段度月+3b”0.9973）

A.0.97725B.0.84135C.0.65865D.0.02275

【题型6】正态分布的实际应用

解题技巧

解答正态分布的实际应用题，其关键是转化,同时应熟练掌握正态分布在[〃-6〃+司，

[//-2cr,〃+2cr],[//-3cr,//+3cr]三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想.

典型例题

【例题1]（23-24高二下•浙江温州•期末）在七一"建党节"来临之际，某省教育系统开展以“争知识标

兵，做奋斗先锋”为主题的法规知识竞赛活动.为了了解本次竞赛成绩情况，从参与者中随机抽取容量

为100的样本数据（满分为100分），均在区间[50/00]内，将样本数据按

[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]的分组作出频率分布直方图如图所示.

⑴求。的值，并估计抽取的100位参与者得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代

表）；

⑵若本次活动共有5000人参加，用样本平均值估计总体平均值〃.假设所有参与者得分

X~N（〃,100）,试估计得分在[65,95]上的人数.

参考数据:若X~N（〃or2）（cr>0）,则P（〃一b<XW〃+o■卜0.6827,P（〃-2cr<XW〃+2o■卜0.9545

【例题2】(2024•高二・辽宁•期末)某旅游城市推出“一票通"景区旅游年卡，持有旅游年卡一年内可

不限次畅游全市所有签约景区.为了解市民每年旅游消费支出情况(单位：百元)，相关部门对已游

览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表：

旅游消费支出[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)

频数1238845213810

⑴根据样本数据，可认为市民的旅游费用支出服从正态分布N(40,152),若该市总人口为700万人，

试估计有多少市民每年旅游费用支出在7000元以上；

(2)若年旅游消费支出在40(百元)以上的游客一年内会继续来该签约景区游玩.现从游客中随机抽取

3人，一年内继续来该签约景区游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为

概率，且游客之间的选择意愿相互独立，求3人总得分为4分的概率.

(参考数据：

P(N—cr<X<//+cr)«0.6827,P("—2b<X<//+2cr)«0.9545,P("-3bvXv〃+3b)«0.9973))

【例题3】(2017•全国I卷•高考真题)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该

生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产

线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布4).

(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(”-3b,u+3b)之外的零件数，

求尸(XN1)及X的数学期望；

(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在("-3二〃+3b)之外的零件，就认为这条生产线在这一天

的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.

(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性；

(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

经计算得彳=]£＞，=997,s==JUy^-16x2)x0.212,其中川为抽取的第/

lb,=iV16,.i\16\,_1/

个零件的尺寸，，=1，2,,16.

用样本平均数元作为〃的估计值A,用样本标准差s作为。的估计值方，利用估计值判断是否需对

当天的生产过程进行检查？剔除3-36,"+36)之外的数据，用剩下的数据估计〃和精确到0Q1).

附：若随机变量Z月艮从正态分布贝(〃-3b<Z<〃+3b)=0.9974,0.997416«0.9592,

A/0.008«0.09.

巩固练习

【巩固练习1］(2024•高二・江西•期末)某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布

^(60,100),规定：分数高于80分为优秀.

⑴估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例；

(2)若该市有40000名高二年级的考生，估计全市物理成绩在(50,80］内的学生人数.

参考数据：若贝V，+cr)=0.6826,P(〃-2cr<XW〃+2b)=0.9544,

尸(〃一3b<XW〃+3b)=0.9974.

【巩固练习2】为了解学生课余时间体育锻炼情况，某校对100名学生平均每周的体育锻炼时间进

行了调查，统计数据如下表：

每周体育锻炼的时间(小时)［。，2)[2,4)[4,6][6,8)[8,10)[10,12)[12,14)[14,16]

人数34811412085

用频率估计概率，该校学生平均每周的体育锻炼时间X近似服从正态分布〃近似为样本

平均数输(同一组中的数据用该组区间的中间值代表)，5近似为样本标准差s,并已求得M3,利

用所得正态分布模型解决以下问题：

(1)该校共5000人，试估计该校大约有多少学生平均每周的体育锻炼时间15小时以上(结果四舍五

入)；

(2)若在该校随机抽取3位学生，设其中平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数为久求随机

变量J的分布列和均值.

附：若贝UP(M—b4X4〃+b)a0.6827,P(〃—2b4X+2bb0.9545,

尸(〃一3bVXV〃+3b)B0.9973.

【巩固练习3】为检验某公司销售一种新产品的能力，对该公司100天的销售情况做了调查，统计

数据如下表所示：

销售数量/件4849n5263646566676869707173

天数11356193318442121

经计算，这100天的销售数量的平均数〃=64,标准差b=4.7,用频率估计概率.

(1)表格中字母”的值是;

(2)为评判该公司的销售水平，从上述100天中随机抽取1天，记当天的销售数量为X,并根据以

下规则评判.评判规则：若同时满足下列三个不等式，则销售水平为优秀；若仅满足其中两个，则

销售水平为良好；若仅满足其中一个，则销售水平为合格；若全部不满足，则销售水平为不合格.三

个不等式分另ij为①尸(M—b<XW〃+b)20.6827,②尸(〃一2cr<XW〃+2cr)20.9545,③

P(〃—3b<X<//+3(T)>0.9973.则该公司的销售水平为.

【题型7］标准正态分布

解题技巧

X—u

若数据服从正态分布X〜N(〃，cr2),则有Z=——竺〜N(O,1)

典型例题

【例题1】随机变量XN(105,192),Y收100,92),若尸。44)=尸("4),那么实数人的值

为.

【例题2】某批待出口的水果罐头，每罐净重X(单位:g)服从正态分布N(184,2.52),求：

(1)随机抽取1罐，其净重超过184.5g的概率；(2)随机抽取1罐，其净重在179g与189g之间的概率.

(参考数据:Z~N(O,I),P(Z<0.2)«0.5793,P(Z<2)»0.9772)

巩固练习

【巩固练习1】随机变量4服从正态分布N(l,4),随机变量V服从标准正态分布N(0,l),若

产(”1)=尸伯<4)=°,则P(l<J<l+b)=.(用字母。表示)

【巩固练习2】小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车平

均用时30min,样本方差为36；骑自行车平均用时34min,样本方差为4,假设坐公交车用时

X〜N(30,62),骑自行车用时y~/V(34,22),则()

A.P(X<38)>P(Y<38)B.P(X<34)>P(Y<34)

C.如果有38分钟可用，小明应选择坐公交车D.如果有34分钟可用，小明应选择自行车

【巩固练习3】高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化

学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、3+、B、C+、

C、D+.D、E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、

24%、24%、16%、7%、3%,选择科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩

X,依照¥=工二分别为正态分布的均值和标准差）分别转换到［91,100］、［81,90］、［71,80］、

［61,70］、［51,60］、［41,50］、［31,40］、［21,30］八个分数区间，得到考生的等级成绩.如果山东省2022

年某次学业水平模拟考试物理科目的原始成绩X~N（77.8,256）,7N（0,l）.

⑴若规定等级A、B+、B、C+、C、£>+为合格，D、E为不合格，需要补考，估计这次学业水

平模拟考试物理合格线的最低原始分是多少；

（2）现随机抽取了该省1000名参加此次物理学科学业水平测试的原始分，若这些学生的原始分相互独

立，记《为被抽到的原始分不低于65分的学生人数，求4的数学期望和方差.

附：当yN（0,l）时，P（y<1.3）«0.9,p（y<0.8）«0.788.

【题型8］正态分布综合

典型例题

【例题1】（23-24高二下•河北保定•期中）下列说法正确的是（）

A.若随机变量X~N（12,b2）,y=3X+l,则矶丫）=36

B.若随机变量X~N（0,l）"（x）=P（XVx）,其中x>0,则P（［X［4元）=1-2〃尤）

C.若随机变量x~N（5Q2）,则O■越小，尸（4.5<X<5.5）越大

D.若随机变量XN（2,4）,且P（X>6）=0.4,则尸（-2<X<2）=0.2

【例题2】（2024•福建福州•模拟预测）甲企业生产线上生产的零件尺寸的误差X服从正态分布

N（0,0.22）,规定Xe（-02,0.2）的零件为优等品，Xe（-0.6,66）的零件为合格品.

⑴从该生产线上随机抽取100个零件，估计抽到合格品但非优等品的个数（精确到整数）；

（2）乙企业拟向甲企业购买这批零件，先对该批零件进行质量抽检，检测的方案是：从这批零件中任

取2个作检测，若这2个零件都是优等品，则通过检测；若这2个零件中恰有1个为优等品，1个

为合格品但非优等品，则再从这批零件中任取1个作检测，若为优等品，则通过检测；其余情况都

不通过检测.求这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率（精确到0.01）.

（附：若随机变量J队小吟,贝|P（，一b<J<〃+b）=0.6827,2（，一2b<J<〃+2b）=0.9545,

P"_3bvgv//+3b）=0.9973）

巩固练习

【巩固练习1】（广东深圳•二模）（多选）己知随机变量X服从正态分布N（0,l）,定义函数为X

取值不超过x的概率，即〃x）=P（X4x）.若x>0,贝lj（）

A.〃一%）=1-〃龙）B.f（2x）=2f（x）

C.在（0,+e）上是减函数D.P（|x|<x）=2/（x）-l

【巩固练习2】(2024•广东深圳•二模)己知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个

座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均

为0.1.

(I)将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为X,求X的期望和方差；

(2)18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，当〃比较大时，二项分布可视为正态分布.此外，如果

随机变量LN仅,b)令Z=，^,则Z~N(0,l).当Z~N(0,l)时，对于任意实数记

①(a)=尸(Z<a).已知下表为标准正态分布表(节选)，该表用于查询标准正态分布N(0,l)对应的概

率值.例如当。=0.16时，由于0.16=0.1+0.06,则先在表的最左列找到数字0.1(位于第三行)，然

后在表的最上行找到数字0.06(位于第八列)，则表中位于第三行第八列的数字0.5636便是①(。16)

的值.

a0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09

0.00.50000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.5359

0.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.5753

0.20.57930.58320.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.6141

0.30.61790.62170.62550.62930.63310.63680.64040.64430.64800.6517

0.40.65540.65910.66280.66640.67000.67360.67720.6808,0.68440.6879

0.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.7157,0.71900.7224

①求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率；

②若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于0.7,则至少需要添加多少个座位?

课后巩固

1.(23-24高二下•重庆•期中)已知随机变量X服从正态分布，即：X~N(2,4),若尸(X2-1)=0.8,

P(2<X<m)=0.3,则实数%=.

2.(2024・安徽合肥•三模)为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言

语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从N(70,64),据此估计测试成绩

不小于94的学生所占的百分比为()

参考数据：P(〃一cr<X<〃+cr)q0.6827,-2b<X<〃+2b)*0.9545,P(〃-3。<X<

〃+3b)比0.9973

A.0.135%B.0.27%C.2.275%D.3.173%

3.某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量近似服从正态分布N(90,22)(单位：g),

现有该新品种大枣10000个，估计单果质量在［86,92］范围内的大枣个数约